Anel não comutativo de polinômios
O objetivo deste artigo é mostrar como obtemos o anel de polinômios com uma variável (ou indeterminada ) em um anel (unitário), não necessariamente comutativo.
O caso de anéis de polinômios em um anel comutativo unificado é tratado nos artigos Construção do anel de polinômios e Polinômio formal (com um indeterminado) e no artigo Polinômio em vários indeterminados . Neste último, outro tipo de anel polinomial não comutativo é construído: a álgebra de um monóide .
Preliminares
Nos é dado um anel unitário Uma .
Vamos construir:
- o conjunto A [ X ];
- uma estrutura de anel (unitária) neste conjunto, comutativa se A for, e integrada se A for;
Vamos provar
- a existência de uma operação de divisão euclidiana , ou duas dessas operações à direita e à esquerda se A for não comutativo, por qualquer polinômio com coeficiente dominante invertível em A , com quociente e resto únicos,
- e a sua relação com a avaliação ( direita ou esquerda ) dos polinómios em um elemento de Uma .
Definição do conjunto
Vamos considerar as sequências de elementos de A , zero de um determinado posto. Este conjunto pode ser visto como a parte do conjunto definido a seguir:
NONÃO{\ displaystyle A ^ {\ mathbb {N}}}![{\ displaystyle A ^ {\ mathbb {N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/966355402c54a83a0f2c301d264da581e33b1bd7)
{(nonão)não∈NÃO∈NONÃO∣∃NÃO≥0:∀não≥NÃO:nonão=0}{\ displaystyle \ left \ {(a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ in A ^ {\ mathbb {N}} \ mid \ exists N \ geq 0: \ forall n \ geq N : a_ {n} = 0 \ certo \}}![{\ displaystyle \ left \ {(a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ in A ^ {\ mathbb {N}} \ mid \ exists N \ geq 0: \ forall n \ geq N : a_ {n} = 0 \ certo \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cf868137deac7a5f7242a2a4463bf19a00a1e3a)
Este é o nosso conjunto A [ X ].
Definição da estrutura do anel
Vamos começar definindo esse X misterioso , chamado indeterminado : é a seqüência zero em todos os lugares, exceto no índice onde vale a pena . Notamos também que podemos injetar A em A [ X ] pelo aplicativo que associa a um elemento a a sequência cujo coeficiente no índice 0 é igual a a , e que é zero em todos os outros lugares.
1{\ displaystyle 1}
1{\ displaystyle 1}![1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
Para definir a estrutura do grupo aditivo em A [ X ], contenta-se em retomar a estrutura herdada naturalmente pelo fato de serem sequências com valores em um anel: a sequência é dada por
. O elemento neutro é a sequência inteiramente nula. A estrutura multiplicativa é um pouco mais complicada: a sequência é dada por
no+b{\ displaystyle a + b}
(no+b)não=(no)não+(b)não{\ displaystyle (a + b) _ {n} = (a) _ {n} + (b) _ {n}}
no∗b{\ displaystyle a * b}![{\ displaystyle a * b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4baddb0eb2fc85a456316d026699d38f5166a27c)
(no∗b)não=∑k+eu=nãonokbeu.{\ displaystyle (a * b) _ {n} = \ sum _ {k + l = n} a_ {k} b_ {l} \,.}![{\ displaystyle (a * b) _ {n} = \ sum _ {k + l = n} a_ {k} b_ {l} \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/231911a998172948f0351ebdcbc944afd2440bee)
Como as sequências de um e b têm apenas um número finito de coeficientes diferentes de zero, que é o mesmo para e . A fórmula para define claramente uma lei de composição interna associativa e comutativa , da qual a imagem do elemento 1 de A pelo mapa injetivo mencionado é elemento unitário (também é notado 1), bem como a propriedade de distributividade em relação a a adição definida acima.
no+b{\ displaystyle a + b}
no∗b{\ displaystyle a * b}
no∗b{\ displaystyle a * b}
NO→NO[X]{\ displaystyle A \ a A [X]}![{\ displaystyle A \ a A [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72111c21d8c1444f2255a3380043b4b51d50dbb0)
E com esta adição e esta multiplicação, é claro que temos uma estrutura em anel. Resta notar que é a sequência nula em todos os lugares, exceto em n , onde vale a pena ; em particular, qualquer polinômio é, portanto, escrito de uma maneira única:
Aqui encontramos a escrita usual de polinômios.
