Conjunto definível

Em matemática , um conjunto definível em uma dada estrutura do conjunto de base M é um subconjunto de M m ( m inteiro natural) para o qual podemos encontrar uma fórmula da linguagem da estrutura, com possivelmente para elementos de parâmetros de M , de modo que o os elementos são exatamente aqueles que satisfazem esta fórmula.

Definição

Let ser uma linguagem de primeira ordem, uma estrutura de domínios , um subconjunto de , e m um número natural. Então : $\ mathcal {L}$ ${\ mathcal {M}}$ $\ mathcal {L}$ $M$ $X$ $M$

Um subconjunto de é definível em com parâmetros em se houver uma fórmula de linguagem e elementos como para todos , $E$ ${\ displaystyle M ^ {m}}$ ${\ mathcal {M}}$ $X$ ${\ displaystyle \ varphi [x_ {1}, \ ldots, x_ {m}, y_ {1}, \ ldots, y_ {n}]}$ ${\ mathcal {L}}$ ${\ displaystyle b_ {1}, \ ldots, b_ {n} \ in X}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {m} \ in M}$

{\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {m}) \ in E}

se e apenas se

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} \ models \ varphi [a_ {1}, \ ldots, a_ {m}, b_ {1}, \ ldots, b_ {n}]}

se o conjunto X é o próprio M , simplesmente dizemos que E é definível (possivelmente definível com parâmetros) em ℳ; se o conjunto X está vazio, ou seja, nenhum parâmetro aparece na fórmula φ, dizemos que E é definível em ℳ sem parâmetros.

Uma função pode ser definida em (com parâmetros) se seu gráfico puder ser definido em (com esses parâmetros). ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal {M}}$
Um elemento a de é definível (com parâmetros) em se o singleton { a } é definível em (com esses parâmetros). $M$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal {M}}$

A definibilidade em uma estrutura depende, é claro, fortemente da linguagem ℒ (aquela da estrutura) usada para a definição, e também dizemos que o conjunto E é ℒ-definível em ℳ, ou que E é um subconjunto ℒ -definível (definível na língua ℒ) de M m .

Bibliografia

Elisabeth Bouscaren , Cours du magistère Math-Info (Ulm) 2003-2004
David Marker, Model Theory: An Introduction , Springer, 2002.