Métrica Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker
A métrica Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (doravante FLRW) para descrever uma geometria espaço-temporal homogênea e isotrópica . Em cosmologia, essa métrica é usada para a descrição da evolução do universo em grandes escalas. Constitui a principal ferramenta para a construção do modelo cosmológico padrão: a teoria do Big Bang .
Dependendo das preferências geográficas ou históricas, a métrica FLRW e seu consequente modelo cosmológico podem ser nomeados em homenagem aos nomes de alguns dos quatro cientistas: Alexander Friedmann , Georges Lemaître , Howard Percy Robertson e Arthur Geoffrey Walker . Encontraremos por exemplo: Friedmann-Robertson-Walker (FRW), Robertson-Walker (RW), Friedmann-Lemaître (FL) ...
Evolução do universo de acordo com a métrica FLRW
A métrica FLRW descreve a geometria média do universo em grandes escalas. Dá-nos a sua dinâmica e permite-nos conhecer a evolução do seu tamanho (contração ou expansão do universo).
Um universo homogêneo e isotrópico permanece durante sua evolução homogênea e isotrópica. Não pode explicar a formação das estruturas componentes, de densidade não homogênea por definição. A formação de suas estruturas, como filamentos ou aglomerados de galáxias , é permitida pela introdução de distúrbios em torno dessa métrica FLRW. Essas perturbações aumentam com o tempo, por atração gravitacional, e levam à criação das grandes estruturas observadas. Supõe-se que sejam de origem quântica, e sua existência nos é dada pela observação do fundo difuso cósmico , realizada graças aos satélites COBE , WMAP e, mais recentemente, Planck .
Formulação matemática
Em coordenadas esféricas , o elemento de comprimento de espaço-tempo , para a métrica FLRW, é observado:
(r,θ,ϕ){\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}
ds{\ displaystyle ds}![{\ displaystyle ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0fb36e4308227d3e4a1f809c2571ec02527100)
ds2=vs2dt2-no(t)2(dr21-kr2+r2dΩ2){\ displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -a (t) ^ {2} \ left ({\ frac {{ \ rm {d}} r ^ {2}} {1-kr ^ {2}}} + r ^ {2} {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} \ right)}
escolhendo a assinatura da métrica (in) onde:
(+---){\ displaystyle (+ ---)}![{\ displaystyle (+ ---)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60cd7987fce59165d6fd21aeec17baf5c4f87113)
-
no(t){\ displaystyle a (t) \;}
o fator de escala . O signo fornece informações sobre a evolução do universo: para um universo em expansão, para um universo contracional e para um universo estático, todos considerados no tempo . Por um tempo como , o universo é vezes maior do que agora . Por uma época como , o universo é vezes menor do que agora ;no˙(t){\ displaystyle {\ dot {a}} (t)}
no˙(t)>0{\ displaystyle {\ dot {a}} (t)> 0}
no˙(t)<0{\ displaystyle {\ dot {a}} (t) <0}
no˙(t)=0{\ displaystyle {\ dot {a}} (t) = 0}
t{\ displaystyle t}
tno{\ displaystyle t_ {a}}
no(tno)=NÃO>1{\ displaystyle a (t_ {a}) = N> 1}
NÃO{\ displaystyle N}
tb{\ displaystyle t_ {b}}
no(tb)=1/NÃO<1{\ displaystyle a (t_ {b}) = 1 / N <1}
NÃO{\ displaystyle N}![NÃO](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
-
k{\ displaystyle k \;}
é o fator de curvatura. para um espaço respectivamente com curvatura aberta (correspondendo a uma geometria hiperbólica), com curvatura zero (correspondendo ao espaço euclidiano da relatividade especial ) e com curvatura fechada (correspondendo a uma geometria esférica);k={-1,0,1}{\ displaystyle k = \ {- 1,0,1 \}}![{\ displaystyle k = \ {- 1,0,1 \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29f9d102f90ba3738f8eea274b2a444ab374252a)
-
dΩ2=dθ2+pecado2θdϕ2{\ displaystyle \ textstyle {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} = {\ rm {d}} \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \; {\ rm {d}} \ phi ^ {2}}
é a métrica na esfera ;
-
t{\ displaystyle t}
é o tempo cósmico .
Ao introduzir a mudança de coordenadas: onde permite determinar a distância móvel , o elemento de comprimento é reformulado:
{r=pecado(χ/R0)E se k=1r=χ/R0E se k=0r=sinh(χ/R0)E se k=-1{\ displaystyle {\ begin {cases} r = \ sin (\ chi / R_ {0}) & {\ textrm {si}} \ k = 1 \\ r = \ chi / R_ {0} & {\ textrm { si}} \ k = 0 \\ r = \ sinh (\ chi / R_ {0}) & {\ textrm {si}} \ k = -1 \\\ end {cases}}}
χ{\ displaystyle \ chi \;}
ds{\ displaystyle ds}![{\ displaystyle ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0fb36e4308227d3e4a1f809c2571ec02527100)
ds2=vs2dt2-no(t)2(dχ2+Sk2(χ)dΩ2){\ displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -a (t) ^ {2} \ left ({\ rm {d }} \ chi ^ {2} + S_ {k} ^ {2} (\ chi) {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} \ right)}
-
Sk(χ)=R(t0){pecado(χ/R(t0))E se k=1χ/R(t0)E se k=0sinh(χ/R(t0))E se k=-1{\ displaystyle S_ {k} (\ chi) = R (t_ {0}) {\ begin {cases} \ sin (\ chi / R (t_ {0})) & {\ textrm {si}} \ k = 1 \\\ chi / R (t_ {0}) & {\ textrm {si}} \ k = 0 \\\ sinh (\ chi / R (t_ {0})) & {\ textrm {si}} \ k = -1 \\\ fim {casos}} \;}
.
