Polinômio constante

Em matemática , um polinômio constante é um polinômio cujos todos os coeficientes são zero, com a possível exceção do coeficiente constante .

Um polinômio zero é um polinômio cujos todos os coeficientes são zero, incluindo o coeficiente constante.

Propriedades

• A função polinomial associada a um polinômio constante (resp. Null) é uma função constante (resp. Uma função nula ).
  • O inverso é verdadeiro quando a função é definida em um conjunto infinito e o anel de coeficientes é integral (por exemplo, o campo de racionais, reais ou complexos). Nós até mostramos - por indução em n - que para um polinômio em n indeterminado em um anel integral A ser zero (resp. Constante), é suficiente que a função associada seja zero (resp. Constante) em um produto de n partes infinitas de um .
  • O inverso é falso se o anel não for integral ou se o conjunto sobre o qual a função é constante for finito. Por exemplo, para qualquer subconjunto finito não vazio { a 1 , ..., a n } de um anel comutativo, existe um polinômio não constante com coeficientes neste anel e que, no entanto, assume o mesmo valor (zero) em todos os a k  : o polinômio produz X - a k .
• O grau de um polinômio constante diferente de zero é 0. Atribuímos (por convenção) ao polinômio zero o grau –∞ . Esta convenção permite, por exemplo, que tenhamos deg ( PQ ) = deg ( P ) + deg ( Q ) para todos os polinômios P e Q , incluindo se P ou Q for zero.
• Na análise real ou complexa , polinômios constantes são os únicos polinômios limitados .