Lei da composição

Em matemática , e mais precisamente na álgebra geral , dados dois conjuntos E e F , a lei composição (ou simplesmente lei ) em E é ou um mapa de F × E em E , ou um mapa de E × F em E . Em outras palavras, é uma operação binária para a qual o conjunto E é estável .

Existem dois tipos de lei de composição:

se F = E, falamos de lei de composição interna ;
se F ≠ E, falamos de uma lei externa de composição .

Na prática, muitos autores usam "lei da composição" como sinônimo de "lei da composição interna" (por exemplo, Bourbaki e Lang).

As leis de composição internas e externas servem para definir as estruturas algébricas , que ocupam um lugar privilegiado na álgebra geral .

Definição detalhada

Uma lei de composição * : E × F → G , com G = E ou G = F , é um mapa de E × F a G que se associa a cada par ( x , y ) de E × F , um elemento de G geralmente denotado " x * y " (em vez da notação funcional "* ( x , y )") e chamado de composto de x e y , ou o produto de x e y .

x e y às vezes são qualificados como operandos , porque uma lei nada mais é do que uma função binária , portanto, um caso particular de operação (ou seja, função n-ária).

L deve ser igual a E ou F . Mais precisamente :

se E = F = G , a lei *: E × E → E é chamada de lei da composição interna em E ;
se E ≠ F e G = F , a lei *: E × F → F é chamada de lei da composição externa à esquerda em F ou lei da composição externa , e E é então o domínio dos operadores ;
Se E ≠ F e G = E , Direito *: E × F → E é chamado a lei da composição direito externo em E de domínio F .

Leis de composição interna

resumo

Leis composição interna (às vezes chamadas de "leis internas") são aplicações de E × E → E . Eles são usados para definir as estruturas algébricas estudadas em álgebra geral : grupos , anéis , campos , etc.

Uma lei interna de composição pode ter diferentes propriedades: comutatividade , associatividade , etc.

Exemplos de leis de composição comutativa interna

a adição em , , , ou $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
a multiplicação em , , , ou . $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
qualquer lei de um grupo abeliano
qualquer lei aditiva de um anel
qualquer lei aditiva de um campo
qualquer lei aditiva de um espaço vetorial
qualquer lei multiplicativa de um anel comutativo
qualquer lei multiplicativa de um campo comutativo

Outros exemplos de leis de composição interna

a subtracção em , , ou $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
a divisão em , ou ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}$ ${\ mathbb {C}} ^ {*}$
a multiplicação da matriz
as funções de composição
qualquer lei de um grupo
qualquer lei multiplicativa de um anel
qualquer lei multiplicativa de um corpo

Leis externas de composição

resumo

Leis de composição externo (às vezes chamado de "leis externas") são aplicações F × E → E . Eles também servem para definir as estruturas algébricas estudadas em álgebra geral .

Mas, ao contrário de uma lei de composição interna, uma lei de composição externa envolve elementos de fora, chamados de operadores ou escalares . Uma lei composição externa pode portanto ser visto como uma operação de F em E . Dizemos então que " F opera em E ".

Exemplos de leis de composição externa

A exponenciação inteira de números reais é uma lei de in . ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {R}$
Para K - espaço vetorial E , a multiplicação de um vetor por um escalar é uma lei da K × E em E .

Notações

Existem várias notações para as leis de composição:

o mais comum é a notação infixa ; requer o uso de parênteses para especificar a ordem de execução das operações, se houver várias:

{\ displaystyle x * y}

o símbolo da lei às vezes é omitido, a multiplicação é, por exemplo, muitas vezes observada por justaposição simples:

{\ displaystyle xy}

o prefixo , ou notação polonesa , não precisa de parênteses:

{\ displaystyle * xy}

, as vezes

{\ displaystyle * x, y}

a notação de sufixo , ou polimento reverso , também dispensa parênteses:

{\ displaystyle xy *}

, as vezes

{\ displaystyle x, y *}

Veja também

Notas

cf. Bourbaki p. A I.1
cf. Lang p. 3

Referências

N. Bourbaki , Elements of mathematics , vol. II: Álgebra, Capítulos 1 a 3 , Berlim, Springer,1970( Repr. 2007), 2 th ed. ( ISBN 978-3-540-33849-9 , apresentação online ).
(pt) Serge Lang , Algebra , New York / Berlin / Heidelberg etc., Springer, col. "Textos de Graduação em Matemática",2002( Repr. 2010), 3 e ed. , 914 p. ( ISBN 0-387-95385-X , leia online ).