Limitar operações
Esta página é um apêndice ao artigo " Limite (matemática elementar) ", que explica como traduzir as operações usuais em termos de limites : adição , multiplicação , composição, etc.
Todos os resultados listados aqui são válidos tanto para os limites das funções quanto para os limites das sequências .
Operações algébricas
Consideramos aqui o caso em que executamos operações algébricas elementares em funções ou sequências cujos limites conhecemos. Na maioria dos casos, pode ser concluído, mas às vezes é necessário um estudo mais aprofundado, é referido como forma indeterminada , ou FI. Esses casos serão tratados separadamente.
Multiplicação por um real
Podemos multiplicar uma sequência ou função por um real fixo ; então obtemos:
você=(vocênão){\ displaystyle u = (u_ {n})}
f{\ displaystyle f}
k{\ displaystyle k}![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
- a sequência definida por :;kvocê=((kvocê)não){\ displaystyle ku = ((ku) _ {n})}
∀não∈NÃO,(kvocê)não=k×vocênão{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, (ku) _ {n} = k \ vezes u_ {n}}![\ forall n \ in \ mathbb {N}, (ku) _ {n} = k \ vezes u_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6052ed7d72a929abfff7b7091f68f72c3037fe)
- a função definida por: .kf{\ displaystyle kf}
∀x∈R,(kf)(x)=k×f(x){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, (kf) (x) = k \ vezes f (x)}![\ forall x \ in \ mathbb {R}, (kf) (x) = k \ vezes f (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c25fb56e82609411669dc71781c623ba90ce669)
Então, podemos escrever a seguinte tabela, dependendo se a sequência converge para um limite finito ou diverge para :
ℓ{\ displaystyle \ ell}
±∞{\ displaystyle \ pm \ infty}![\ pm \ infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c586ae37f8efec026b8a4ea3f6a5253576c2c4e6)
limvocênão{\ displaystyle \ lim u_ {n}}
|
|
ℓ{\ displaystyle \ ell}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
lim(kvocê)não{\ displaystyle \ lim (ku) _ {n}}
|
k>0{\ displaystyle k> 0}
|
kℓ{\ displaystyle k \ ell}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
k<0{\ displaystyle k <0}
|
kℓ{\ displaystyle k \ ell}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
---|
Temos exatamente a mesma tabela para os casos de uma função . Não mencionaremos o ponto , real ou , em que consideramos o limite de , que, portanto, simplesmente notaremos . O limite de é:
f{\ displaystyle f}
no{\ displaystyle a}
±∞{\ displaystyle \ pm \ infty}
f{\ displaystyle f}
limf{\ displaystyle \ lim f}
kf{\ displaystyle kf}![kf](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eaefc472308461b5ee35ea80a691b36533bd38d)
limf{\ displaystyle \ lim f}
|
|
ℓ{\ displaystyle \ ell}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
limkf{\ displaystyle \ lim kf}
|
k>0{\ displaystyle k> 0}
|
kℓ{\ displaystyle k \ ell}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
k<0{\ displaystyle k <0}
|
kℓ{\ displaystyle k \ ell}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
---|
Soma
Podemos adicionar duas sequências e ou duas funções e :
você=(vocênão){\ displaystyle u = (u_ {n})}
v=(vnão){\ displaystyle v = (v_ {n})}
f{\ displaystyle f}
g{\ displaystyle g}![g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
- a sequência é definida por :;você+v{\ displaystyle u + v}
∀não∈NÃO,(você+v)não=vocênão+vnão{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, (u + v) _ {n} = u_ {n} + v_ {n}}![\ forall n \ in \ mathbb {N}, (u + v) _ {n} = u_ {n} + v_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88efeff0dbad82720b83889bc1ea7f5e877b380a)
- a função é definida por: .f+g{\ displaystyle f + g}
