Lei da inércia de silvestre

Na matemática , e mais particularmente na álgebra linear , a lei da inércia de Sylvester , formulada por James Joseph Sylvester em1852, é um teorema de classificação de formas quadráticas reais. Com a ajuda de uma mudança apropriada de variáveis, qualquer polinômio homogêneo de grau 2 com coeficientes reais e n variáveis ​​pode ser escrito como uma soma de quadrados, precedida por sinais + ou - (esta escrita é chamada de redução gaussiana ); a lei da inércia diz que o número de sinais + e o número de sinais - não dependem da mudança da variável usada.

Estados

Definições . O índice de inércia (ou mais resumidamente o índice) de uma forma quadrática Q em um espaço vetorial real V de dimensão finita n é a dimensão máxima dos subespaços F de V tal que para todos . Q(v)<0{\ displaystyle Q (v) <0}v∈F∖{0}{\ displaystyle v \ in F \ setminus \ {0 \}}

Seja q o índice da forma quadrática Q , e seja p a dimensão máxima dos subespaços G de V tal que para tudo , ou seja, tal que a restrição de Q a G seja definida positiva . Q(v)>0{\ displaystyle Q (v)> 0}v∈G∖{0}{\ displaystyle v \ in G \ setminus \ {0 \}}

O par ( p , q ) é chamado a assinatura Q .

O índice de uma forma definida positiva é zero; sua assinatura é ( n , 0). O índice de uma forma definida negativa (ou seja, tal que –Q é definida positiva) é igual a n  ; sua assinatura é (0, n ).

Lei da inércia de Sylvester  -  Seja Q uma forma quadrática real de assinatura ( p , q ). Para qualquer base ortogonal para Q , temos (eeu){\ displaystyle (e_ {i})}

p=vsnord({eu∣Q(eeu)>0}) e q=vsnord({eu∣Q(eeu)<0}){\ displaystyle p = \ mathrm {cartão} (\ {i \ mid Q (e_ {i})> 0 \}) {\ text {et}} q = \ mathrm {cartão} (\ {i \ mid Q ( e_ {i}) <0 \})}.

A classificação de Q é igual a p + q  ; duas formas quadráticas são equivalentes se e somente se tiverem a mesma assinatura.

Demonstração

Let e ser duas bases ortogonais. Denotemos provisoriamente por r e r ' (resp. S e s' ) o número de vetores de cada base para os quais Q é estritamente positivo (resp. Estritamente negativo). Mostraremos primeiro que r = r ' e s = s' . (e1,...,enão){\ displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}(e1′,...,enão′){\ displaystyle (e '_ {1}, \ ldots, e' _ {n})}

Denotamos e . eu={eu∣Q(eeu)>0}{\ displaystyle I = \ {{i \ mid Q (e_ {i})> 0 \}}}K={j∣Q(ej′)⩽0}{\ displaystyle K = \ {{j \ mid Q (e '_ {j}) \ leqslant 0 \}}}

Então a família é formada por vetores e é gratuita . Na verdade, se , o vetor verifica . A definição de I e K implica a nulidade de todos . Portanto , desta vez, a nulidade de . A independência obtida implica , ou e portanto . Por simetria, r = r ' . O mesmo argumento mostra que s = s ' . (eeu)eu∈eu{\ displaystyle (e_ {i}) _ {i \ in I}}(ej′)j∈K{\ displaystyle (e '_ {j}) _ {j \ in K}}∑eu∈euxeu.eeu+∑j∈Kyj.ej′=0V{\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} x_ {i} .e_ {i} + \ sum _ {j \ in K} y_ {j} .e '_ {j} = 0_ {V}}z=∑eu∈euxeueeu=-∑j∈Kyjej′{\ displaystyle z = \ sum _ {i \ in I} x_ {i} e_ {i} = - \ sum _ {j \ in K} y_ {j} e '_ {j}}Q(z)=∑eu∈euxeu2Q(eeu)=∑j∈Kyj2Q(ej′){\ displaystyle Q (z) = \ sum _ {i \ in I} x_ {i} ^ {2} Q (e_ {i}) = \ sum _ {j \ in K} y_ {j} ^ {2} Q (e '_ {j})}xeu,eu∈eu{\ displaystyle x_ {i}, i \ in I}∑j∈Kyj.ej′=0V{\ displaystyle \ sum _ {j \ in K} y_ {j} .e '_ {j} = 0_ {V}}yj,j∈K{\ displaystyle y_ {j}, j \ in K}vsnordeu+vsnordK⩽não{\ displaystyle \ mathrm {cartão} I + \ mathrm {cartão} K \ leqslant n}r+(não-r′)⩽não{\ displaystyle r + (n-r ') \ leqslant n}r⩽r′{\ displaystyle r \ leqslant r '}

