Bialgebra

Em matemática , um Bialgebra ou bialgebra é um conjunto que possui uma estrutura de álgebra e uma estrutura coalgebra , e como essas duas estruturas são compatíveis. As álgebras de Hopf são particularmente bialgebras.

Definição

Se for um campo, uma bialgebra é um espaço vetorial com quatro mapas lineares: k{\ displaystyle k}k{\ displaystyle k}B{\ displaystyle B}

• um produto ,µ:B⊗B⟶B{\ displaystyle \ mu: B \ otimes B \ longrightarrow B}
• uma unidade ,η:k⟶B{\ displaystyle \ eta: k \ longrightarrow B}
• um co-produto ,Δ:B⟶B⊗B{\ displaystyle \ Delta: B \ longrightarrow B \ otimes B}
• um conselho .ϵ:B⟶k{\ displaystyle \ epsilon: B \ longrightarrow k}

tal que seja uma álgebra e uma coalgebra , e que satisfaça uma das seguintes propriedades equivalentes: (B,µ,η){\ displaystyle (B, \ mu, \ eta)}(B,Δ,ϵ){\ displaystyle (B, \ Delta, \ epsilon)}

1. Δ{\ displaystyle \ Delta}e são morfismos de álgebras.ϵ{\ displaystyle \ epsilon}
2. µ{\ displaystyle \ mu}e são morfismos de coalgebras.η{\ displaystyle \ eta}

Motivações

A noção de bialgebras intervém principalmente no estudo das álgebras de Hopf que são bialgebras particulares.

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