Método delta

Natureza	Método estatístico ( d )

Em probabilidade e estatística, o método delta (ou método delta ) é um método para obter uma aproximação da distribuição assintótica da transformada de uma variável aleatória assintoticamente normal. De maneira mais geral, podemos considerar o método delta como uma extensão do teorema do limite central .

Caso univariado

Let Ser uma série de variáveis aleatórias de expectativa e variância . Se com a notação de convergência em lei , de acordo com o método delta, para qualquer função g diferenciável e tal que : $X_ {1}, \ ldots, X_ {n}$ $\ theta$ $\ sigma ^ {2}$ ${\ displaystyle {{\ sqrt {n}} [{\ bar {X}} _ {n} - \ theta] \, {\ xrightarrow {L}} \, {\ mathcal {N}} (0, \ sigma ^ {2})},}$ $\ xrightarrow {L}$ $g '(\ theta) \ neq 0$

{\ displaystyle {{\ sqrt {n}} [g ({\ bar {X}} _ {n}) - g (\ theta)] \, {\ xrightarrow {L}} \, {\ mathcal {N} } (0, \ sigma ^ {2} [g '(\ theta)] ^ {2})}}

Caso multivariado

Let Ser uma seqüência de vetores aleatórios de , uma função diferenciável em . Suponha que onde denota a distribuição normal- dimensional centrada da matriz de variância-covariância . Neste caso, o método delta é escrito: ${\ displaystyle X_ {1}, \ dots, X_ {n}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {d}$ ${\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {d} \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {s}}$ $\ theta$ ${\ textstyle {{\ sqrt {n}} [{\ bar {X_ {n}}} - \ theta] \, \ xrightarrow {L} \, {\ mathcal {N}} _ {d} (0, \ Sigma)}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {d} (0, \ Sigma)}$ $d$ $\ Sigma$

não[g(Xnão)-g(θ)]→euNÃOs(0,Dg(θ)ΣDg(θ)T){\ displaystyle {{\ sqrt {n}} [g (X_ {n}) - g (\ theta)] \, {\ xrightarrow {L}} \, {\ mathcal {N}} _ {s} \ left (0, Dg (\ theta) \ Sigma Dg (\ theta) ^ {T} \ right)}}

{\ displaystyle {{\ sqrt {n}} [g (X_ {n}) - g (\ theta)] \, {\ xrightarrow {L}} \, {\ mathcal {N}} _ {s} \ left (0, Dg (\ theta) \ Sigma Dg (\ theta) ^ {T} \ right)}}

com a matriz Jacobiana de en .

{\ displaystyle Dg (\ theta)}

g

\ theta

Exemplo

Let Ser uma série de variáveis aleatórias de expectativa e variância . Do teorema do limite central, sabemos disso . Agora, se definirmos , podemos obter a distribuição assintótica de graças ao método delta. Nesse caso, temos a função . Sabemos que essa função verifica . Ao aplicar o método delta, obtemos . $X_1, \ ldots, X_n$ $\ mu$ $\ sigma ^ {2}$ $\ sqrt {n} [\ bar {X_n} - \ mu] \, \ xrightarrow {L} \, \ mathcal {N} (0, \ sigma ^ 2)$ $W_n = e ^ {\ bar {X_n}}$ $W_ {n}$ $g (x) = e ^ x$ $g '(x) = e ^ x$ $\ sqrt {n} [e ^ {\ bar {X_n}} - e ^ \ mu] \, \ xrightarrow {L} \, \ mathcal {N} (0, \ sigma ^ 2 e ^ {2 \ mu})$

Bibliografia

(pt) Gary W. Oehlert , " Uma Nota sobre o Método Delta " , The American Statistician , vol. 46, n o 1,Fevereiro de 1992, p. 27-29 ( DOI 10.1080 / 00031305.1992.10475842 , JSTOR 2684406 )

Notas e referências

(em) Larry Wasserman , Todos Estatística: Um curso concisa em inferência estatística Springer al. "Springer Textos em Estatística",2004, p. 79