Função de Von Mangoldt

Em matemática, a função de von Mangoldt é uma função aritmética nomeada em homenagem ao matemático alemão Hans von Mangoldt .

Definição

A função de von Mangoldt tradicionalmente conhecida é definida por

Esta importante função aritmética não é multiplicativa nem aditiva .

Ela satisfaz a identidade

ou, o que é equivalente , ,

onde as somas são tomadas sobre todos os números naturais d que dividem n e onde denota a função de Möbius .

Função de Chebyshev

A "função de soma de von Mangoldt" , também conhecida como segunda função de Chebyshev , é definida por

.

Von Mangoldt forneceu uma prova rigorosa de uma fórmula explícita  (in) para envolver uma soma sobre os zeros da função zeta de Riemann não trivial . Esta foi uma parte importante da primeira prova do teorema dos números primos, que é equivalente a .

Dirichlet series

A função de von Mangoldt desempenha um papel importante na teoria das séries de Dirichlet , em particular a função zeta de Riemann . Seu logaritmo é

para . Sua derivada logarítmica é, portanto:

.

De forma mais geral, no semiplano de convergência de uma série de Dirichlet , temos

e se for completamente multiplicativo , deduzimos .

Transformação Mellin da função de Chebyshev

A transformada de Mellin da função Chebyshev pode ser encontrada aplicando a fórmula de soma Abel  :

que permanece verdadeiro para .

Série exponencial

O equivalente ( veja acima ) é reescrito:

.

Hardy e Littlewood analisaram a série

.

Eles demonstraram sob a hipótese de Riemann que

e

.

Assim (se a hipótese de Riemann for verdadeira) esta função é oscilatória, com oscilações divergentes: existe um valor tal que cada uma das desigualdades

e

é muito frequentemente verdadeiro em cada bairro de 0. O gráfico à direita mostra que esse comportamento não é fácil para ilustrar: as oscilações são apenas claramente visível quando os primeiros 100 milhões de termos de série foram somados, e para .

Malvado de Riesz

A média de Riesz da função de von Mangoldt é dada por

.

Aqui, e estão os números que caracterizam a média de Riesz. Devemos tomar . A soma é a soma dos zeros da função zeta de Riemann, e podemos mostrar que a série converge para .

Veja também

Referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado Função de Von Mangoldt  " ( ver a lista de autores ) .
  1. Ver (in) Tom M. Apostol , Introdução à Teoria Analítica dos Números , Springer ,1976, 340  p. ( ISBN  978-0-387-90163-3 , leitura online ) , p.  32-33, º. 2.10 e 2.11, ou este exercício corrigido da lição "Introdução à teoria dos números" na Wikiversidade .
  2. (em) Allan Gut , "  Algumas observações sobre a distribuição Riemann zeta  " , Rev. Matemática romena. Pures e Appl. , vol.  51,2006, p.  205-217 ( ler online ).
  3. É antes por esse método que Apostol 1976 , p.  236, calcule ζ '/ ζ , depois de se certificar ( p.  228-229 ) que em seu semiplano de convergência, ζ não é cancelado.
  4. (em) GH Hardy e JE Littlewood , "  Contribuições para a Teoria da Função Zeta de Riemann e a Teoria da distribuição de bônus  " , Acta , vol. 41, 1916, pág. 119-196.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">