Extensão geométrica
Extensão do feixe
A extensão geométrica e a extensão óptica são duas grandezas, utilizadas em radiometria e em fotometria , que caracterizam a parte da radiação luminosa emitida por uma fonte estendida que atinge um receptor. Sua unidade no sistema internacional é o metro quadrado (m 2 · sr).
O feixe é o conjunto de raios conectando qualquer um dos pontos da superfície emissora a qualquer um dos pontos da superfície receptora. A extensão geométrica pode ser vista como a grandeza geométrica que caracteriza o tamanho desse canal, ou desse tubo de transferência. Ele pode ser definido tanto do ponto de vista do receptor quanto do ponto de vista da fonte. A extensão geométrica permite ligar duas grandezas fotométricas ou radiométricas, por um lado o fluxo luminoso e a luminância luminosa , e por outro lado o fluxo energético e a luminância energética .
Φv{\ displaystyle \ Phi _ {vb}} euv{\ displaystyle L_ {vb}} Φe{\ displaystyle \ Phi _ {e}} eue{\ displaystyle L_ {e}}
A extensão óptica, por sua vez, permite levar em conta as variações do índice de refração do meio durante a propagação: este último influencia a dispersão dos raios de luz. A conservação da extensão de um feixe através de um sistema óptico expressa a conservação da potência luminosa desse feixe e, portanto, a ausência de perdas no sistema. A noção está relacionada à do invariante de Lagrange-Helmholtz , também constante em um sistema óptico perfeito. É um conceito fundamental em óptica não imagiológica .
Definições
Extensão geométrica elementar
Consideremos uma fonte de luz e um receptor , ambos estendidos, isto é, constituídos por um conjunto de pontos, separados por um meio perfeitamente transparente. Para estudar a transmissão da luz entre essas duas superfícies, é necessário estudar a contribuição de cada ponto de para a iluminação de cada ponto de . Usamos o cálculo infinitesimal, portanto, a extensão geométrica de um elemento de superfície em direção a um elemento de superfície é expressa:
Σ{\ displaystyle \ Sigma}S{\ displaystyle S}Σ{\ displaystyle \ Sigma}S{\ displaystyle S} dΣ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Sigma}dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}
d2G=dΣ cosαΣ dΩΣ=dΣ cosαΣ dS cosαSd2{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} G = \ mathrm {d} \ Sigma ~ \ cos {\ alpha _ {\ Sigma}} ~ \ mathrm {d} \ Omega _ {\ Sigma} = {\ frac {\ mathrm {d} \ Sigma ~ \ cos {\ alpha _ {\ Sigma}} ~ \ mathrm {d} S ~ \ cos {\ alpha _ {S}}} {d ^ {2}}}}.
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dΣ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Sigma}e são dois elementos de superfície suficientemente pequenos para que possam ser assimilados a porções do plano, pertencentes respectivamente a e e conectados por um feixe de luz elementar.dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}Σ{\ displaystyle \ Sigma}S{\ displaystyle S}
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não→Σ{\ displaystyle {\ vec {n}} _ {\ Sigma}}e são os vetores normais unitários dos elementos de superfície e respectivamente .não→S{\ displaystyle {\ vec {n}} _ {S}}dΣ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Sigma}dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}
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αΣ{\ displaystyle \ alpha _ {\ Sigma}}e são os ângulos entre a direção de propagação e o vetor normal correspondente, respectivamente e .αS{\ displaystyle \ alpha _ {S}}não→Σ{\ displaystyle {\ vec {n}} _ {\ Sigma}}não→S{\ displaystyle {\ vec {n}} _ {S}}
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dΩΣ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Omega _ {\ Sigma}}é o ângulo sólido no qual o elemento de superfície é visto do elemento de superfície , por definição .dΣ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Sigma}dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}dΩΣ=dS cosαS/d2{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Omega _ {\ Sigma} = {\ mathrm {d} S ~ \ cos {\ alpha _ {S}}} / {d ^ {2}}}
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d{\ displaystyle d}a distância das duas superfícies elementares e .dΣ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Sigma}dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}
É interessante observar a seguinte propriedade: a extensão geométrica dos vermes é igual à extensão geométrica dos vermes . Na verdade, o canal que conecta as duas superfícies é o mesmo.