∀x∈R,(f+g)(x)=f(x)+g(x){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, (f + g) (x) = f (x) + g (x)}![\ forall x \ in \ mathbb {R}, (f + g) (x) = f (x) + g (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87dbbcca996efcc52c1547f78ab551f3f0c3b7c7)
Podemos dar o limite da sequência de acordo com os respectivos limites das sequências e (resp. O limite da função em um ponto , de acordo com os limites de e ). Os resultados são apresentados na seguinte tabela:
você+v{\ displaystyle u + v}
você{\ displaystyle u}
v{\ displaystyle v}
f+g{\ displaystyle f + g}
no{\ displaystyle a}
no{\ displaystyle a}
f{\ displaystyle f}
g{\ displaystyle g}![g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
|
limv{\ displaystyle \ lim v} (resp. )
limg{\ displaystyle \ lim g}![\ lim g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e431c325894af7d67c55194525cfb6ff3f9f9a52) |
---|
ℓ′{\ displaystyle \ ell '}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
limvocê{\ displaystyle \ lim u} (resp. )
limf{\ displaystyle \ lim f}![\ lim f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75705d3fbf645f0b2c4ef0ecd6b75e8f70073ed0) |
ℓ{\ displaystyle \ ell}
|
ℓ+ℓ′{\ displaystyle \ ell + \ ell '}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
FI
|
---|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
FI
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
produtos
Podemos multiplicar duas sequências e ou duas funções e :
você=(vocênão){\ displaystyle u = (u_ {n})}
v=(vnão){\ displaystyle v = (v_ {n})}
f{\ displaystyle f}
g{\ displaystyle g}![g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
- a sequência é definida por :;você×v{\ displaystyle u \ times v}
∀não∈NÃO,(você×v)não=vocênão×vnão{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, (u \ vezes v) _ {n} = u_ {n} \ vezes v_ {n}}![\ forall n \ in \ mathbb {N}, (u \ vezes v) _ {n} = u_ {n} \ vezes v_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee86c5fe1317b086ab1953599ae256093aabd5e)
- a função é definida por: .f×g{\ displaystyle f \ times g}
∀x∈R,(f×g)(x)=f(x)×g(x){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, (f \ vezes g) (x) = f (x) \ vezes g (x)}![\ forall x \ in \ mathbb {R}, (f \ vezes g) (x) = f (x) \ vezes g (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225cbb95caa272660e58653df24861b316babe4a)
Podemos dar o limite da sequência de acordo com os respectivos limites das sequências e (resp. O limite da função em um ponto de acordo com os limites de e ). Os resultados são apresentados na seguinte tabela:
você×v{\ displaystyle u \ times v}
você{\ displaystyle u}
v{\ displaystyle v}
f×g{\ displaystyle f \ times g}
no{\ displaystyle a}
no{\ displaystyle a}
f{\ displaystyle f}
g{\ displaystyle g}![g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
|
limv{\ displaystyle \ lim v} (resp. )
limg{\ displaystyle \ lim g}![\ lim g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e431c325894af7d67c55194525cfb6ff3f9f9a52) |
---|
ℓ′<0{\ displaystyle \ ell '<0}
|
ℓ′>0{\ displaystyle \ ell '> 0}
|
0{\ displaystyle 0}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
limvocê{\ displaystyle \ lim u} (resp. )
limf{\ displaystyle \ lim f}![\ lim f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75705d3fbf645f0b2c4ef0ecd6b75e8f70073ed0) |
ℓ<0{\ displaystyle \ ell <0}
|
ℓℓ′{\ displaystyle \ ell \ ell '}
|
ℓℓ′{\ displaystyle \ ell \ ell '}
|
0{\ displaystyle 0}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
---|
ℓ>0{\ displaystyle \ ell> 0}
|
ℓℓ′{\ displaystyle \ ell \ ell '}
|
ℓℓ′{\ displaystyle \ ell \ ell '}
|
0{\ displaystyle 0}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
0{\ displaystyle 0}
|
0{\ displaystyle 0}
|
0{\ displaystyle 0}
|
0{\ displaystyle 0}
|
FI
|
FI
|
---|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
FI
