Continuação (matemática elementar)

Este artigo é uma introdução à noção de continuação. Para uma apresentação formal e detalhada, consulte Continuação (matemática) .

Em matemática , intuitivamente, construímos uma série de números reais escolhendo um primeiro número que denotamos u 1 , um segundo denotado u 2 , um terceiro denotado u 3 , etc.

Uma seqüência infinita é dada se, para qualquer número inteiro n maior ou igual a 1, um número real denotado u n corresponder . O real u n é chamado de termo de índice n da sequência.

Você pode decidir iniciar os índices em 0 em vez de 1 ou iniciar os índices a partir de um inteiro n 0 . Nós também pode decidir parar as pistas para uma N . Em seguida, criamos uma sequência finita.

Uma sequência pode, portanto, ser visto como uma aplicação do conjunto de números naturais ou de uma parte A da com valores em . Se u é um mapa de A com valor em , denotamos por u n , a imagem u ( n ) de n por u . A aplicação u é denotada ou mais simplesmente . NÃO{\ displaystyle \ mathbb {N}}NÃO{\ displaystyle \ mathbb {N}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}(vocênão)não∈NO{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in A}}(vocênão){\ displaystyle (u_ {n})}

Existem, portanto, duas notações semelhantes: a notação ( u n ) correspondente a uma aplicação e a notação u n designando um número real.

Quando A = - a seqüência u tem como conjunto de índices o conjunto de inteiros naturais - obtemos a seqüência: ( u 0 , u 1 ,…, u n ,…). Os últimos três pequenos pontos consecutivos significam que há uma infinidade de termos depois. NÃO{\ displaystyle \ mathbb {N}}NÃO{\ displaystyle \ mathbb {N}}

Se A = {1, 2,…, N } então a seqüência é uma seqüência finita, de N termos: ( u 1 , u 2 ,…, u N ).

Construção de termos

A escolha dos termos da sequência pode ser feita "ao acaso", assim como para a sequência que dá os resultados sucessivos obtidos com o lançamento de um dado. Em seguida, falamos de uma sequência aleatória . Mas, em geral, a escolha de cada termo é feita de acordo com uma regra freqüentemente especificada, seja por uma frase, seja por uma expressão que permite calcular u n como uma função de n . Dizemos então que definimos a sequência por seu termo geral . Podemos também dar uma regra para a construção do termo do índice n usando os termos já construídos, falamos então de uma sequência definida por indução .

Por exemplo :

• A sequência de números pares diferentes de zero é a sequência que começa com os números 2, 4, 6, 8, 10, ... O termo do índice n é o inteiro 2 n . Observamos o seguinte  ;(2não)não∈NÃO∗{\ displaystyle (2 \, n) _ {n \ in \ mathbb {N} *}}
• A seqüência da qual todos os termos são zero é a seqüência 0, 0, 0, 0, ... É uma seqüência constante. Nós notamos isso  ;(0)não∈NÃO{\ displaystyle (0) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
• A sequência que assume os valores 1 e -1 alternadamente é a sequência 1, -1, 1, -1, ... Nós a denotamos  ;((-1)não)não∈NÃO{\ displaystyle ((-1) ^ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
• A sequência de números primos em ordem crescente é 2, 3, 5, 7, 11, 13,…. Essa sequência não pode ser definida por seu termo geral porque não sabemos uma maneira de calcular o termo do índice n diretamente como uma função de n  ;
• A sequência que começa com u 0 = 0 e para a qual cada termo é obtido dobrando o termo anterior e adicionando 1 começa com 0, 1, 3, 7, 15, 31,…. É uma sequência definida por uma simples recorrência. Podemos mostrar que seu termo geral é dado por u n = 2 n - 1;
• A sequência que começa com u 0 = 1 e u 1 = 1 e para a qual cada termo é obtido pela adição dos dois termos anteriores começa com 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…. É uma sequência definida por uma dupla recorrência. É conhecida como sequência de Fibonacci .

As sequências mais estudadas em matemática elementar são as sequências aritméticas e as sequências geométricas , mas também as sequências aritmético-geométricas .

Variações de uma suíte

Seja uma sequência real, temos as seguintes definições: você=(vocênão)não∈NÃO{\ displaystyle u = (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

Crescimento

Diz-se que a sequência u está aumentando se, para qualquer número natural n ,vocênão≤vocênão+1.{\ displaystyle u_ {n} \ leq u_ {n + 1}.}

Portanto, temos, diz-se que a sequência u é "estritamente" crescente se para qualquer número natural n ,você0≤você1≤...≤vocênão≤vocênão+1.{\ displaystyle u_ {0} \ leq u_ {1} \ leq \ ldots \ leq u_ {n} \ leq u_ {n + 1}.}vocênão<vocênão+1.{\ displaystyle u_ {n} <u_ {n + 1}.}

Diminuir

A sequência u é considerada decrescente se para qualquer número natural n ,vocênão≥vocênão+1.{\ displaystyle u_ {n} \ geq u_ {n + 1}.}

Temos, portanto, A sequência u é estritamente decrescente se para qualquer número natural n ,você0≥você1≥...≥vocênão≥vocênão+1.{\ displaystyle u_ {0} \ geq u_ {1} \ geq \ ldots \ geq u_ {n} \ geq u_ {n + 1}.}vocênão>vocênão+1.{\ displaystyle u_ {n}> u_ {n + 1}.}

Monotonia

A seqüência u é monotônica se estiver aumentando ou diminuindo. Da mesma forma, a sequência u é estritamente monotônica se for estritamente crescente ou estritamente decrescente.