Xnão{\ displaystyle X ^ {n}}
1{\ displaystyle 1}
P=(nonão)não{\ displaystyle P = (a_ {n}) _ {n}}
P=∑nãononãoXnão{\ displaystyle P = \ sum _ {n} a_ {n} X ^ {n}}![{\ displaystyle P = \ sum _ {n} a_ {n} X ^ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c14003c83e4ddb072097ba8c5ab4b7d1111430df)
Divisão euclidiana à direita (resp. À esquerda)
Estamos atendendo dois polinômios P e U . Não fazemos uma suposição sobre o primeiro, mas pedimos que o coeficiente dominante do segundo seja invertível .
Queremos provar que existe um par único de polinômios Q e R atendendo às duas condições a seguir:
-
P=vocêQ+R{\ displaystyle \ quad P = UQ + R}
;
-
deg(R)<deg(você){\ displaystyle \ quad \ deg (R) <\ deg (U)}
.
Q{\ displaystyle Q}
será o quociente e R o restante na divisão correta. Também diremos que Q é o quociente à direita e R o restante à direita .
Se R = 0 diremos naturalmente que P é divisível à direita por U.
Simetricamente, denotaremos por quociente à esquerda e permaneceremos à esquerda os polinômios Q ' e R' verificando:
-
P=Q′você+R′{\ displaystyle \ quad P = Q'U + R '}
;
-
deg(R′)<deg(você){\ displaystyle \ quad \ deg (R ') <\ deg (U)}
.
e se R = 0, P é dito esquerda divisível por L .
É óbvio que essas 2 noções coincidem no caso de um anel comutativo. Vamos demonstrar a unicidade e a existência do quociente e o resto apenas no primeiro caso, a adaptação ao segundo caso não apresenta qualquer dificuldade.
Singularidade
Vamos e ser dois casais que satisfaz as condições exigidas, em seguida,
(Q1,R1){\ displaystyle (Q_ {1}, R_ {1})}
(Q2,R2){\ displaystyle (Q_ {2}, R_ {2})}![{\ displaystyle (Q_ {2}, R_ {2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a6cfed5785b8476da452b2c23c2f2b94f1bf81)
- você(Q1-Q2)=R2-R1{\ displaystyle U (Q_ {1} -Q_ {2}) = R_ {2} -R_ {1}}
![{\ displaystyle U (Q_ {1} -Q_ {2}) = R_ {2} -R_ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e341f756f3c385c0494cd9fdf302154d73cb67c)
-
deg(você(Q1-Q2))=deg(você)+deg(Q1-Q2){\ displaystyle \ deg (U (Q_ {1} -Q_ {2})) = \ deg (U) + \ deg (Q_ {1} -Q_ {2})}
porque o coeficiente dominante de não é um divisor de zero (uma vez que é invertível)você{\ displaystyle U}![você](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025)
- deg(R2-R1)≤max(deg(R2),deg(R1))<deg(você){\ displaystyle \ deg (R_ {2} -R_ {1}) \ leq \ max (\ deg (R_ {2}), \ deg (R_ {1})) <\ deg (U)}
![{\ displaystyle \ deg (R_ {2} -R_ {1}) \ leq \ max (\ deg (R_ {2}), \ deg (R_ {1})) <\ deg (U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/517c52575feb5ba06ff0f57d1f5791da632eb410)
de onde , portanto , então .
