Desigualdade

Uma desigualdade é uma questão, na forma de uma desigualdade entre duas quantidades algébricas. Essa desigualdade contém incógnitas. Resolver uma desigualdade significa encontrar os valores dessas incógnitas que tornam a desigualdade verdadeira.

Obviamente, o símbolo <ou ≤ deve ter um significado. Portanto, é necessário, em matemática elementar, que as incógnitas pertençam ao conjunto dos números reais ou a uma de suas partes. Em particular, é impossível trabalhar no conjunto de números complexos .

Exemplos:

• 3vs+2>10 {\ displaystyle 3c + 2> 10 ~}
• t2+3t⩽t-1{\ displaystyle t ^ {2} + 3t \ leqslant t-1}
• 3x+2y⩾5{\ displaystyle 3x + 2y \ geqslant 5}
• x2+3x-5<2x-3{\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + 3x-5}} <2x-3}

Regras operacionais

A resolução das desigualdades exigirá o conhecimento de algumas regras de funcionamento semelhantes às já mencionadas para a resolução das equações mas com diferenças subtis e fundamentais:

1. Transitividade da desigualdade Se e então (propriedades válidas para duas desigualdades da mesma natureza: duas desigualdades "   ", ou duas desigualdades "   " ou duas desigualdades "   " ou duas desigualdades "   "no<b{\ displaystyle a <b}b<vs{\ displaystyle b <c}no<vs{\ displaystyle a <c}<{\ displaystyle <}>{\ displaystyle>}⩽{\ displaystyle \ leqslant}⩾{\ displaystyle \ geqslant} 2. Podemos adicionar o mesmo número aos dois membros de uma desigualdade sem mudar sua natureza. Se entãono<b{\ displaystyle a <b}no+vs<b+vs{\ displaystyle a + c <b + c} 3. Podemos subtrair o mesmo número de ambos os membros de uma desigualdade sem alterar sua natureza. Se entãono<b{\ displaystyle a <b}no-vs<b-vs{\ displaystyle ac <bc} 4. Podemos multiplicar pelo mesmo número estritamente positivo (portanto diferente de 0) os dois membros de uma desigualdade sem mudar sua natureza. Se e se entãono<b{\ displaystyle a <b}vs>0{\ displaystyle c> 0}novs<bvs{\ displaystyle ac <bc} Se multiplicarmos por um número estritamente negativo (portanto diferente de 0) , a desigualdade muda de direção Se e se entãono<b{\ displaystyle a <b}vs<0{\ displaystyle c <0}novs>bvs{\ displaystyle ac> bc} 5. Podemos dividir pelo mesmo número estritamente positivo (portanto diferente de 0) os dois membros de uma desigualdade sem mudar sua natureza. Se e se entãono<b{\ displaystyle a <b}vs>0{\ displaystyle c> 0}novs<bvs{\ displaystyle {\ frac {a} {c}} <{\ frac {b} {c}}} Se dividirmos por um número estritamente negativo (portanto diferente de 0) , a desigualdade muda de direção Se e se entãono<b{\ displaystyle a <b}vs<0{\ displaystyle c <0}novs>bvs{\ displaystyle {\ frac {a} {c}}> {\ frac {b} {c}}}

A essas poucas regras, adicionaremos as seguintes quatro regras:

• A desigualdade é compatível com adição , ou seja, podemos somar membro a membro duas desigualdades da mesma natureza.

Se e entãono<b{\ displaystyle a <b}no′<b′{\ displaystyle a '<b'}no+no′<b+b′{\ displaystyle a + a '<b + b'} Mas não se pode subtrair membro a membro duas desigualdades da mesma direção (porque uma subtração é uma adição do oposto e a obtenção do oposto muda a direção da desigualdade).

• A desigualdade é compatível com a multiplicação apenas para números positivos , ou seja, pode-se multiplicar lado a lado duas desigualdades compostas por números positivos entre duas desigualdades de mesma direção.

Se e então0<no<b{\ displaystyle 0 <a <b}0<no′<b′{\ displaystyle 0 <a '<b'}nono′<bb′{\ displaystyle aa '<bb'}

• A tomada do oposto ou do reverso (para números do mesmo sinal) é uma função decrescente, ou seja, muda a direção da desigualdade.

Se entãono<b{\ displaystyle a <b}-no>-b{\ displaystyle -a> -b} Se então0<no<b{\ displaystyle 0 <a <b}1no>1b{\ displaystyle {\ frac {1} {a}}> {\ frac {1} {b}}} Se entãono<b<0{\ displaystyle a <b <0}1no>1b{\ displaystyle {\ frac {1} {a}}> {\ frac {1} {b}}}

• A imagem por uma função monotônica:

Se e f aumentando a função, entãono<b{\ displaystyle a <b}f(no)<f(b){\ displaystyle f (a) <f (b)} If e f função decrescente entãono<b{\ displaystyle a <b}f(no)>f(b){\ displaystyle f (a)> f (b)}

• A regra dos sinais  : o produto de duas quantidades do mesmo sinal é positivo, o produto de duas quantidades de sinais opostos é negativo.

Resolvendo desigualdades específicas

• Desigualdade de primeiro grau
• Desigualdade quadrática
• Desigualdade resolvida por uma série de sinais

Veja também

• Relação de pedido
• Álgebra clássica

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