dΣ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Sigma}dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}dΣ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Sigma}
Extensão geométrica integral
A extensão geométrica, às vezes qualificada como total, global ou integral, que conecta as superfícies e é a integral dupla sobre e da extensão elementar, sobre as partes das duas superfícies e que são visíveis uma à outra. O escopo do sistema como um todo é, portanto:
Σ{\ displaystyle \ Sigma}S{\ displaystyle S}dΣ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Sigma}dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}Σ{\ displaystyle \ Sigma}S{\ displaystyle S}
G=∫Σ∫Sd2G.{\ displaystyle G = \ int _ {\ Sigma} \! \ int _ {S} \ mathrm {d ^ {2}} G.}Aqui, novamente, a extensão geométrica da viga que conecta e é a mesma, dependendo se a viga elementar é considerada no início ou no final.
Σ{\ displaystyle \ Sigma}S{\ displaystyle S}
Alcance ótico elementar
Ao longo de sua propagação, o feixe de luz pode ser desviado, seguindo uma ou mais reflexões ou refrações , e sua geometria modificada: a extensão geométrica pode mudar. O alcance óptico permite levar em consideração as variações do índice de refração. Sua expressão é dada por:
d2O=não2 d2G{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} O = n ^ {2} ~ \ mathrm {d} ^ {2} G}.
A extensão ótica elementar é uma invariante ótica: é preservada em reflexos e refrações.
não2 d2G{\ displaystyle n ^ {2} ~ \ mathrm {d} ^ {2} G}
Demonstração
A lei de Snell-Descartes permite estabelecer:
não1 pecadoθ1=não2 pecadoθ2{\ displaystyle n_ {1} ~ \ sin \ theta _ {1} = n_ {2} ~ \ sin \ theta _ {2}},
então pegando o diferencial,
não1 cosθ1 dθ1=não2 cosθ2 dθ2{\ displaystyle n_ {1} ~ \ cos \ theta _ {1} ~ \ mathrm {d} \ theta _ {1} = n_ {2} ~ \ cos \ theta _ {2} ~ \ mathrm {d} \ theta _ {2}}.
Para uma variação do ângulo de incidência , o ângulo refratado varia em . Multiplicando as duas relações anteriores, chega-se
dθ1{\ displaystyle d \ theta _ {1}}dθ2{\ displaystyle d \ theta _ {2}}
não12cosθ1(pecadoθ1dθ1dϕ)=não22cosθ2(pecadoθ2dθ2dϕ),{\ displaystyle n_ {1} ^ {2} \ cos \ theta _ {1} \! \ left (\ sin \ theta _ {1} \, \ mathrm {d} \ theta _ {1} \, \ mathrm { d} \ phi \ right) = n_ {2} ^ {2} \ cos \ theta _ {2} \! \ left (\ sin \ theta _ {2} \, \ mathrm {d} \ theta _ {2} \, \ mathrm {d} \ phi \ right),}onde o todo também foi multiplicado por porque o ângulo não muda durante a refração, os dois raios permanecem no mesmo plano. Reconhecemos, entre parênteses, a expressão do ângulo sólido, então a expressão se torna:
dϕ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ phi}ϕ{\ displaystyle \ phi}
não12 cosθ1 dΩ1=não22 cosθ2 dΩ2{\ displaystyle n_ {1} ^ {2} \ \ cos \ theta _ {1} \ \ mathrm {d} \ Omega _ {1} = n_ {2} ^ {2} \ \ cos \ theta _ {2} \ \ mathrm {d} \ Omega _ {2}}.