Métrica FLRW em função da curvatura espacial
Em um espaço plano
Pois , a métrica FLRW é escrita:
k=0{\ displaystyle k = 0 \;}![{\ displaystyle k = 0 \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0740c90f40f0c4ac88a00c3a5b1b82ec1de57bcf)
ds2=vs2dt2-R(t)2(dr2+r2dΩ2){\ displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -R (t) ^ {2} \ left ({\ rm {d }} r ^ {2} + r ^ {2} {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} \ right) \;}
O espaço é plano, mas o espaço-tempo não. A métrica é diferente da métrica de Minkowski que caracteriza a relatividade especial.
Em um espaço de curvatura positiva
Pois , a métrica FLRW é escrita:
k=+1{\ displaystyle k = + 1 \; \;}![{\ displaystyle k = + 1 \; \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52022b2edab0b1005076b16d51e3bbf56bb51d5d)
ds2=vs2dt2-R(t)2(dr21-r2+r2dΩ2){\ displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -R (t) ^ {2} \ left ({\ frac {{ \ rm {d}} r ^ {2}} {1-r ^ {2}}} + r ^ {2} {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} \ right)}
O elemento de comprimento tem uma singularidade em , preferimos usar sua expressão de acordo com :
r=1{\ displaystyle r = 1}
χ{\ displaystyle \ chi}![\ chi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656111758322ace96d80a9371771aa6d3de25437)
ds2=vs2dt2-no(t)2(dχ2+R(t0)2pecado2(χ/R(t0))dΩ2){\ displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -a (t) ^ {2} \ left ({\ rm {d }} \ chi ^ {2} + R (t_ {0}) ^ {2} \ sin ^ {2} \ left (\ chi / R (t_ {0}) \ right) \; {\ rm {d} } \ Omega ^ {2} \ right) \;}
Em um espaço de curvatura negativa
Pois , finalmente chega:
k=-1{\ displaystyle k = -1 \;}![{\ displaystyle k = -1 \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d3a1fbd3456f842129099aa8bd1f37aa17d4727)
ds2=vs2dt2-R(t)2(dr21+r2+r2dΩ2)=vs2dt2-no(t)2(dχ2+R(t0)2sinh2(χ/R(t0))dΩ2){\ displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -R (t) ^ {2} \ left ({\ frac {{ \ rm {d}} r ^ {2}} {1 + r ^ {2}}} + r ^ {2} {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} \ right) = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -a (t) ^ {2} \ left ({\ rm {d}} \ chi ^ {2} + R (t_ {0}) ^ {2} \ sinh ^ {2} \ left (\ chi / R (t_ {0}) \ right) \; {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} \ right) \;}
Notas e referências
-
Barrau et Grain 2016 , § 7.1.2 (“Forma da métrica”), p. 131
-
Taillet, Villain e Febvre 2013 , sv Robertson-Walker (métrica de), p. 609, col. 1 .
-
L. Bergström, A. Goobar, Cosmology and Particle Astrophysics, página 61 , 2 da edição (2006) ( ISBN 3-540-32924-2 )
-
Pérez 2016 , p. 269.
-
Pérez 2016 , p. 270
Veja também
Bibliografia
-
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-
[Friedmann 1924] (de) A. Friedmann , “ Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes ” [“Sobre a possibilidade de um universo com curvatura negativa constante”], Z. Phys. , vol. 21, n o 1,Dez. 1924, p. 326-332 ( DOI 10.1007 / BF01328280 , Bibcode 1924ZPhy ... 21..326F ).
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[Lemaître 1927] G. Lemaître , “ Um universo homogêneo de massa constante e raio crescente responsável pela velocidade radial das nebulosas extra-galácticas ”, Annales de la Société scientifique de Bruxelles ,1927, A47, pág. 49-56 ( Bibcode 1927ASSB ... 47 ... 49L , ler online ).
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[Robertson 1936a] (en) HP Robertson , “ Kinematics and world-structure . II ” , Astrophys. J. , vol. 83, n o 3,Abril de 1936, p. 187-201 ( DOI 10.1086 / 143716 , Bibcode 1936ApJ .... 83..187R , ler online ).
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[Pérez 2016] J.-Ph. Pérez (com a colaboração de É. Anterrieu ), Relatividade: fundamentos e aplicações , Malakoff, Dunod , hors coll. ,Maio de 2016( Repr. 2017), 3 th ed. ( 1 st ed. Setembro de 1999), 1 vol. , XXIII -439 p. , doente. e fig. , 24 cm ( ISBN 978-2-10-077295-7 , EAN 9782100772957 , OCLC 1031317463 , aviso BNF n O FRBNF45033071 , SUDOC 193153297 , apresentação on-line , ler on-line ) , cap. 10 (“Relatividade geral”), V (“Cosmologia”), V .1, d) (“Métrica FLRW”), p. 269-271.
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