Em matemática , mais precisamente em álgebra linear e em análise funcional , o complemento ortogonal W ⊥ de um subespaço vetorial W de um espaço pré - ilbertiano V é o conjunto de vetores de V que são ortogonais a qualquer vetor de W , c 'isto é
O complemento ortogonal é sempre um subespaço vetorial fechado . Para um espaço de Hilbert , de acordo com o teorema do suplemento ortogonal , o complemento ortogonal do complemento ortogonal de W é a adesão de W , ou seja
Exemplo 1
Exemplo 2. Cálculo pelo método Gaussiano
Existe um análogo dessa noção para qualquer espaço de Banach . Podemos então definir o complemento ortogonal de W como sendo o subespaço do dual topológico V ' de V definido por
É sempre um subespaço fechado de V ' . Há também uma propriedade análoga ao complemento duplo. W ⊥⊥ é então um subespaço de V '' (que não é igual a V ). No entanto, se V for um espaço reflexivo , ou seja, se o morfismo natural for um isomorfismo , temos:
Isso é uma consequência do teorema de Hahn-Banach .