deg(Q1-Q2)<0{\ displaystyle \ deg (Q_ {1} -Q_ {2}) <0}
Q1=Q2{\ displaystyle Q_ {1} = Q_ {2}}
R1=R2{\ displaystyle R_ {1} = R_ {2}}![{\ displaystyle R_ {1} = R_ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41eda037784d10a3459ada6ae60477ab929ce15c)
Existência
Nós o mostramos por indução no grau do polinômio :
P{\ displaystyle P}![P](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
- if : apenas pegue e .deg(P)<deg(você){\ displaystyle \ deg (P) <\ deg (U)}
Q=0{\ displaystyle Q = 0}
R=P{\ displaystyle R = P}![{\ displaystyle R = P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad5431b95de91c52ed5675c581f8da918a823de)
- if : denota o coeficiente dominante de , aquele de e o monômio ; então é o mesmo monômio dominante que , portanto ; por hipótese de indução existem dois polinômios e tais que e ; de onde .deg(P)≥deg(você){\ displaystyle \ deg (P) \ geq \ deg (U)}
no{\ displaystyle a}
P{\ displaystyle P}
b{\ displaystyle b}
você{\ displaystyle U}
M{\ displaystyle M}
b-1noXdegP-degvocê{\ displaystyle b ^ {- 1} aX ^ {\ deg P- \ deg U}}
vocêM{\ displaystyle UM}
P{\ displaystyle P}
deg(P-vocêM)<deg(P){\ displaystyle \ deg (P-UM) <\ deg (P)}
Q{\ displaystyle Q}
R{\ displaystyle R}
(P-vocêM)=vocêQ+R{\ displaystyle (P-UM) = UQ + R}
deg(R)<deg(você){\ displaystyle \ deg (R) <\ deg (U)}
P=você(Q+M)+R{\ displaystyle P = U (Q + M) + R}![{\ displaystyle P = U (Q + M) + R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe9659820e88111c2fba388adc6241ff914dcab)
Observações
- Para exclusividade, poderíamos supor que o coeficiente dominante de U era apenas regular; por outro lado, para a existência, essa reversibilidade é necessária (ver o artigo Divisão de um polinômio ).
- A unicidade é tratada primeiro, porque sem dizê-lo, é a unicidade que aponta para a existência, usando a noção do grau de um polinômio .
Valor à direita (resp. À esquerda) de um polinômio para um elemento do anel
Deixe e . Vamos posar
P∈NO[X]{\ displaystyle P \ in A [X]}
você∈NO{\ displaystyle u \ in A}![{\ displaystyle u \ in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7373fa8afb94205154d40f84f49609144ea2134a)
P=nonãoXnão+nonão-1Xnão-1+...+no1X+no0{\ displaystyle \ quad P = a_ {n} X ^ {n} + a_ {n-1} X ^ {n-1} + ... + a_ {1} X + a_ {0}}![{\ displaystyle \ quad P = a_ {n} X ^ {n} + a_ {n-1} X ^ {n-1} + ... + a_ {1} X + a_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a2bb0ae6f4fde4483638153b2623da209c74ed0)
Denotamos por valor à direita de P paraX=você{\ displaystyle X = u}
o elemento de A :
Pd(você)=nonãovocênão+nonão-1vocênão-1+...+no1você+no0{\ displaystyle \ quad P_ {d} (u) = a_ {n} u ^ {n} + a_ {n-1} u ^ {n-1} + ... + a_ {1} u + a_ {0 }}![{\ displaystyle \ quad P_ {d} (u) = a_ {n} u ^ {n} + a_ {n-1} u ^ {n-1} + ... + a_ {1} u + a_ {0 }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e192c8b250b94a12c1c74a323787a4ce7bc533)
Da mesma forma, o valor à esquerda será:
Pg(você)=vocênãononão+vocênão-1nonão-1+...+vocêno1+no0{\ displaystyle \ quad P_ {g} (u) = u ^ {n} a_ {n} + u ^ {n-1} a_ {n-1} + ... + ua_ {1} + a_ {0} }![{\ displaystyle \ quad P_ {g} (u) = u ^ {n} a_ {n} + u ^ {n-1} a_ {n-1} + ... + ua_ {1} + a_ {0} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1896a3b53766dc679286acdc7b302ed63dad8e0e)
Teorema Se u for um elemento central de A (e, portanto, para todos se A for comutativo), os valores à esquerda e à direita de for coincidem, e denotando esse valor por , o mapa é um morfismo de anel .
você∈NO{\ displaystyle u \ in A}
P∈NO[X]{\ displaystyle P \ in A [X]}
X=você{\ displaystyle X = u}
P[X: =você]{\ displaystyle P [X: = u]}
P↦P[X: =você]{\ displaystyle P \ mapsto P [X: = u]}
NO[X]→NO{\ displaystyle A [X] \ a A}![{\ displaystyle A [X] \ a A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a395242a3e642919050675629dd75ecea31baf72)
Prova . Como u comuta com todos os coeficientes de P , os valores à esquerda e à direita são iguais. O que é um morfismo de grupo também é claro (e não depende de u ser um elemento central). Para a compatibilidade com a multiplicação, deixe e então temos
graças à comutação de com os coeficientes .
