Separação do convexo

Dados dois convexos do mesmo plano que não se encontram, é sempre possível subdividir o plano em dois semiplanos de modo que cada um contenha completamente um dos convexos. É o mesmo na dimensão 3, a separação dos convexos então sendo realizada por um plano. De forma mais geral, o mesmo pode ser feito em qualquer dimensão finita usando um hiperplano . Sob um pressuposto adequado de compactação , pode-se até garantir uma "separação estrita", garantindo que cada uma das duas linhas convexas permaneça distante do hiperplano que as separa; sob boas condições, a separação também pode ser assegurada em certos espaços vetoriais topológicos de dimensão infinita.

Um caso particular notável é aquele em que um dos convexos contém apenas um ponto, escolhido na borda do outro. Nesse caso, os hiperplanos de separação são chamados de hiperplanos de suporte convexo.

Posição do problema

Colocamo- nos em um espaço afim E (de dimensão finita), ou em um espaço vetorial normalizado sobre . R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Dado um hiperplano afim H de E, existe uma forma linear (única exceto por um fator multiplicativo) que pode servir de equação para , isto é, para a qual existe um tal aquele . Além disso, se estiver fechado, é contínuo. Podemos, portanto, definir os dois “meios-espaços” limitados por como os conjuntos e . H{\ displaystyle H}vs{\ displaystyle c}H={x∈E∣f(x)=vs}{\ displaystyle H = \ {x \ in E \, \ mid \, f (x) = c \}}H{\ displaystyle H}f{\ displaystyle f}H{\ displaystyle H}E1={x∈E∣f(x)≤vs}{\ displaystyle E_ {1} = \ {x \ in E \, \ mid \, f (x) \ leq c \}}E2={x∈E∣f(x)≥vs}{\ displaystyle E_ {2} = \ {x \ in E \, \ mid \, f (x) \ geq c \}}

Dados duas partes e de , dizemos então que separa e quando, na subdivisão de por em dois meios-espaços e , um dos conjuntos e está incluído em e o outro em . Nesta definição (separação no sentido “amplo”), não proibimos e não permitimos conter pontos de , ou mesmo encontrar-se, desde que ligado . NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}E{\ displaystyle E}H{\ displaystyle H} NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}E{\ displaystyle E}H{\ displaystyle H}E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}H{\ displaystyle H}H{\ displaystyle H}

Sob certos pressupostos, pode-se obter resultados de separação mais precisos e concluir que e estão em ambos os lados , nos estritos semiplanos que ela limita. Na verdade, às vezes podemos fazer um pouco melhor, daí a seguinte definição técnica: dizemos que uma equação separa estritamente e quando existe tal que um dos conjuntos e está incluído no meio-espaço e o outro na metade- espaço . NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}H{\ displaystyle H}H{\ displaystyle H}{x∈E∣f(x)=vs}{\ displaystyle \ {x \ in E \, \ mid \, f (x) = c \}} NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}ϵ>0{\ displaystyle \ epsilon> 0}NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}E1′={x∈E∣f(x)≤vs-ϵ}{\ displaystyle E_ {1} '= \ {x \ in E \, \ mid \, f (x) \ leq c- \ epsilon \}}E2′={x∈E∣f(x)≥vs+ϵ}{\ displaystyle E_ {2} '= \ {x \ in E \, \ mid \, f (x) \ geq c + \ epsilon \}}

Teoremas de separação ampla

Dois conjuntos de hipóteses permitem garantir a separação em sentido amplo. O primeiro dos teoremas a seguir é às vezes chamado de “primeira forma geométrica do teorema de Hahn-Banach”.

Teorema  -  Seja E um espaço normado, A e B dois convexos E não-vazios e disjuntos . Assumimos que A está aberto. Então existe um hiperplano fechado separando A e B.

Teorema  -  Seja E um espaço afim de dimensão finita, A e B dois convexos não vazios e disjuntos de E. Então, há um hiperplano separando A e B.

Por outro lado, em dimensão infinita, nem sempre se pode construir um hiperplano fechado de ampla separação: há um exemplo de dois convexos fechados não vazios e disjuntos, mas que não podem ser separados por um hiperplano fechado.

Podemos notar que, no primeiro teorema, o convexo aberto está necessariamente incluído em um meio-espaço estrito. Em particular, quando A e B são ambos abertos, fizemos uma separação onde cada um dos convexos está incluído em um dos meios-espaços estritos: isso é melhor do que uma separação ampla, mas menos bom do que uma separação estrita no significado que tem foi escolhido neste artigo.

