Teorema de Floquet
A análise de Floquet se aplica a sistemas dinâmicos quando a matriz de avanço de estado no ponto atual é periódica.
Ela torna possível encontrar uma base de projeção para a trajetória em que cada coordenada é uma trajetória periódica ampliada (ou atenuada) exponencialmente. Isso torna possível ver a trajetória como a superposição de modos ( os vetores Floquet ) mais ou menos ativos de acordo com o valor do coeficiente de amplificação ( os multiplicadores Floquet ).
∂tx=NO(t)x{\ displaystyle \ partial _ {t} x = A (t) \, x}
NO(t+T)=NO(t)∀t.{\ displaystyle A (t + T) = A (t) \ quad \ forall t.}![{\ displaystyle A (t + T) = A (t) \ quad \ forall t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54dca96077df0b152944a113e2bbc9c289914182)
O teorema demonstrado por Gaston Floquet diz que: se é uma matriz periódica de período mínimo T e o sistema fundamental de solução associado à equação , então existe uma matriz periódica invertível e uma matriz constante tal queNO(t){\ displaystyle \ displaystyle A (t)}
X(t){\ displaystyle \ displaystyle X (t)}
∂tx=NO(t)x{\ displaystyle \ partial _ {t} x = A (t) \, x}
P(t){\ displaystyle \ displaystyle P (t)}
R{\ displaystyle \ displaystyle R}
X(t)=P(t)eRt∀t.{\ displaystyle X (t) = P (t) e ^ {Rt} \ quad \ forall t.}
Teorema de Floquet
Propriedades do propagador
As propriedades do propagador associado ao sistema Floquet são convencionalmente obtidas considerando a matriz das soluções fundamentais do sistema cujas colunas formam a base de todas as soluções do sistema.
X(t){\ displaystyle \ displaystyle X (t)}![{\ displaystyle \ displaystyle X (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214fff4b69b9380e320607dfff306d1094ba56f2)
Definimos o propagador do sistema pelo
qual, por sua vez, define uma base de soluções fundamentais.
Φ(t,0)=X(t)X-1(0), {\ displaystyle \ Phi (t, 0) = X (t) X ^ {- 1} (0), ~}![{\ displaystyle \ Phi (t, 0) = X (t) X ^ {- 1} (0), ~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/445f900a9e7d789e6ac1fa370576bc3ad6b9cb2f)
Temos então o
que prova que também é uma solução e, portanto, pode ser expressa na base .
∂tΦ(t+T,0)=NO(t)Φ(t+T,0),{\ displaystyle \ partial _ {t} \ Phi (t + T, 0) = A (t) \, \ Phi (t + T, 0),}
Φ(t+T,0){\ displaystyle \ displaystyle \ Phi (t + T, 0)}
Φ(t,0){\ displaystyle \ displaystyle \ Phi (t, 0)}![{\ displaystyle \ displaystyle \ Phi (t, 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b48e72510c41815224abf60065f3c12cbd0c7f4)
Então nós temos
Φ(t+T,0)=Φ(t,0)Φ(T,0),{\ displaystyle \ Phi (t + T, 0) = \ Phi (t, 0) \, \ Phi (T, 0),}![{\ displaystyle \ Phi (t + T, 0) = \ Phi (t, 0) \, \ Phi (T, 0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f131232136df8bde01a88403b9f32a0fbf4bb0bc)
onde é uma matriz constante.
