O operador de Hamilton , operador hamiltoniano ou simplesmente hamiltoniano é um operador matemático com muitas aplicações em vários campos da física .
De acordo com Jérôme Pérez, o operador hamiltoniano foi desenvolvido em 1811 por Joseph-Louis Lagrange quando Hamilton tinha apenas 6 anos de idade. Lagrange escreveu explicitamente:
fórmula na qual se referia a Christiaan Huygens e que ele teria chamado Huygensien.
Só mais tarde o operador foi denominado Hamiltoniano com referência à mecânica hamiltoniana , desenvolvida por Sir William Rowan Hamilton quando ele reformulou as leis da mecânica newtoniana . Embora o formalismo hamiltoniano não seja tão adequado quanto o formalismo Lagrangiano para descrever as simetrias de um sistema físico, ele ainda é amplamente utilizado pela mecânica clássica , física estatística e mecânica quântica .
Este operador é conhecido e é o Legendre transforma do lagrangiano :
No lado direito desta fórmula, as velocidades são consideradas expressas como uma função dos momentos conjugados .
Se as equações que definem as coordenadas generalizadas são independentes do tempo t , podemos mostrar que é igual à energia total E , sendo ela própria igual à soma da energia cinética T e da energia potencial V ( ).
Na mecânica quântica , na representação de Schrödinger , a evolução ao longo do tempo de um sistema quântico é caracterizada (no nível infinitesimal ) pelo operador hamiltoniano , conforme expresso pela famosa equação de Schrödinger :
onde está a função de onda do sistema e o operador hamiltoniano. Em um estado estacionário :
onde está a energia do estado estacionário. Podemos ver facilmente que um estado estacionário é um autovetor do operador hamiltoniano, com energia como autovalor . Sendo o hamiltoniano um operador Hermitiano , as energias obtidas são reais.
Na representação de Heisenberg , os estados são independentes do tempo e os operadores são dependentes do tempo. O operador hamiltoniano então intervém na equação de evolução dos operadores:
onde denota uma derivação com respeito a uma dependência explícita do tempo e é a troca dos operadores e .
Passamos da representação de Schrödinger ao Heisenberg por meio do operador de evolução .
No caso não relativístico , o operador hamiltoniano pode ser obtido a partir do hamiltoniano da mecânica clássica pelo princípio de correspondência . Se for o hamiltoniano clássico, o hamiltoniano quântico é obtido substituindo as variáveis clássicas ( momento ) e (coordenadas) os operadores e .
Às vezes é necessário simetrizar o hamiltoniano assim obtido para garantir a hermiticidade do hamiltoniano. Na verdade, o princípio da correspondência sempre torna possível obter o hamiltoniano clássico a partir do hamiltoniano quântico substituindo os operadores por números, mas vários operadores quânticos, diferindo apenas pela ordem dos operadores (que não comutam) podem levar à mesma variável clássica.