Princípio da demonstração

O primeiro teorema acima segue rapidamente a partir da versão da "forma geométrica do teorema de Hahn-Banach" dada no artigo Teorema de Hahn-Banach . A ideia adicional necessária para concluir é considerar o conjunto, isto é, o conjunto de , onde varia em e em . É fácil verificar que se trata de um convexo aberto . Podemos então aplicar o teorema mencionado no artigo Teorema de Hahn-Banach a este convexo e a , que fornece um hiperplano  ; então é fácil ver que entre os hiperplanos paralelos a um responde a pergunta. NO-B{\ displaystyle AB}no-b{\ displaystyle ab}no{\ displaystyle a}NO{\ displaystyle A}b{\ displaystyle b}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}eu={0}{\ displaystyle L = \ {0 \}}H1{\ displaystyle H_ {1}}H1{\ displaystyle H_ {1}}

Teorema da separação estrita

Este resultado é a "segunda forma geométrica do teorema de Hahn-Banach":

Teorema  -  Let Ser um espaço normalizado, e dois convexos de não-vazio e disjuntos. Assumimos fechado e compacto. Então existe um hiperplano fechado separando estritamente e . E{\ displaystyle E}NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}E{\ displaystyle E}NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}

Uma aplicação particularmente importante é a representação de convexos fechados como a interseção de meios-espaços fechados. Quando um intercepta meios-espaços fechados, o resultado da operação é obviamente um convexo fechado (uma vez que tanto a convexidade quanto o fechamento são preservados pela interseção, mesmo infinita). Acontece que o inverso é verdadeiro:

Corolário (teorema de Eidelheit)  -  Em um espaço normalizado, qualquer convexo fechado é a interseção dos semiespaços fechados que o contêm.

Princípios de demonstrações

Para o teorema, primeiro observamos que a distância que separa e é estritamente positiva (este é sempre o caso para a distância entre um fechado e um compacto em um espaço métrico). Posamos e consideramos (resp. ) Conjuntos de pontos distantes de (resp. ), Que ainda são convexos, mas abertos, embora permaneçam disjuntos. Aplicamos a essas aberturas o teorema da separação em sentido amplo, e finalmente verificamos sem dificuldade que o hiperplano obtido separa de fato estritamente de . d{\ displaystyle d}NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}ϵ=d/3{\ displaystyle \ epsilon = d / 3}NO′{\ displaystyle A '}B′{\ displaystyle B '}ϵ{\ displaystyle \ epsilon}NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}

Para o corolário, tomamos qualquer ponto da complementaridade do convexo fechado . Ao aplicar o teorema a e , obtemos um semi-espaço fechado contendo mas ao qual não pertence, o que prova que não está na intersecção das meias-espaços fechados contendo . A inclusão não óbvia é assim comprovada. x0{\ displaystyle x_ {0}}VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}{x0}{\ displaystyle \ {x_ {0} \}}VS{\ displaystyle C}x0{\ displaystyle x_ {0}}x0{\ displaystyle x_ {0}}VS{\ displaystyle C}

Em dimensão finita, também podemos provar esta forma do teorema da separação baseando-nos no teorema da projeção em um convexo fechado . Na verdade, se for fechado e for um singleton (contendo um ponto externo ), podemos encontrar um hiperplano separando-os projetando-os em um ponto e usando o hiperplano perpendicular para passar pelo meio desse segmento. No caso geral, voltamos a esta situação particular separando o fechado de , como na prova do teorema da separação ampla. NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}x0{\ displaystyle x_ {0}}NO{\ displaystyle A}x0{\ displaystyle x_ {0}}NO{\ displaystyle A}x0∗{\ displaystyle x_ {0} ^ {*}}[x0,x0∗]{\ displaystyle [x_ {0}, x_ {0} ^ {*}]}NO-B{\ displaystyle AB}{0}{\ displaystyle \ {0 \}}

Hiperplanos de suporte

Um caso particularmente importante é aquele onde B é um singleton contendo um único ponto , escolhido na borda de . x0{\ displaystyle x_ {0}}NO{\ displaystyle A}