Finalmente, multiplicamos por :
dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}
não12 dS cosθ1 dΩ1=não22 dS cosθ2 dΩ2{\ displaystyle n_ {1} ^ {2} \ \ mathrm {d} S \ \ cos \ theta _ {1} \ \ mathrm {d} \ Omega _ {1} = n_ {2} ^ {2} \ \ mathrm {d} S \ \ cos \ theta _ {2} \ \ mathrm {d} \ Omega _ {2}},
quer dizer
não12 dG1=não22 dG2⇔dO1=dO2{\ displaystyle n_ {1} ^ {2} \ \ mathrm {d} G_ {1} = n_ {2} ^ {2} \ \ mathrm {d} G_ {2} \ Leftrightarrow \ mathrm {d} O_ {1 } = \ mathrm {d} O_ {2}}.
Isso mostra que a extensão óptica da luz refratada é conservada. Poderíamos obter o mesmo resultado no caso de reflexão com e .
dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}não1=não2{\ displaystyle n_ {1} = n_ {2}}θ1=-θ2{\ displaystyle \ theta _ {1} = - \ theta _ {2}}
Alcance óptico completo
O escopo do sistema como um todo é, portanto:
O=∫Σ∫Sd2O=não2 G{\ displaystyle O = \ int _ {\ Sigma} \! \ int _ {S} \ mathrm {d ^ {2}} O = n ^ {2} ~ G}.
Pode-se mostrar que a extensão ótica é preservada se for submetida a fenômenos de refração e reflexão. Portanto, também é conservado quando os raios passam por um sistema óptico perfeito. Essa conservação pode ser demonstrada de diferentes maneiras, a partir da óptica hamiltoniana ou via segunda lei da termodinâmica. Por outro lado, a extensão não é mantida quando os raios são espalhados , o que leva a um aumento do ângulo sólido do feixe de luz. Em um sistema real, portanto, a extensão pode permanecer constante ou aumentar, mas não pode diminuir. Esta é uma consequência direta do aumento da entropia do sistema, que só pode ser compensada pela disponibilização de informação a priori que permita reconstituir uma frente de onda coerente, por conjugação de fase .
não2G{\ displaystyle n ^ {2} G}
Coerência de um feixe de luz
Está provado que um feixe monocromático de comprimento de onda é coerente em uma extensão geométrica próxima a .
λ{\ displaystyle \ lambda}λ2{\ displaystyle \ lambda ^ {2}}
Fator de forma
No caso usual de radiação no ar, onde , a extensão geométrica do feixe de luz elementar pode assumir a forma:
não=1{\ displaystyle n = 1}
d2G=π dΣ(cosθΣ cosθSπ d2 dS){\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} G = \ pi ~ \ mathrm {d} \ Sigma \ left ({\ frac {\ cos {\ theta _ {\ Sigma}} ~ \ cos {\ theta _ { S}}} {\ pi ~ d ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} S \ right)}.
O termo entre parênteses é o fator de forma básico da transferência de vermes .
dΣ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Sigma}dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}
Veja também
links externos
Referências
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François Desvignes, Radiometria. Fotometria , edições técnicas do Engineer ( leia online )
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Jean-Pierre Goure , Óptica em instrumentos: General , Paris, Lavoisier ,1 st fevereiro 2011, 324 p. ( ISBN 978-2-7462-1917-5 , leia online )
-
Bernard Balland , Ótica geométrica: imagens e instrumentos , Lausanne, Presses polytechniques et universitaire romandes ,2007, 860 p. ( ISBN 978-2-88074-689-6 , leia online )
-
Luke Audaire, Detectores de radiação óptica , Engenharia de publicação técnica ( leia online )
-
(in) Julio Chaves , Introdução à Óptica de Nonimaging, Segunda Edição , CRC Press ,2015, 786 p. ( ISBN 978-1-4822-0673-9 , leia online )
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Curso online do Observatório de Paris , maio de 2010
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