Operador (matemática)

Em matemática e física teórica , um operador é uma aplicação entre dois espaços vetoriais topológicos .

Definição de um operador

Definição

Sejam E e F dois espaços vetoriais topológicos. Um operador O é um mapeamento de E para F :

O \: \ quad E \ \ to \ F

Operador linear

Um operador é linear se e somente se: $O: E \ para F$

{\ displaystyle \ forall (\ lambda, \ mu) \ in K ^ {2}, \ \ forall (x_ {1}, x_ {2}) \ in E, \ quad O (\ lambda x_ {1} + \ mu x_ {2}) \ = \ \ lambda O (x_ {1}) + \ mu O (x_ {2})}

onde K é o domínio da escalares E e F .

Observação

Quando E é um espaço vectorial, e (é um corpo ), um operador é uma forma linear em E . ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle F = \ mathbb {K}}$

Campo de definição)

Estendemos a definição anterior para mapas lineares definidos apenas em um subespaço vetorial de E , que então chamamos de domínio de definição de operador.

Continuidade

Por definição de continuidade :

Seja O um operador de domínio com valores em F , e . O operador O é dito contínuo em se e somente se para qualquer vizinhança V de , existe uma vizinhança de tal que: $D_ {0} \ subconjunto E$ $x_ {0} \ em D_ {O}$ $x_ {0}$ $y_ {0} = O (x_ {0})$ $você$ $x_ {0}$

\ forall x \, \ in \, U \ cap D_ {O} \, \ quad O (x) \, \ in \, V

O operador O é dito contínuo se e somente se ele é contínuo em todos os pontos de seu domínio. $x_ {0} \ em D_ {O}$

Bibliografia

AN Kolmogorov e SV Fomin, Introductory Real Analysis , Dover Publications, Inc. (1975), ( ISBN 0-486-61226-0 ) .

T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators , série: Classics in Mathematics , Springer-Verlag ( 2 e- edição 1995) ( ISBN 3-540-58661-X ) .

B. Yosida, Análise Funcional , série: Classics in Mathematics , Springer-Verlag ( 6 ª edição, 1995) ( ISBN 3-540-58654-7 ) .