P↦P[X: =você]{\ displaystyle P \ mapsto P [X: = u]}
P=∑eunoeuXeu{\ displaystyle P = \ sum _ {i} a_ {i} X ^ {i}}
Q=∑jbjXj{\ displaystyle Q = \ sum _ {j} b_ {j} X ^ {j}}
P[X: =você]Q[X: =você]=∑eu,jnoeuvocêeubjvocêj=∑eu,jnoeubjvocêeu+j=PQ[X: =você]{\ displaystyle P [X: = u] Q [X: = u] = \ sum _ {i, j} a_ {i} u ^ {i} b_ {j} u ^ {j} = \ sum _ {i , j} a_ {i} b_ {j} u ^ {i + j} = PQ [X: = u]}
vocêeu{\ displaystyle u ^ {i}}
bj{\ displaystyle b_ {j}}![b_j](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa56eff4488494085785b7b0d6e2069bd45a3ce5)
Divisões por X-você{\ displaystyle Xu}
Como o coeficiente dominante 1 do polinômio é obviamente invertível , as divisões à direita e à esquerda são possíveis. Deixe e . Então temos:
X-você{\ displaystyle Xu}
P∈NO[X]{\ displaystyle P \ in A [X]}
você∈NO{\ displaystyle u \ in A}![{\ displaystyle u \ in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7373fa8afb94205154d40f84f49609144ea2134a)
Teorema
O restante da divisão à esquerda do polinômio P por é igual ao valor à direita .
X-você{\ displaystyle Xu}
Pd(você){\ displaystyle P_ {d} (u)}![{\ displaystyle P_ {d} (u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a701eaed6b18820ec803b299e76cff4ec0a7d2a)
Vamos posar Q=bnão-1Xnão-1+...+b1X+b0{\ displaystyle \ quad Q = b_ {n-1} X ^ {n-1} + ... + b_ {1} X + b_ {0}}
Temos e agrupando os termos do mesmo grau do segundo membro:
P=Q(X-você)+R{\ displaystyle P = Q (Xu) + R}![{\ displaystyle P = Q (Xu) + R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18303b87b43160f6cc9ed75990a06d104a09070b)
P=bnão-1Xnão+(bnão-2-bnão-1você)Xnão-1+...(b0-b1você)X-b0você+R{\ displaystyle \ quad P = b_ {n-1} X ^ {n} + (b_ {n-2} -b_ {n-1} u) X ^ {n-1} + ... (b_ {0 } -b_ {1} u) X-b_ {0} u + R}
Se alguém então substitui X por u no lado direito (que é de fato o cálculo do valor à direita), nota-se imediatamente que os termos provenientes do produto se cancelam 2 a 2 e obtém-se o resultado anunciado.
Q(X-você){\ displaystyle Q (Xu)}![{\ displaystyle Q (Xu)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f46a915d96b3dc24306761aa6f0c4d4eee982da)
Observe que, quando u não é central, não podemos apelar para o teorema anterior e raciocinar isso . Mas, tomando novamente a prova desse teorema, pode-se, no entanto, justificar essa fórmula. Observamos que nesta prova escrevemos na forma do valor à direita, e que a prova utilizou apenas a comutação de u com os coeficientes b j do polinômio à direita ; entretanto, na fórmula considerada esta comutação é válida porque os únicos coeficientes do polinômio à direita são e , que comutam com u .
Pd(você)=Qd(você)(X-você)d(você)+R=Qd(você).0+R=R{\ displaystyle P_ {d} (u) = Q_ {d} (u) (Xu) _ {d} (u) + R = Q_ {d} (u) .0 + R = R}
P[X: =você]{\ displaystyle P [X: = u]}
X-você{\ displaystyle Xu}
b1=1{\ displaystyle b_ {1} = 1}
b0=você{\ displaystyle b_ {0} = u}![{\ displaystyle b_ {0} = u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf02e4d9c64d132cd94641aee7222c7f68298d6)
Temos o resultado simétrico:
O restante da divisão à direita do polinômio P por é igual ao valor à esquerda .
X-você{\ displaystyle Xu}
Pg(você){\ displaystyle P_ {g} (u)}![{\ displaystyle P_ {g} (u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00f1f133e881f81f236a391bfc5afd111de5ef31)
Corolário
O polinômio P é divisível à esquerda por se e somente se e o polinômio P é divisível à direita por se e somente seX-você{\ displaystyle Xu}
Pd(você)=0{\ displaystyle P_ {d} (u) = 0}
X-você{\ displaystyle Xu}
Pg(você)=0{\ displaystyle P_ {g} (u) = 0}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">