Função L

Na matemática , a teoria das funções L tornou-se um ramo muito substancial, e ainda amplamente conjectural , da teoria analítica dos números contemporânea. Construímos grandes generalizações da função zeta de Riemann e mesmo da série L para um personagem de Dirichlet e sistematicamente afirmamos suas propriedades gerais, que na maioria dos casos ainda estão além do escopo de uma prova.

Funções L

Para começar, devemos distinguir a série L (por exemplo, a série de Dirichlet para a função zeta de Riemann), e a função L , a função que é sua extensão analítica no nível complexo. As construções gerais começam com uma série L, primeiro definida como uma série de Dirichlet , depois desenvolvida em um produto Euleriano , indexado por números primos. As estimativas são necessárias para mostrar que isso converge na metade direita do plano complexo.

Faz sentido então conjeturar um prolongamento meromórfico no plano complexo, que chamaremos de função L. Nos casos clássicos, sabemos que a informação útil está contida nos valores e no comportamento da função L nos pontos onde a série diverge. O termo geral função L inclui muitos tipos conhecidos de funções zeta. A classe Selberg é uma tentativa de axiomatizar as propriedades essenciais das funções L e encorajar o estudo das propriedades comuns a todas essas funções ao invés do isolamento de cada função L.

Exemplos de funções L

Informação conjuntural

Podemos listar as características de exemplos conhecidos de funções L que gostaríamos de ver generalizadas:

O trabalho detalhado produziu um grande corpo de conjecturas plausíveis, por exemplo, sobre o tipo exato de equação funcional que deve ser verificada. Como a função zeta de Riemann está relacionada, por seus valores a inteiros positivos pares e negativos ímpares, aos números de Bernoulli , buscamos uma generalização apropriada deste fenômeno. Sobre esta questão, resultados foram obtidos para as chamadas funções p -adic L  (en) , que descrevem certos módulos de Galois .

O exemplo da conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer

Um dos exemplos mais influentes, tanto para a história das funções L mais gerais quanto como um problema de pesquisa ainda em aberto, é a conjectura desenvolvida por Bryan Birch e Peter Swinnerton-Dyer no início dos anos 1960. curva elíptica E e o problema dela tenta resolver é a predição do posto de uma curva elíptica sobre o conjunto de números racionais, isto é, o número de geradores livres de seu grupo de pontos racionais. Muitos trabalhos anteriores nesta área começaram a se unificar em torno de um melhor entendimento das funções L. Isso desempenhou o papel de um exemplo paradigmático na teoria emergente das funções L.

A ascensão da teoria geral

Esse desenvolvimento precedeu o programa de Langlands em alguns anos e pode ser visto como complementar: o trabalho de Langlands está amplamente relacionado às funções L de Artin , que, como a de Hecke , foram definidas décadas antes.

Aos poucos ficou mais claro de que maneira se poderia fazer a construção de Hasse-Weil funcionar para obter funções L válidas: no sentido analítico; os dados iniciais tinham que vir da análise, mais precisamente da análise automórfica . O caso geral agora unifica muitos programas de pesquisa diferentes em um nível conceitual.

Alguns links para ir mais longe:

Referências

Artigo relacionado

Valores especiais de funções L  (en)