Seja F agora um subespaço de dimensão máxima q em que Q é definido de forma negativa, e seu subespaço ortogonal . Como qualquer vetor v de satisfaz , nós temos . Por outro lado , F⊥{\ displaystyle F ^ {\ perp}}F∩F⊥{\ displaystyle F \ cap F ^ {\ perp}}Q(v)=0{\ displaystyle Q (v) = 0}F∩F⊥=0{\ displaystyle F \ cap F ^ {\ perp} = 0}deumF+deumF⊥≥não{\ displaystyle dimF + dimF ^ {\ perp} \ geq n}

temos V=F⨁F⊥(soma direta){\ displaystyle V = F \ bigoplus F ^ {\ perp} \ quad {\ text {(soma direta)}}}.

Assim, podemos encontrar uma base ortogonal da qual os q primeiros vetores formam uma base de F e nq seguindo um F ortogonal básico . Mas para i> q  : se, no espaço , a forma Q é negativo definido ainda, ao contrário do pressuposto de dimensão máxima de F . De acordo com a primeira parte da prova, q = s  ; da mesma forma, p = r . (e1,...,enão){\ displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}Q(eeu)≥0{\ displaystyle Q (e_ {i}) \ geq 0}F⨁Reeu{\ displaystyle F \ bigoplus \ mathbb {R} e_ {i}}

Em uma base ortogonal, Q é, portanto, escrito -∑eu=1qvseuxeu2+∑eu=q+1q+pvseuxeu2{\ displaystyle - \ sum _ {i = 1} ^ {q} c_ {i} x_ {i} ^ {2} + \ sum _ {i = q + 1} ^ {q + p} c_ {i} x_ {i} ^ {2}}

onde o são as coordenadas com respeito a esta base, os reais estritamente positivos. Na base ortogonal obtida pela substituição por Q está escrito xeu{\ displaystyle x_ {i}}vseu{\ displaystyle c_ {i}}eeu(1≤eu≤p+q){\ displaystyle e_ {i} \, (1 \ leq i \ leq p + q)}1vseueeu{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {c_ {i}}}} e_ {i}}

-∑eu=1qxeu2+∑eu=q+1q+pxeu2{\ displaystyle - \ sum _ {i = 1} ^ {q} x_ {i} ^ {2} + \ sum _ {i = q + 1} ^ {q + p} x_ {i} ^ {2}},

o que mostra que duas formas da mesma assinatura são equivalentes. (A condição é necessária: se , onde for linear invertível, o par da imagem de uma base ortogonal para Q ' for ortogonal para Q. ). Q′=Q∘ϕ{\ displaystyle Q ^ {\ prime} = Q \ circ \ phi}ϕ:V→V{\ displaystyle \ phi: V \ rightarrow V}ϕ{\ displaystyle \ phi}

