Aceleração de Coriolis
A aceleração de Coriolis (nomeada em homenagem ao cientista francês Gaspard-Gustave de Coriolis ) ou aceleração adicional é um termo de aceleração que ocorre quando se estuda o movimento de um corpo movendo-se em um repositório em rotação em comparação com um referencial galileu .
noVS→=2Ω→R/Rg∧v→M/R{\ displaystyle {\ vec {a_ {C}}} = 2 \, {\ vec {\ Omega}} _ {R / R_ {g}} \ wedge {\ vec {v}} _ {M / R}}
Freqüentemente, fazemos com que corresponda a uma força fictícia correspondente (a força de Coriolis ) para continuar a estudar o corpo considerado em seu referencial em rotação (para simplificar a resolução).
Cálculo da aceleração de Coriolis
Seja o vetor de raio do ponto considerado no referencial absoluto de referência R, d / dt o operador derivativo total em R, o operador derivado relativo no referencial móvel de referência R 'e o vetor de velocidade instantânea de R' em R. A derivação total do operador L 'é então escrita de acordo com a fórmula de Varignon :
r→ {\ displaystyle \ {\ vec {r}} \}
∂/∂t {\ displaystyle \ partial / \ partial t \}
Ω→{\ displaystyle {\ vec {\ Omega}}}
ddt=∂∂t+Ω→∧{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ vec {\ Omega}} \ wedge}
Esta expressão pode ser (formalmente) elevada ao quadrado:
d2dt2=(∂∂t+Ω→∧)(∂∂t+Ω→∧){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ vec {\ Omega}} \ wedge \ right) \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ vec {\ Omega}} \ wedge \ right)}
=∂2∂t2+∂∂t(Ω→∧)+Ω→∧∂∂t+Ω→∧(Ω→∧){\ displaystyle = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} ({\ vec {\ Omega}} \ wedge ) + {\ vec {\ Omega}} \ wedge {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ vec {\ Omega}} \ wedge ({\ vec {\ Omega}} \ wedge)}
=∂2∂t2+∂Ω→∂t∧+Ω→∧∂∂t+Ω→∧∂∂t+Ω→∧(Ω→∧){\ displaystyle = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} + {\ frac {\ partial {\ vec {\ Omega}}} {\ partial t}} \ wedge + {\ vec {\ Omega}} \ wedge {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ vec {\ Omega}} \ wedge {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ vec {\ Omega}} \ wedge ({\ vec {\ Omega}} \ wedge)}
=∂2∂t2+∂Ω→∂t∧+2Ω→∧∂∂t+Ω→∧(Ω→∧){\ displaystyle = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} + {\ frac {\ partial {\ vec {\ Omega}}} {\ partial t}} \ wedge + 2 {\ vec {\ Omega}} \ wedge {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ vec {\ Omega}} \ wedge ({\ vec {\ Omega}} \ wedge)}
Podemos agora aplicar o segundo operador derivativo total ao vetor raio :
r→ {\ displaystyle \ {\ vec {r}} \}
d2r→dt2=∂2r→∂t2+∂Ω→∂t∧r→+2Ω→∧∂r→∂t+Ω→∧(Ω→∧r→){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {r}}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {r}}} {\ partial t ^ {2}}} + {\ frac {\ partial {\ vec {\ Omega}}} {\ partial t}} \ wedge {\ vec {r}} + 2 { \ vec {\ Omega}} \ wedge {\ frac {\ partial {\ vec {r}}} {\ partial t}} + {\ vec {\ Omega}} \ wedge ({\ vec {\ Omega}} \ cunha {\ vec {r}})}
Nós distinguimos:
d2r→dt2{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {r}}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}
é a soma de quatro termos, a aceleração relativa,
∂2r→∂t2{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {r}}} {\ partial t ^ {2}}}}
aceleração tangencial,
∂Ω→∂t∧r→{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Omega}}} {\ partial t}} \ wedge {\ vec {r}}}
- a aceleração de Coriolis :
2Ω→∧∂r→∂t{\ displaystyle 2 {\ vec {\ Omega}} \ wedge {\ frac {\ partial {\ vec {r}}} {\ partial t}}}
- e aceleração centrípeta (igual e oposta à aceleração centrífuga)
Ω→∧(Ω→∧r→){\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} \ wedge ({\ vec {\ Omega}} \ wedge {\ vec {r}})}
A soma da aceleração tangencial e da aceleração centrípeta é a aceleração de treinamento.
Link com o "desvio para o Leste"
Considere uma pedra caindo em um poço muito profundo. A aceleração absoluta da pedra se deve à atração da terra:d2r→dt2=g→{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {r}}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ vec {g}}}
Seja a velocidade atual da pedra, e consideremos que a Terra gira a uma velocidade constante:v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}
∂Ω→∂t=0→{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Omega}}} {\ partial t}} = {\ vec {0}}}
Um observador localizado na borda do poço mede a aceleração de em seu referencial relativo:
r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}
∂2r→∂t2=g→-2Ω→∧v→{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {r}}} {\ partial t ^ {2}}} = {\ vec {g}} - 2 {\ vec {\ Omega}} \ cunha {\ vec {vb}}}
A aceleração centrípeta está incluída no termo gravitacional, sendo desprezível no módulo. sendo direcionado para o centro da terra ("queda") e tendo a direção Sul-Norte, o termo de Coriolis é direcionado para o Leste.
v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}Ω→{\ displaystyle {\ vec {\ Omega}}}-2Ω→∧v→{\ displaystyle -2 {\ vec {\ Omega}} \ wedge {\ vec {v}}}
Inversamente, um foguete sujeito a um impulso vertical constante parecerá aos observadores terrestres desviado para o oeste.
Interpretação
A aceleração de Coriolis permite a interpretação de muitos fenômenos na superfície da Terra: por exemplo, o movimento de massas de ar e ciclones, o desvio da trajetória de projéteis a longa distância, a mudança do plano de movimento de um pêndulo como mostrado por Foucault em sua experiência de 1851 no Panteão de Paris, bem como o ligeiro desvio para o leste durante a queda livre.
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Referências
-
(em) P. Smith e RC Smith , Mecânica: série Wiley em matemática introdutória para cientistas e engenheiros , Wiley-Blackwell,1990, 342 p. ( ISBN 0471927376 )
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