Φ(T,0){\ displaystyle \ Phi (T, 0)}![{\ displaystyle \ Phi (T, 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66674040fba73eea9358645e89d4dc50b4ea4f4)
Construção de vetores Floquet
Diagonalizamos o propagador em t = T, o que torna possível determinar os autovalores dos quais escrevemos na forma . Isso torna possível definir as matrizes e de tal forma que
Φ(T,0){\ displaystyle \ displaystyle \ Phi (T, 0)}
σeu=eΛeuT{\ displaystyle \ sigma _ {i} = e ^ {\ Lambda _ {i} T}}
eΛT{\ displaystyle \ displaystyle e ^ {\ Lambda T}}
Z{\ displaystyle \ displaystyle Z}![{\ displaystyle \ displaystyle Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4618ba038b12b5dd88332159c143e69476bd1a47)
Φ(T,0)=ZeΛTZ-1=ZΣZ-1{\ displaystyle \ Phi (T, 0) = Z \, e ^ {\ Lambda T} Z ^ {- 1} = Z \ Sigma Z ^ {- 1}}![{\ displaystyle \ Phi (T, 0) = Z \, e ^ {\ Lambda T} Z ^ {- 1} = Z \ Sigma Z ^ {- 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3755c2120b73ca8be969d05cb11b50c884bbd19)
Em seguida, definimos a matriz de forma que
Y(t)=Φ(t,0)Z{\ displaystyle Y (t) = \ Phi (t, 0) \, Z}
Y(0)=Z{\ displaystyle \ displaystyle Y (0) = Z}
A relação de Y (t) com sua réplica em t + T é então
Y(t+T)=Φ(t+T,0)Z=Φ(t+T,T)Φ(T,0)Z=Φ(t,0)ZeΛT=Y(t)eΛT{\ displaystyle {\ begin {alinhados} Y (t + T) = \ Phi (t + T, 0) \, Z = \ Phi (t + T, T) \, \ Phi (T, 0) \, Z \\ = \ Phi (t, 0) \, Z \, e ^ {\ Lambda T} = Y (t) \, e ^ {\ Lambda T} \ end {alinhado}}}![{\ displaystyle {\ begin {alinhados} Y (t + T) = \ Phi (t + T, 0) \, Z = \ Phi (t + T, T) \, \ Phi (T, 0) \, Z \\ = \ Phi (t, 0) \, Z \, e ^ {\ Lambda T} = Y (t) \, e ^ {\ Lambda T} \ end {alinhado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca5a60cec4a277b5589307fd31e4266f6bd325e)
Um constrói a partir dos vetores coluna de Y outros vetores não amortecidos, estes são os vetores de Floquet . Obtemos uma matriz que definimos como “desamortecimento” e cujos vetores coluna são os vetores Floquet.
ΨF{\ displaystyle \ displaystyle \ Psi ^ {F}}
Y{\ displaystyle \ displaystyle Y}![{\ displaystyle \ displaystyle Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5827c081aa295e5b205509d6d5cd9ace17d22f)
ΨF(t)=Y(t)e-Λt{\ displaystyle \ displaystyle \ Psi ^ {F} (t) = Y (t) e ^ {- \ Lambda t}}
ΨF(0)=Z{\ displaystyle \ displaystyle \ Psi ^ {F} (0) = Z}
obtemos um vetor periódico, porque:
ΨF(t+T)=Y(t+T)e-ΛTe-Λt=Y(t)e-Λt=ΨF(t){\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ Psi ^ {F} (t + T) = Y (t + T) \, e ^ {- \ Lambda T} e ^ {- \ Lambda t} \\ = Y ( t) e ^ {- \ Lambda t} = \ Psi ^ {F} (t) \ end {alinhado}}}![{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ Psi ^ {F} (t + T) = Y (t + T) \, e ^ {- \ Lambda T} e ^ {- \ Lambda t} \\ = Y ( t) e ^ {- \ Lambda t} = \ Psi ^ {F} (t) \ end {alinhado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec48554cf304f7c7b8bdc49253c6eacc0bc6617)
Temos então para o propagador:
Φ(t,0)=Y(t)Z-1=Φ(t,0)=ΨF(t)eΛtZ-1 {\ displaystyle \ Phi (t, 0) = Y (t) Z ^ {- 1} = \ Phi (t, 0) = \ Psi ^ {F} (t) e ^ {\ Lambda t} Z ^ {- 1} ~}![{\ displaystyle \ Phi (t, 0) = Y (t) Z ^ {- 1} = \ Phi (t, 0) = \ Psi ^ {F} (t) e ^ {\ Lambda t} Z ^ {- 1} ~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b227cced220c5191b4ffae6fab1182407660cd85)
Y{\ displaystyle \ displaystyle Y}
está integrado como propagador, porque
∂tY=NO(t)Φ(t)Z=NO(t)Y(t){\ displaystyle \ partial _ {t} Y = A (t) \, \ Phi (t) \, Z = A (t) \, Y (t)}![{\ displaystyle \ partial _ {t} Y = A (t) \, \ Phi (t) \, Z = A (t) \, Y (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782965da0619cd7708c1ab94471a540afdc39844)