Comentários

• Uma consequência da prova é o fato de que a redução gaussiana , não importa como você a faça, dá o mesmo número de "quadrados positivos" e "quadrados negativos".
• Multiplicando os vetores de uma base ortogonal por constantes adequadas, pode-se supor reduzir ao caso em que tal se verifique . Com relação a tal base, Q é escritoeeu{\ displaystyle e_ {i}}Q(eeu)≠0{\ displaystyle Q (e_ {i}) \ not = 0}Q(eeu)=±1{\ displaystyle Q (e_ {i}) = \ pm 1}-∑eu=1qxeu2+∑eu=q+1q+pxeu2.{\ displaystyle - \ sum _ {i = 1} ^ {q} x_ {i} ^ {2} + \ sum _ {i = q + 1} ^ {q + p} x_ {i} ^ {2}. }
• Em termos de matrizes , temos uma afirmação equivalente: se A é a matriz de Q em uma base , existe uma matriz invertível P tal quePTNOP=(-euq000eup0000).{\ displaystyle P ^ {T} AP = {\ begin {pmatrix} -I_ {q} & 0 & 0 \\ 0 & I_ {p} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}} .}Em outras palavras, a matriz da forma é congruente com uma matriz diagonal tendo apenas 0, 1 e -1 na diagonal; a classe congruência é caracterizada pela números inteiros p e q .
• Também podemos dizer que duas formas quadráticas reais são equivalentes se tiverem a mesma classificação e o mesmo índice de inércia.
• Temos uma decomposição ortogonalV=F⨁G⨁rnod(Q){\ displaystyle V = F \ bigoplus G \ bigoplus rad (Q)}ou
  • Q é definido negativo em F (que é de dimensão q ) e definido positivo em G (que é de dimensão p ).
  • Essa decomposição não é única. É determinado pela escolha de F (ou de G ).
• Este teorema mostra que o índice de isotropia total de Q é igual a inf ( p , q ) + n - r .
  Duas formas quadráticas reais da mesma posição e do mesmo índice de isotropia total são equivalentes ao sinal mais próximo.
• Levando em consideração as restrições óbvias de dimensão , existem classes de equivalência de formas quadráticas em um espaço vetorial real de dimensão n .(0≤q≤r≤não){\ displaystyle (0 \ leq q \ leq r \ leq n)}(não+1)(não+2)/2{\ displaystyle (n + 1) (n + 2) / 2}

Exemplos

• A forma quadráticaQ(x,y,z,t)=vs2t2-x2-y2-z2,{\ displaystyle Q (x, y, z, t) = c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2},}associado a um espaço de Minkowski na relatividade especial , tem posto 4 e assinatura (1, 3).
• Desde a 4(xy+yz+zt+xt)=(x+y+z+t)2-(x+z-y-t)2,{\ displaystyle 4 (xy + yz + zt + xt) = (x + y + z + t) ^ {2} - (x + zyt) ^ {2},}a forma Q ( x , y , z , t ) = 4 ( xy + yz + zt + xt ) é de classificação 2 e tem para assinatura (1, 1) e para índice 1.

Observações diversas

Relação com valores próprios

Pode-se determinar directamente a assinatura da forma de Q com os valores próprios da matriz desta forma , M . Na verdade, M é diagonalizável (de acordo com o teorema espectral ), e isso em uma base que satisfaça as condições do teorema anterior; deduzimos que a classificação de M , e portanto de Q , é o número de seus autovalores diferentes de zero (contados com sua multiplicidade), e que q é o número de autovalores estritamente negativos de M.

Sobre terminologia

No que diz respeito ao índice e à assinatura , várias terminologias coexistem na comunidade científica. Isso é lembrado na nota para o índice. Alguns autores chamam de assinatura o número inteiro relativo pq (diferença nas dimensões entre os subespaços máximos "positivo" e "negativo").

Formulários

Cálculo diferencial

Seja f uma função C 2 sobre ℝ n , cuja diferencial desaparece em 0 . Suponha que a forma quadrática definida pela matriz de Hessian seja não degenerada com índice e . Então existe um subespaço vetorial V de dimensão e tal que a restrição de f a V admite um máximo local estrito em 0 . Além disso, e é a dimensão máxima de um subespaço que possui essa propriedade.

