Co-finalidade

Considere um conjunto A dotado de uma relação binária ≤. Um subconjunto B de A é considerado cofinal se:

para qualquer elemento a de A, existe um elemento b de B tal que a ≤ b ; ∀ a ∈ A, ∃ b ∈ B \ a ≤ b .

A cofinalidade do conjunto A é a cardinalidade do menor subconjunto cofinal de A.

A co - finalidade de um ordinal limite é o menor ordinal de tal forma que existe uma função não mapeada. Este ordinal é geralmente observado ou . $\alfa$ $\beta$ $f: \ beta \ rightarrow \ alpha$ ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cf} (\ alpha)}$

Intuitivamente, é o menor número de etapas a serem executadas para chegar ao final de . ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}$ $\alfa$

Por exemplo, podemos ir para o fim da em etapas, com a função de identidade, mas não podemos ir para o fim de em um número finito de passos. Então nós temos . $\ aleph_0$ $\ aleph_0$ $\ aleph_0$ ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ aleph _ {0}) = \ aleph _ {0}}$

Um cardeal que é igual à sua cofinalidade, como aqui , é chamado de cardeal regular . $\ aleph_0$

Da mesma forma, podemos ir atrás no -lo, mas não pode fazê-lo em um número contável de passos. Então nós temos ; que, portanto, também é um cardeal regular. $\ aleph _ {1}$ $\ aleph _ {1}$ ${\ displaystyle cof (\ aleph _ {1}) = \ aleph _ {1}}$

Por outro lado, podemos ir ao final em etapas, com a função definida por , portanto . $\ aleph _ {\ omega}$ $\ aleph_0$ ${\ displaystyle f: \ aleph _ {0} \ rightarrow \ aleph _ {\ omega}}$ ${\ displaystyle f (n) = \ aleph _ {n}}$ ${\ displaystyle cof (\ aleph _ {\ omega}) = \ aleph _ {0}}$

Um cardeal que não é regular, isto é, que não é igual à sua cofinalidade, como aqui se denomina cardinal no singular . $\ aleph _ {\ omega}$

Propriedades

Para qualquer limite ordinal , temos as seguintes propriedades: $\alfa$

${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}$ existir ;
${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}$ é um cardeal ;
${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}$ é regular, em outras palavras ; ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ operatorname {cof} (\ alpha)) = \ operatorname {cof} (\ alpha)}$
Se e então é limitado; ${\ displaystyle \ mathrm {X} \ subset \ alpha}$ ${\ displaystyle | \ mathrm {X} | <\ operatorname {cof} (\ alpha)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {X}}$
se for um limite ordinal, então ; por exemplo ,. $\beta$ ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ aleph _ {\ beta}) = \ operatorname {cof} (\ beta)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ aleph _ {\ aleph _ {1}}) = \ operatorname {cof} (\ aleph _ {1}) = \ aleph _ {1}}$

Para qualquer cardinal infinito , temos as seguintes propriedades: $\ kappa$

${\ displaystyle \ kappa <\ kappa ^ {\ operatorname {cof} (\ kappa)}}$ , é uma consequência do teorema de König ;
para qualquer cardinal , ; pois e , obtemos , portanto, temos em particular ; isso também é uma consequência do teorema de König. $\ lambda$ ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ lambda ^ {\ kappa})> \ kappa}$ ${\ displaystyle \ lambda = 2}$ ${\ displaystyle \ kappa = \ aleph _ {0}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (2 ^ {\ aleph _ {0}})> \ aleph _ {0}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} \ neq \ aleph _ {\ omega}}$

A co-finalidade dos cardeais permite destacar certas diferenças de comportamento. Por exemplo, em relação à exponenciação cardinal, William B. Easton (in) provou essencialmente que, para cardinais regulares, as únicas restrições prováveis na função são e . Para cardeais singulares, a situação é diferente. Em particular, Jack Silver (in) demonstrou que se é singular e de incontável co-finalidade, e se para tudo , então . ${\ displaystyle \ mathrm {ZFC}}$ ${\ displaystyle f (\ kappa) = 2 ^ {\ kappa}}$ ${\ displaystyle \ kappa \ leq \ lambda \ Rightarrow f (\ kappa) \ leq f (\ lambda)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (f (\ kappa))> \ kappa}$ $\ kappa$ ${\ displaystyle \ lambda <\ kappa}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ lambda} = \ lambda ^ {+}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ kappa} = \ kappa ^ {+}}$

Generalizações

Podemos generalizar a noção de cofinalidade para qualquer conjunto pré-encomendado : se for um conjunto pré-encomendado, a cofinalidade de é o menor cardinal de uma parte cofinal em , ou seja, tal que para tudo existe tal . ${\ displaystyle (A, \ leq)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ mathrm {B}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle b \ in \ mathrm {B}}$ $a \ leq b$

Por exemplo, se é o conjunto de funções de em si mesmo dotado da pré-ordem definida por se e somente se para qualquer inteiro de um determinado posto, então a cofinalidade dessa pré-ordem, geralmente observada e chamada de número dominante ( inglês : número dominante ) , é um cardinal entre e , mas seu valor exato não pode ser determinado na axiomática usual da teoria dos conjuntos, ZFC . ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ $\ómega$ ${\ displaystyle \ leq ^ {*}}$ ${\ displaystyle f \ leq ^ {*} g}$ ${\ displaystyle f (n) \ leq g (n)}$ $não$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {d}}}$ $\ aleph _ {1}$ $2 ^ {\ aleph _ {0}}$

A teoria do CPF (in) introduzida por Saharon Shelah , estudando possíveis cofinalités de ultraprodutos alguns de conjuntos ordenados. Isso lhe permitiu demonstrar novas desigualdades na exponenciação cardinal, como por exemplo ,. ${\ displaystyle \ aleph _ {\ omega} ^ {\ aleph _ {0}} \ leq 2 ^ {\ aleph _ {0}} + \ aleph _ {\ omega _ {4}}}$

Referências

MyiLibrary ( serviço online) , teoria dos conjuntos , Springer ( ISBN 978-3-540-44085-7 e 3-540-44085-2 , OCLC 757105116 , leitura online )
(em) William Bigelow Easton, " Powers of regular cardinals " , Annals Of Mathematical Logic , vol. 1, n o 21970, p. 139-178 ( ler online )
(em) Jack Silver, " On the singular cardinals problem " , Proceedings of the International Congress of Mathematicians , vol. 1,1975(265-268)
Shelah Saharon , Cardinal aritmética , Clarendon Press,1 ° de janeiro de 2002, 481 p. ( ISBN 978-0-19-853785-4 , OCLC 909512480 , leia online )