Função aleatória estacionária de ordem 2

Em geoestatística , uma função aleatória estacionária de ordem 2 (abreviada como FASt-2 ) é uma função aleatória Z em um espaço S tal que:

• sua média é constante: E x [ Z ( x )] = m
• sua covariância é invariante por translação, função da única distância vetorial h entre os dois pontos: Cov [ Z ( x ), Z ( x + h )] = C ( h )

O processo é dito centralizado se sua média for zero em qualquer ponto

.

A expectativa e a variação de uma combinação linear são expressas simplesmente: E[∑euλeuZeu]=E[Z]∑euλeu{\ displaystyle \ mathrm {E} \ left [\ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i} \ right] = \ mathrm {E} \ left [Z \ right] \ sum _ {i} \ lambda _ {i}} Vnor[∑euλeuZeu]=∑eu∑jλeuλjVSov[Zeu,Zj]{\ displaystyle \ mathrm {Var} \ left [\ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i} \ right] = \ sum _ {i} \ sum _ {j} \ lambda _ {i} \ lambda _ {j} \ mathrm {Cov} \ left [Z_ {i}, Z_ {j} \ right]}

Propriedades

• A covariância estacionária covariância C deve ser semi-definida positiva  :

∀m,no∈Rm,z1⋯zm,∑eu=1m∑j=1mnoeunojVS(zeu-zj)≥0{\ displaystyle \ forall m, a \ in \ mathbb {R} ^ {m}, z_ {1} \ cdots z_ {m}, \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1 } ^ {m} a_ {i} a_ {j} C \ esquerda (z_ {i} -z_ {j} \ direita) \ geq 0}

• Normalmente, a covariância tende de 0 a infinito.
• Como corolário, a variância de Z é constante: Var [ Z ( x )] = C (0) .
• Definimos o correlograma ρ ( h ) = C ( h ) ⁄ C (0) , coeficiente de correlação entre Z ( x ) e Z ( x + h ) .
• Uma função aleatória estacionária de ordem 2 também é intrínseca .
• ∀  h , C ( h ) ≤ C (0)
• A propriedade é mantida por linearidade  : seja A : ℝ d → ℝ d linear, o campo da imagem Z A = ( Z A i , i  ∈  S é estacionário com covariância C A ( x i ) = C ( A x i ) , e C A é positivo definido se C for e se A tiver posto completo .
• Se C é contínuo na origem, é uniformemente contínuo em todos os lugares.
• Se C i são covariâncias estacionárias, a i  ≥ 0 , então:
  • A soma finito Σ i C i ( i  ∈ ⟦1; n ⟧ ) é um covariância estacionária
  • O produto acabado Π i C i ( i  ∈ ⟦1; n ⟧ ) é um covariância estacionária
  • O limite lim i → ∞ C i ( h ) é uma covariância estacionária se o limite existe para todo h
• Se C u , u ∈ U ⊆ℝ k são covariâncias estacionárias, μ uma medida positiva em ℝ k tal que C μ ( h ) = ∫ U  C u ( h )  μ (d u ) existe para todo h , então C μ é uma covariância estacionária.

Campo estacionário de segunda ordem em ℤ d

Seja X um campo real em ℝ d , centralizado e estacionário na segunda ordem. Presume-se que seja conhecido em D n  = ⟦1; Sem ⟧ d . Vamos tomar a covariância empírica a uma distância k  ∈ ℤ d  : VS^não(k)=1nãod∑eu,eu+k∈DnãoXeuXeu+k{\ displaystyle {\ hat {C}} _ ​​{n} \ left (k \ right) = {\ frac {1} {n ^ {d}}} \ sum _ {i, i + k \ in D_ {n}} X_ {i} X_ {i + k}} Os efeitos de borda aumentam com d  : a proporção de pontos na borda de D n está em d ⁄ n . O efeito de borda não tem conseqüências sobre o viés assintótico em ℤ , é significativo em ℤ 2 e dominante em ℤ d , d  ≥ 3 . Para eliminar esse viés e manter uma covariância empírica semidefinida positiva , procede-se ao planejamento dos dados , por um plano w  : [0; 1] → [0; 1] , C 2 , aumentando , w (0) = 0 , W (1) = 1 .

Veja também

• campo de segunda ordem (ou processo de segunda ordem ), caso geral em que a média é função da localização.

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