Qual dar
∂tΨF=NO(t)Ye-Λt-Y(t)Λe-Λt=NOΨF(t)-ΨFeΛtΛe-Λt=NO(t)ΨF(t)-ΨF(t)Λ{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ parcial _ {t} \ Psi ^ {F} = A (t) Y \, e ^ {- \ Lambda t} -Y (t) \ Lambda e ^ {- \ Lambda t} \\ = A \ Psi ^ {F} (t) - \ Psi ^ {F} e ^ {\ Lambda t} \ Lambda e ^ {- \ Lambda t} \\ = A (t) \ Psi ^ { F} (t) - \ Psi ^ {F} (t) \ Lambda \ quad \ end {alinhado}}}![{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ parcial _ {t} \ Psi ^ {F} = A (t) Y \, e ^ {- \ Lambda t} -Y (t) \ Lambda e ^ {- \ Lambda t} \\ = A \ Psi ^ {F} (t) - \ Psi ^ {F} e ^ {\ Lambda t} \ Lambda e ^ {- \ Lambda t} \\ = A (t) \ Psi ^ { F} (t) - \ Psi ^ {F} (t) \ Lambda \ quad \ end {alinhado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56e7c4d5df95ea1b17ac13aa18b36965eb9b563)
devido à diagonalidade das três matrizes à direita.
Estabilidade de sistemas Floquet
Os vetores Floquet sendo periódicos, eles são, portanto, limitados. Podemos, portanto, caracterizar a estabilidade dos sistemas Floquet por meio de cálculos .
Λ=1TregistroΣ{\ displaystyle \ Lambda = {\ frac {1} {T}} \ log \ Sigma}![{\ displaystyle \ Lambda = {\ frac {1} {T}} \ log \ Sigma}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a9be776f1c38bbda9449f01db8a48ea182a00ce)
Os valores próprios são chamados de multiplicadores de Floquet e são únicos. O são os expoentes da Floquet e não são únicos na decomposição de Floquet, pois se
σeu{\ displaystyle \ displaystyle \ sigma _ {i}}
λeu{\ displaystyle \ displaystyle \ lambda _ {i}}![{\ displaystyle \ displaystyle \ lambda _ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a87c4283c7575fa44c518270445acb325bbc7da6)
σeu=ρeue-euθeuλeu=em(ρeu)T+euθeu+2kπT{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sigma _ {i} & = & \ rho _ {i} e ^ {- i \ theta _ {i}} \\\ lambda _ {i} & = & {\ frac {\ ln (\ rho _ {i})} {T}} + i {\ frac {\ theta _ {i} + 2k \ pi} {T}} \ end {alinhado}}}![{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sigma _ {i} & = & \ rho _ {i} e ^ {- i \ theta _ {i}} \\\ lambda _ {i} & = & {\ frac {\ ln (\ rho _ {i})} {T}} + i {\ frac {\ theta _ {i} + 2k \ pi} {T}} \ end {alinhado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e35c518e8484979c0fc35b3a331015ffa56bd554)
com qualquer número inteiro. Além disso
e são geralmente imaginário. O crescimento de cada vetor Floquet ao longo do tempo é determinado pela parte real do expoente Floquet correspondente e a frequência pela parte imaginária.
k{\ displaystyle k}
ΨF{\ displaystyle \ displaystyle \ Psi ^ {F}}
Λ{\ displaystyle \ displaystyle \ Lambda}![{\ displaystyle \ displaystyle \ Lambda}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1358c988b2cde5708e3cd95847764deaf10f7005)
Propriedade do sistema linear tangente de um sistema periódico
Considere um sistema periódico regido pela equação:
∂tη=g(η){\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} \ eta = g (\ eta)}![{\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} \ eta = g (\ eta)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/830ba0d82224d177133ceceb69bb9e3d6b5d3e02)
O sistema é periódico, então, por definição, nós temos .
η(t+T)=η(t){\ displaystyle \ displaystyle \ eta (t + T) = \ eta (t)}![{\ displaystyle \ displaystyle \ eta (t + T) = \ eta (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3677caa01375581285127fc4d38f8a5c9a5367e0)
Uma perturbação no caminho de referência é governada por
.