Da mesma forma, há um W adicional de V tal que a restrição de f a W admite um mínimo local estrito em 0 .

Grosso modo, o índice aqui mede a não minimalidade em um ponto crítico .

Essas propriedades permanecem nas variedades diferenciais. Eles são a base da teoria de Morse .

Geometria

Seja Q uma forma quadrática em ℝ 3 . A superfície da equação Q ( x , y , z ) = 1 é homeomórfica (e até difeomórfica ) para:

• a esfera S 2 se Q for definida positiva.
• S 1 × ℝ se Q tiver assinatura (2, 1) ( hiperbolóide de uma folha).
• S 0 × ℝ 2 = {–1, 1} × ℝ 2 se Q tiver assinatura (1, 2) (hiperbolóide de duas camadas).

A palavra toalha de mesa designa o que hoje é chamado de componente conectado .

Mais geralmente, se Q é uma forma quadrática em ℝ n com assinatura ( p , q ), a hipersuperfície da equação Q ( x ) = 1 é homeomórfica (e até difeomórfica) para S p - 1 × ℝ n - p .

Exemplo . No espaço vetorial de matrizes reais (2,2), o determinante é uma forma quadrática de assinatura (2,2). Portanto, o grupo especial linear SL (2, ℝ) é homeomórfico para S 1 × ℝ 2

Notas e referências

1. Sylvester 1852 .
2. J. Lelong-Ferrand e J.-M. Arnaudiès, Mathematics, Volume 1: Algebra, 2 e ed, Paris, Dunod, 1974, p .. 373.
3. Jean Fresnel , quadrático, euclidiano, espaços hermitianos , Paris, Hermann ,1999, 320  p. ( ISBN  2-7056-1445-1 ) , p.  63.
4. Por uma propriedade elementar de formas quadráticas .
5. Ver também art. 348E do Dicionário Enciclopédico de Matemática , ed. K. Itô, vol. 3, Cambridge e London: MIT Press, 1987.
6. (en) Serge Lang , Álgebra , Leitura, Addison-Wesley ,1977, p.  358-366.

Veja também

Bibliografia

• Marcel Berger , Geometria [ detalhe das edições ], Nathan, Paris, 1990, volume 2, 13.4.7
• Jean Fresnel , Quadratic, Euclidean, Hermitian , Paris, Hermann ,1999, 320  p. ( ISBN  2-7056-1445-1 )
• Guy Auliac, Jean Delcourt, Rémy Goblot, Mathematics: Algebra and Geometry , Collection Objectif License, EdiScience, Dunod, 2005 ( ISBN  2 10 048335 8 )
• [Sylvester 1852] (en) JJ Sylvester , “  Uma demonstração do teorema de que todo polinômio quadrático homogêneo é redutível por substituições ortogonais reais à forma de uma soma de quadrados positivos e negativos  ” , Philos. Mag. , 4 th série, vol.  4, n o  23,1852, N o  XIX , p.  138-142 ( OCLC  7317544727 , DOI  10,1080 / 14786445208647087 ), reimprimir dentro :
  • [Baker e Sylvester 1904] (en) HF Baker (ed., Pref. And annot.) E JJ Sylvester , Os papéis matemáticos coletados de James Joseph Sylvester , t.  I st  :1837-1853, Cambridge, CUP , hors coll. ,Abril de 1904( repr. Fevereiro 2012), 1 st  ed. , 1  vol. , XII -650  pág. , fig. e pl. , In-4 o (17 × 24,4  cm ) ( ISBN  978-1-107-65032-9 , EAN  9781107650329 , OCLC  459169152 , aviso BnF n o  FRBNF31425191 , SUDOC  019470991 , apresentação on-line , ler on-line ) , não o  47, p .  378-381.

Artigos relacionados

• Matriz definitiva positiva
• Matriz de passagem
• Teoremas de Sylvester 
• Assinatura (topologia  )

Link externo

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