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
---|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
FI
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
Quociente
Podemos dividir uma sequência por uma sequência satisfatória ou uma função por uma função satisfatória para tudo na vizinhança do ponto considerado:
você=(vocênão){\ displaystyle u = (u_ {n})}
v=(vnão){\ displaystyle v = (v_ {n})}
∀não∈NÃOvnão≠0{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad v_ {n} \ neq 0}
f{\ displaystyle f}
g{\ displaystyle g}
g(x)≠0{\ displaystyle g (x) \ neq 0}
x{\ displaystyle x}![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
- a sequência é definida por :;vocêv{\ displaystyle {\ frac {u} {v}}}
∀não∈NÃO(vocêv)não=vocênãovnão{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ left ({\ frac {u} {v}} \ right) _ {n} = {\ frac {u_ {n}} {v_ {n} }}}![{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ left ({\ frac {u} {v}} \ right) _ {n} = {\ frac {u_ {n}} {v_ {n} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e12003913c3d59562b4ec54e9e426d4003da733)
- a função é definida por: para todos como .fg{\ displaystyle {\ frac {f} {g}}}
(fg)(x)=f(x)g(x){\ displaystyle \ left ({\ frac {f} {g}} \ right) (x) = {\ frac {f (x)} {g (x)}}}
x{\ displaystyle x}
g(x)≠0{\ displaystyle g (x) \ neq 0}![g (x) \ neq 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/304c689556e38a33dde280823338d0ef90735d89)
Podemos dar o limite da sequência de acordo com os respectivos limites das sequências e (resp. O limite da função em um ponto de acordo com os limites de e ). Os resultados são apresentados na seguinte tabela:
vocêv{\ displaystyle {\ frac {u} {v}}}
você{\ displaystyle u}
v{\ displaystyle v}
fg{\ displaystyle {\ frac {f} {g}}}
no{\ displaystyle a}
no{\ displaystyle a}
f{\ displaystyle f}
g{\ displaystyle g}![g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
|
limv{\ displaystyle \ lim v} (resp. )
limg{\ displaystyle \ lim g}![\ lim g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e431c325894af7d67c55194525cfb6ff3f9f9a52) |
---|
ℓ′<0{\ displaystyle \ ell '<0}
|
ℓ′>0{\ displaystyle \ ell '> 0}
|
0-{\ displaystyle 0 ^ {-}}
|
0+{\ displaystyle 0 ^ {+}}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
---|
limvocê{\ displaystyle \ lim u} (resp. )
limf{\ displaystyle \ lim f}![\ lim f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75705d3fbf645f0b2c4ef0ecd6b75e8f70073ed0) |
ℓ<0{\ displaystyle \ ell <0}
|
ℓℓ′{\ displaystyle {\ frac {\ ell} {\ ell '}}}
|
ℓℓ′{\ displaystyle {\ frac {\ ell} {\ ell '}}}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
0(+){\ displaystyle 0 ^ {(+)}}
|
0(-){\ displaystyle 0 ^ {(-)}}
|
---|
ℓ>0{\ displaystyle \ ell> 0}
|
ℓℓ′{\ displaystyle {\ frac {\ ell} {\ ell '}}}
|
ℓℓ′{\ displaystyle {\ frac {\ ell} {\ ell '}}}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
0(-){\ displaystyle 0 ^ {(-)}}
|
0(+){\ displaystyle 0 ^ {(+)}}
|
---|
0-{\ displaystyle 0 ^ {-}}
|
0(+){\ displaystyle 0 ^ {(+)}}
|
0(-){\ displaystyle 0 ^ {(-)}}
|
FI
|
FI
|
0(+){\ displaystyle 0 ^ {(+)}}
|
0(-){\ displaystyle 0 ^ {(-)}}
|
---|
0+{\ displaystyle 0 ^ {+}}
|
0(-){\ displaystyle 0 ^ {(-)}}
|
0(+){\ displaystyle 0 ^ {(+)}}
|
FI
|
FI
|
0(-){\ displaystyle 0 ^ {(-)}}
|
0(+){\ displaystyle 0 ^ {(+)}}
|
---|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
FI
|
FI
|
---|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
-∞{\ displaystyle - \ infty}
|
+∞{\ displaystyle + \ infty}
|
FI
|
FI
|
---|
Formas indeterminadas
As formas indeterminadas são ou tipos de aditivos: quer multiplicativo: , ou . Notemos que certas formas indeterminadas são mais "camufladas" e não se encontra uma das formas precedentes antes da passagem para o exponencial do logaritmo natural.
