Segunda derivada

A segunda derivada é a derivada da derivada de uma função , quando é definida. Permite medir a evolução das taxas de variação. Por exemplo, a segunda derivada do deslocamento é a variação da velocidade (taxa de mudança do deslocamento) ou aceleração.

Função de uma única variável real

Se a função admite uma segunda derivada, dizemos que é da classe D 2 ; Se, além disso, esta segunda derivada é contínuo, a função é dito ser da classe C 2 .

Avaliação

Se denotarmos por $f$ a função, então

a derivada é denotada por $f '$ ou ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}}}$
a segunda derivada é denotada $f '' = ( f ' ) '$ ("f segundo") ou ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} f} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} } \ left ({\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} \ right)}$

Representação Gráfica

A segunda derivada indica a variação da inclinação da curva representativa e permite medir a concavidade local da curva:

se for positivo em um intervalo, a inclinação aumenta, a curvatura é para cima, a função é dita “ convexa ” nesse intervalo;
se for negativa em um intervalo, a inclinação diminui, a curvatura é para baixo, a função é dita “ côncava ” nesse intervalo;
se for zero, a curva é localmente retilínea;
se a segunda derivada desaparecer e mudar de sinal, temos um ponto de inflexão , a curvatura da curva é revertida.

Esses valores também permitem dar detalhes sobre os extremos locais, caracterizados pelo cancelamento da derivada em um ponto $x$ :

se $f ' ( x ) = 0$ e $f' ' ( x ) <0$ , $f$ tem um máximo local em $x$ ;
se $f ' ( x ) = 0$ e $f' ' ( x )> 0$ , $f$ tem um mínimo local em $x$ ;
se $f ' ( x ) = f' ' ( x ) = 0$ , não podemos concluir.

Função não admitindo uma segunda derivada

Funções que não podem ser diferenciadas em um ponto não admitem uma segunda derivada; a fortiori as funções não contínuas em um ponto;
uma primitiva de uma função contínua não derivável é uma função contínua e diferenciável, mas não possui uma segunda derivada nos pontos onde a função inicial não é diferenciável; este é notavelmente o caso com o primitivo de um primitivo de uma função não contínua, mas limitada.
- uma primitiva dupla da função de sinal, ∫∫sgn $\ operatorname {sgn} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} -1 &: x <0 \\\; 0 &: x = 0 \\\; 1 &: x> 0 \ end {matrix }} \ certo.$ ;
  um duplo primitivo está envolvido . $f: x \ mapsto (x \ times | x |) / 2$
- a primitiva de uma função triangular (dente de serra), a primitiva dupla de uma função quadrada, a primitiva dupla da função inteira E, ...

A antiderivada de uma função dente de serra é diferenciável uma vez, mas não duas vezes
A segunda primitiva da função da parte decimal é diferenciável uma vez, mas não duas vezes
A segunda primitiva da função inteira é diferenciável uma vez, mas não duas vezes

Generalização