Teorema de Synge

Em matemática , o teorema de Synge , demonstrado por John Lighton Synge em 1936, é um resultado clássico da geometria Riemanniana na topologia de uma variedade Riemanniana completa com curvatura positiva . Constitui uma aplicação da fórmula da segunda variação .

Teorema  -  Seja M uma variedade Riemanniana completa de dimensão par e curvatura seccional estritamente positiva.

• Se M for orientável, então ele está simplesmente conectado .
• Se M não é orientável, então seu grupo fundamental é .Z/2Z{\ displaystyle Z / 2Z}

Demonstração

Suponha M orientável e de igual dimensão e razão pelo absurdo . Suponha que M não esteja simplesmente conectado. Então M tem uma geodésica fechada minimizando o comprimento em sua classe de homotopia livre. São e o transporte paralelo junto . Esta aplicação é uma isometria linear com um ponto fixo, viz . Como a dimensão de M é par, a ortogonal de é um espaço vetorial euclidiano orientado de dimensão ímpar no qual uma isometria linear é definida. Em particular, as reduções de mostrar as perguntas a existência de um vector ortogonal (unidade) seleccionado como: . p: =γ(0){\ displaystyle p: = \ gamma (0)}θ:TpM→TpM{\ displaystyle \ theta: T_ {p} M \ rightarrow T_ {p} M}γ{\ displaystyle \ gamma}θ{\ displaystyle \ theta}γ′(0)=γ′(eu){\ displaystyle \ gamma '(0) = \ gamma' (L)}γ′(0){\ displaystyle \ gamma '(0)}θ{\ displaystyle \ theta}v{\ displaystyle v}θv=v{\ displaystyle \ theta v = v}

O transporte paralelo de along dá uma seção geral de . Vamos introduzir uma variação de laços -periódicos, com e . A fórmula para a segunda variação dá: v{\ displaystyle v}γ{\ displaystyle \ gamma}V{\ displaystyle V}γ∗TM→S1{\ displaystyle \ gamma ^ {*} TM \ rightarrow S ^ {1}}vss{\ displaystyle c_ {s}}eu{\ displaystyle L}vs0=γ{\ displaystyle c_ {0} = \ gamma}∂svss|s=0=V{\ displaystyle \ partial _ {s} c_ {s} | _ {s = 0} = V}

∂2euonãogvss∂s2=-∫0euK(γ′(t),V(t))dt<0{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} longc_ {s}} {\ partial s ^ {2}}} = - \ int _ {0} ^ {L} K (\ gamma '(t), V (t)) dt <0}

Conseqüentemente, há uma contradição com a escolha de , portanto, M está simplesmente conectado. γ{\ displaystyle \ gamma}

Para a segunda afirmação, basta considerar um revestimento duplo ajustável M .

Podemos demonstrar pelas mesmas técnicas que qualquer variedade Riemanniana completa de dimensão ímpar e curvatura seccional estritamente positiva é orientável.

Referências

• (pt) Manfredo Perdigão do Carmo , geometria Riemanniana , Birkhäuser,1992, 300  p. ( ISBN  978-0-8176-3490-2 )
• (pt) John Lighton Synge , “  Sobre a conectividade de espaços de curvatura positiva  ” , Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series) , vol.  7,1936, p.  316-320.
• Alexandre Preissmann, Algumas propriedades globais dos espaços de Riemann , tese, 1942.

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