Comecemos com uma definição: para parte de um espaço vetorial on e elemento de , dizemos que um hiperplano afim é um hiperplano de suporte de en quando pertence a e está incluído em um dos meios-espaços limitados por . NO{\ displaystyle A}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}x0{\ displaystyle x_ {0}}NO{\ displaystyle A}H{\ displaystyle H}NO{\ displaystyle A}x0{\ displaystyle x_ {0}}x0{\ displaystyle x_ {0}}H{\ displaystyle H}NO{\ displaystyle A}H{\ displaystyle H}

Podemos então afirmar:

Teorema  -  Em um espaço afim de dimensão finita, ou seja, um convexo fechado e um ponto na fronteira de . Há pelo menos um hiperplano de suporte de en . VS{\ displaystyle C}x0{\ displaystyle x_ {0}}VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}x0{\ displaystyle x_ {0}}

Para provar isso, vamos nos livrar de todo o caso degenerado do tamanho da é menor do que a do espaço ambiente: se é assim, qualquer hyperplane afim contendo os refina envelope para ser. Uma vez que este caso seja eliminado, o interior não fica vazio e podemos aplicar o teorema da separação ao aberto e ao singleton , que é separado por um hiperplano . Tal como acontece com a aderência do seu interior (ver o artigo Adesão, interior e orla de um convexo ), está também incluído num dos meios-espaços delimitados por , pelo que este hiperplano cumpre as especificações. VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}eunãot(VS){\ displaystyle \ mathrm {int} (C)}eunãot(VS){\ displaystyle \ mathrm {int} (C)}{x0}{\ displaystyle \ {x_ {0} \}}H{\ displaystyle H}VS{\ displaystyle C}H{\ displaystyle H}

Hiperplanos de suporte são ferramentas fundamentais para classificar pontos na borda de um poliedro convexo em vértices, pontos de borda, pontos de face, etc. e mais geralmente para distinguir e estudar pontos notáveis ​​e partes da borda de um convexo .

Teorema da separação de Stone

O seguinte resultado fundamental, devido a Marshall Stone , é puramente algébrico: o espaço ambiente é de qualquer dimensão e não é dotado de nenhuma topologia.

Num espaço real afim, para todos os convexos e disjuntos , existem dois convexos e , complementares entre si, tais que e . NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}D{\ displaystyle D}NO⊂VS{\ displaystyle A \ subconjunto C}B⊂D{\ displaystyle B \ subset D}

Para demonstrar isso, é suficiente aplicar o lema de Zorn ao conjunto indutivo de convexos contendo e disjuntos de (ordenados por inclusão), ou mesmo àquele de pares disjuntos de convexos como e . NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B} (VS,D){\ displaystyle (C, D)}NO⊂VS{\ displaystyle A \ subconjunto C}B⊂D{\ displaystyle B \ subset D}

Referências

1. haïm brézis , Análise funcional: teoria e aplicações [ detalhe de edições ], p. 4-5 na edição de 1983.
2. A definição varia de acordo com as fontes. Marcel Berger , Geometria [ detalhe das edições ]por exemplo, apenas requer isso e estar em qualquer um dos lados , nos estritos meios-planos que ele limita.NO{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}H{\ displaystyle H}
3. Assim, em Brezis , que serviu de fonte; estes são os Teoremas I-6 e Observação 4, p. 5 e 7.
4. Brezis , nota 4, p. 7
5. Brezis , th. I.7, p. 7
6. Berger , proposição 11.5.5, volume 3, p. 45 na edição de 1978 (a afirmação é dada nesta fonte apenas em dimensão finita).
7. (de) Sr. Eidelheit , "  Zur Theorie der konvexen Mengen in Linearen normierten Raumen  " , Studia Mathematica , vol.  6,1936, p.  104-111
8. (en) JB Hiriart-Urruty e Lemaréchal C., Fundamentals of Convex Analysis , Springer, et al.  "Grundlehren Text Editions",2001( ISBN  3540422056 ) , p.  51-53.
9. Berger , Prop. 11.5.2, volume 3, p. 43
10. (em) Richard B. Holmes, Análise Funcional Geométrica e suas Aplicações , al.  "  GTM  " ( n o  24)1975( leia online ) , p.  7.
11. (em) Gottfried Köthe ( trad.  Do alemão por DJH Garling) Topological Vector Spaces ["  Topologische lineare Räume  "], vol.  I, coll.  “  Grund. matemática. Wiss.  "( N O  159),1983( 1 st  ed. 1966) ( linha de leitura ) , p.  186, dá esta demonstração, bem como uma variante que demonstra de antemão a existência de um cone convexo sem corte máximo contendo .NO-B{\ displaystyle AB}

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