+∞-(+∞){\ displaystyle + \ infty - (+ \ infty)}
0×±∞{\ displaystyle 0 \ times \ pm \ infty}
00{\ displaystyle {\ tfrac {0} {0}}}
±∞±∞{\ displaystyle {\ tfrac {\ pm \ infty} {\ pm \ infty}}}![{\ tfrac {\ pm \ infty} {\ pm \ infty}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f80f2b2cc4bccdbe4878e42381a7115a32b579c)
Para superar a indeterminação, uma ou mais das seguintes técnicas são usadas:
O artigo a seguir discute essas técnicas em mais detalhes:
Exemplo:
Tentamos calcular
limx→0+(1x3-1x4){\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} \ left ({\ frac {1} {x ^ {3}}} - {\ frac {1} {x ^ {4}}} \ right )}![{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} \ left ({\ frac {1} {x ^ {3}}} - {\ frac {1} {x ^ {4}}} \ right )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291a269dd3d1270bcd0a4b1811a8a1e459d7a1a8)
Ouro,
limx→0+1x3=limx→0+1x4=+∞{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {1} {x ^ {3}}} = \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {1} {x ^ {4}}} = + \ infty}![{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {1} {x ^ {3}}} = \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {1} {x ^ {4}}} = + \ infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c75524e760a52230d647391ecd2b368f9ca7f169)
portanto, estamos em um caso de forma “aditiva” indeterminada; nós fatoramos a expressão:
1x3-1x4=1x4×(x-1){\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3}}} - {\ frac {1} {x ^ {4}}} = {\ frac {1} {x ^ {4}}} \ times ( x-1)}
limx→0+1x4=+∞{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {1} {x ^ {4}}} = + \ infty}![{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {1} {x ^ {4}}} = + \ infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2edc70f40bb95bc6b669747d5e5a782642cf49d2)
e
limx→0+(x-1)=-1{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} (x-1) = - 1}
então podemos concluir a partir das regras de multiplicação :
limx→0+(1x3-1x4)=-∞{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} \ left ({\ frac {1} {x ^ {3}}} - {\ frac {1} {x ^ {4}}} \ right ) = - \ infty}
Composição
Propriedade
Deixe e ser dois intervalos não-trivial , e dois mapas de tal modo que , e um ponto de ou um limite de .
eu{\ displaystyle I}
J{\ displaystyle J}
f:eu→R{\ displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}
g:J→R{\ displaystyle g: J \ to \ mathbb {R}}
f(eu)⊂J{\ displaystyle f (I) \ subset J}
no{\ displaystyle a}
eu{\ displaystyle I}
eu{\ displaystyle I}![eu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f)
simlimx→nof(x)=belimy→bg(y)=vs,tãolimx→no(g∘f)(x)=vs.{\ displaystyle {\ text {Si}} \ quad \ lim _ {x \ a} f (x) = b \ quad {\ text {et}} \ quad \ lim _ {y \ to b} g (y ) = c, \ quad {\ text {then}} \ quad \ lim _ {x \ to a} (g \ circ f) (x) = c.}
Composição de uma função e uma sequência
Deixe como antes, e uma sequência de valores em .
g:J→R{\ displaystyle g: J \ to \ mathbb {R}}
(ynão){\ displaystyle (y_ {n})}
J{\ displaystyle J}![J](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053)
simlimnão→∞ynão=belimy→bg(y)=vs,tãolimnão→∞g(ynão)=vs.{\ displaystyle {\ text {Si}} \ quad \ lim _ {n \ to \ infty} y_ {n} = b \ quad {\ text {e}} \ quad \ lim _ {y \ to b} g ( y) = c, \ quad {\ text {then}} \ quad \ lim _ {n \ to \ infty} g (y_ {n}) = c.}
Veja também
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">