∂tδη=∂ηgδη{\ displaystyle \ partial _ {t} \ delta \ eta = \ partial _ {\ eta} g \, \ delta \ eta}![{\ displaystyle \ partial _ {t} \ delta \ eta = \ partial _ {\ eta} g \, \ delta \ eta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baf2c60850a3b4553cee44f1701fc20c8e586e0b)
Com
onde está o propagador da trajetória perturbada.
δη(t)=Φ(t,τ)δη(τ){\ displaystyle \ displaystyle \ delta \ eta (t) = \ Phi (t, \ tau) \ delta \ eta (\ tau)}
Φ(t,τ){\ displaystyle \ displaystyle \ Phi (t, \ tau)}![{\ displaystyle \ displaystyle \ Phi (t, \ tau)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21fd272903db85566516cca99e4099e45bfe8cff)
Ao posar
, temos onde
é periódico .
NO=∂ηg(η){\ displaystyle A = \ partial _ {\ eta} g (\ eta)}
∂tΦ(t,τ)=NO(t)Φ(t,τ){\ displaystyle \ partial _ {t} \ Phi (t, \ tau) = A (t) \ Phi (t, \ tau)}
NO{\ displaystyle \ displaystyle A}
(∀t,NO(t+T)=NO(t)){\ displaystyle (\ forall t, A (t + T) = A (t))}![{\ displaystyle (\ forall t, A (t + T) = A (t))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326201cea2ef34fc080595977ffb72ce3fa207dc)
Em seguida, consideramos o sistema Floquet do período T. A "velocidade" do sistema é, por definição, e a periodicidade das unidades do sistema .
V(t)=∂tη{\ displaystyle V (t) = \ partial _ {t} \ eta}
V(t+T)=V(t){\ displaystyle \ displaystyle V (t + T) = V (t)}![{\ displaystyle \ displaystyle V (t + T) = V (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fda1bc46de7371bb007eb855080ab8e0cc66fda)
Como em outros lugares
∂tV=∂tg(η)=∂ηg(η)∂tη=NO(t)V(t){\ displaystyle \ partial _ {t} V = \ partial _ {t} g (\ eta) = \ partial _ {\ eta} g (\ eta) \, \ partial _ {t} \ eta = A (t) V (t)}![{\ displaystyle \ partial _ {t} V = \ partial _ {t} g (\ eta) = \ partial _ {\ eta} g (\ eta) \, \ partial _ {t} \ eta = A (t) V (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c29c29de47f6d26f9e9b5d624ce392a2c65c3cd)
temos que se propaga da mesma maneira que . Podemos deduzir desta peculiaridade uma propriedade da decomposição de Floquet do sistema linear tangente dos sistemas periódicos, a de ter um multiplicador de Floquet igual a 1. De fato, temos que é periódico com período T.
V{\ displaystyle \ displaystyle V}
δη{\ displaystyle \ displaystyle \ delta \ eta}
V(t)=Φ(t,0)V(0){\ displaystyle \ displaystyle V (t) = \ Phi (t, 0) V (0)}![{\ displaystyle \ displaystyle V (t) = \ Phi (t, 0) V (0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75663411bafa2de0fe55e6c1473cf99d3ae1c64)
Ouro
V(T)=Φ(T,0)V(0)=V(0){\ displaystyle \ displaystyle V (T) = \ Phi (T, 0) V (0) = V (0)}![{\ displaystyle \ displaystyle V (T) = \ Phi (T, 0) V (0) = V (0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d779ea974845e431b54d774b2328481e45835697)
e portanto é um autovetor de com o autovalor 1. Esta propriedade permite verificar que um sistema Floquet é um sistema periódico pela existência de um multiplicador Floquet igual a 1.
V(0){\ displaystyle \ displaystyle V (0)}
Φ(T,0){\ displaystyle \ displaystyle \ Phi (T, 0)}![{\ displaystyle \ displaystyle \ Phi (T, 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052f517194ed3f46f70a4d6ff65d29c21c89176a)
Formulários
Aplicações à física de estado sólido
Na estrutura do cristal perfeito infinito, os elétrons são submetidos a um potencial periódico com a simetria translacional dos átomos que constituem o cristal. As ondas Bloch (de Felix Bloch ) são funções de onda que descrevem estados quânticos eletrônicos com a mesma simetria do cristal.
Referências
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">