Suíte estacionária

Uma sequência de u é dito ser estacionário , se existe um posto n 0 a partir do qual todos os termos da sequência são iguais, isto é, um número natural n 0 tal que para qualquer número natural n maior que n 0 , . vocênão=vocênão0{\ displaystyle u_ {n} = u_ {n_ {0}}}

Exemplos

• Se, para qualquer número natural n , u n = 2 n + 1,
  a seqüência u está aumentando.
• Se para todo natural n diferente de zero , o resultado v é decrescente.vnão=1não{\ displaystyle v_ {n} = {\ frac {1} {n}}}
  

As sequências de u e v são, portanto, monótona (e mesmo estritamente).

• No entanto, após w definido: para qualquer número natural n , não é de facto monótono , , . Não está aumentando nem diminuindo.Cnão=(-1)não+1{\ displaystyle w_ {n} = (- 1) ^ {n + 1}}
  C0=-1{\ displaystyle w_ {0} = - 1}C1=1{\ displaystyle w_ {1} = 1}C2=-1{\ displaystyle w_ {2} = - 1}
• Estudar as variações de uma sequência é determinar se ela está aumentando ou diminuindo.

Vamos dar algumas regras práticas que permitem estudar as variações de uma sequência:

• estudamos para todo número natural n , o sinal de  ;vocênão+1-vocênão{\ displaystyle u_ {n + 1} -u_ {n} \,}
• quando todos os termos da sequência são estritamente positivos e estão na forma de um produto, podemos estudar para qualquer número natural n , a razão e compará-la a 1;vocênão+1vocênão{\ displaystyle {\ frac {u_ {n + 1}} {u_ {n}}}}
• se o termo geral u n tem a forma f ( n ), onde f é uma função definida em , e se f está aumentando (resp. diminuindo), então u está aumentando (resp. diminuindo).[0,+∞[{\ displaystyle [0, + \ infty [}

Maior, menor

Suite aumentada Diz-se que uma sequência u é aumentada se existe um número real M tal que para cada número natural n ,vocênão≤M{\ displaystyle u_ {n} \ leq M} O M real é chamado de limite superior da sequência. Assim que uma sequência é aumentada, há um infinito de limite superior (todos os números reais maiores do que qualquer limite superior). Suite Menor Uma sequência de u é chamado menos se houver uma verdadeira m tal que para qualquer número natural n , . O m real é chamado de limite inferior da sequência. Assim que uma sequência é reduzida, existe uma infinidade de limite inferior (todos os números reais menores que qualquer limite inferior).vocênão≥m{\ displaystyle u_ {n} \ geq m} Suite limitada Uma sequência u é considerada limitada se for aumentada e reduzida. Neste caso, não são reais H e m tal que para qualquer número natural n , .m≤vocênão≤M{\ displaystyle m \ leq u_ {n} \ leq M}

Caráter de mente estreita

u é limitado se e somente se existe um K real tal que para qualquer número natural n , (é suficiente tomar para K o valor absoluto de M e m que é o maior em valor absoluto :) . |vocênão|≤K{\ displaystyle | u_ {n} | \ leq K}K=max(|M|,|m|){\ displaystyle K = \ max (| M |, | m |)}

Resultado:

Para provar que uma seqüência u é limitada, basta mostrar que a seqüência (| u n |) é limitada.

Exemplos

• A seqüência u definida por: para todo número natural n , é limitada por 1, mas não limitada;vocênão=-3não+1{\ displaystyle u_ {n} = - 3 \, n + 1}
• A seqüência v definida por: para qualquer número natural n , é reduzida em 0, mas não é aumentada;vnão=(não-7)2{\ displaystyle v_ {n} = (n-7) ^ {2}}
• A sequência w definida por: para qualquer número natural diferente de zero n, é limitada (seu maior termo é , é também o menor do limite superior; não tem menor termo porque é estritamente decrescente, mas o maior dos inferiores limite é 0, este é também o seu limite ).Cnão=1não{\ displaystyle w_ {n} = {\ frac {1} {n}}}C1=1{\ displaystyle w_ {1} = 1}

Propriedades

• Uma sequência crescente u é reduzida por seu primeiro termo u 0  ;
• Uma seqüência decrescente u é limitada por seu primeiro termo u 0  ;
• Quando o termo geral u n de uma sequência é escrito na forma de uma soma de n termos, podemos diminuir a soma n vezes o menor termo da soma e aumentar n vezes o maior. Mas nem sempre é possível obter um limite inferior ou superior da sequência.

Limite, convergência, divergência

Notas e referências

1. Ver, por exemplo, W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich e H. Kästner ( traduzido  do alemão por um coletivo, editado por Jacques-Louis Lions ), Petite encyclopédie des mathematics ["  Kleine Enzyklopädie der Mathematik  "], Didier ,1980, cap.  18, pág.  415.
2. Começar os índices em 1 torna possível confundir índice e contador (o termo do índice 1 é então o primeiro termo da sequência), mas na prática as sequências são mais frequentemente indexadas no conjunto de números naturais, zero incluído.
3. Ver, por exemplo, André Deledicq , Mathematics lycée , Paris, éditions de la Cité,1998, 576  p. ( ISBN  2-84410-004-X ) , p.  300.
4. Ver, por exemplo, Deledicq 1998 , p.  304.
5. Veja, por exemplo, o programa de matemática de TS - BO n o  4 de 30 de Agosto de 2001, HS, seção de continuação e de reincidência - modalidades e implementação.
6. Ver, por exemplo, Mathematics of TS , col. "Math'x", Didier, Paris, 2002, p. 20-21, ou qualquer outro livro do mesmo nível.

Veja também

• Continuação (matemática) para mais detalhes
• Série (matemática)
• Família (matemática)
• Suite generalizada

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