Teorema do ponto fixo de Schauder
O teorema de ponto fixo de Schauder é uma generalização do teorema de ponto fixo de Brouwer para espaços vetoriais topológicos de dimensão infinita. Foi demonstrado pela primeira vez no caso de espaços de Banach por Juliusz Schauder . Intervém na demonstração da existência de soluções de equações diferenciais .
Estados
Seja E a ℝ- espaço vetorial topológico separado e C um E convexo fechado não vazio .
Teorema - Se T é um mapa contínuo de C a C tal que T ( C ) é relativamente compacto , então T tem um ponto fixo .
Provar se
E é
localmente convexo
O envelope fechado convexo de T ( C ) está incluído em C e pré - compactado . Substituindo C por esta parte, podemos assumir que o C convexo é compacto .
- Para tal C , vamos mostrar que para qualquer V aberto convexo contendo 0, existe um subespaço vetorial de dimensão finita G V e um mapa contínuo tal que: euV:VS→VS∩GV{\ displaystyle I_ {V}: C \ para C \ cap G_ {V}}
∀x∈VS,euV(x)∈x+V.{\ displaystyle \ forall x \ in C, I_ {V} (x) \ in x + V.}
Por compactação, existe uma parte finita F V de C tal que VS⊂⋃f∈FV(f-V){\ displaystyle C \ subset \ bigcup _ {f \ in F_ {V}} (fV)}
e uma partição de unidade ( ϕ f ) f ∈ F V subordinada a esta cobertura finita. Observando G V o subespaço vetorial gerado por F V , definimos a aplicação desejada I V por:∀x∈VSeuV(x)=∑f∈FVϕf(x)f.{\ displaystyle \ forall x \ in C \ quad I_ {V} (x) = \ sum _ {f \ in F_ {V}} \ phi _ {f} (x) f.}
- Uma vez que a dimensão de G V é finita e que é um compacto convexo não vazio estável por , o teorema do ponto fixo de Brouwer garante que ele contém um vetor v V tal queVS∩GV{\ displaystyle C \ cap G_ {V}}
euV∘T{\ displaystyle I_ {V} \ circ T}
euV(T(vV))=vV,{\ displaystyle I_ {V} (T (v_ {V})) = v_ {V},}
tão tal quevV∈T(vV)+V.{\ displaystyle v_ {V} \ in T (v_ {V}) + V.}
-
Como C é compacto , o resultado geral ( v V ) tem um valor de aderência , que é então um ponto C fixo T .
História
Este teorema foi demonstrado pela primeira vez em 1930 por Schauder em casos especiais, como o de espaços vetoriais topológicos metrizáveis completos . Ele conjeturou o caso geral do Livro Escocês . Em 1934, Tychonoff provou o teorema no caso em que C é compacto e E localmente convexo. Esta versão é conhecida como teorema do ponto fixo de Tychonoff . BV Singbal generalizou este resultado para o caso em que C não é compacto. O caso geral (sem a hipótese de convexidade local) foi finalmente demonstrado por Robert Cauty em 2001.
Em 1951, James Dugundji notou, como corolário de seu teorema de extensão , que a generalização "ingênua" em dimensão infinita do teorema de ponto fixo de Brouwer é falsa: em qualquer espaço vetorial normatizado de dimensão infinita, existem mapas contínuos sem um ponto. da esfera da unidade fechada ( não compacta ) em si.
Teorema do ponto fixo de Schaefer
Uma consequência, chamada teorema do ponto fixo de Schaefer , é particularmente útil para provar a existência de soluções de equações diferenciais parciais não lineares . Este teorema de Schaefer é na verdade um caso especial de um teorema maior previamente descoberto por Schauder e Leray . É o seguinte:
Teorema
- Seja
T um mapa contínuo e compacto de um
espaço separado
localmente convexo E em si mesmo, de modo que o conjunto
{x∈E∣∃λ∈]0,1[, x=λT(x)}{\ displaystyle \ {x \ in E \ mid \ exists \ lambda \ in \ left] 0,1 \ right [, ~ x = \ lambda T (x) \}}![{\ displaystyle \ {x \ in E \ mid \ exists \ lambda \ in \ left] 0,1 \ right [, ~ x = \ lambda T (x) \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081a86a5bb3ad9d247aa106445af1e8c8819d7db)
é
limitado . Então, para tudo , existe isso .
λ∈[0,1]{\ displaystyle \ lambda \ in \ left [0,1 \ right]}
x∈E{\ displaystyle x \ in E}
x=λT(x){\ displaystyle x = \ lambda T (x)}
Notas e referências
(pt) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em
inglês intitulado
" Teorema do ponto fixo de Schauder " ( veja a lista de autores ) .
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(de) J. Schauder, “ Der Fixpunktsatz em Funktionalräumen ” , Studia Math. , vol. 2,1930, p. 171-180 ( leia online ).
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Para uma variante no caso particular em que E é de Banach e C é limitado e simétrico, cf. Escolas superiores normais , disciplina comum Paris-Lyon , 1998, declaração e uma solução, de M. Tibouchi .
-
(de) A. Tychonoff, “ Ein Fixpunktsatz ” , Math. Ann. , vol. 111,1935, p. 767-776 ( leia online ).
-
(in) FF Bonsall, Lectures Some Fixed Point Theorems of Functional Analysis , Mumbai,1962, Apêndice.
-
Robert Cauty, “ Solution of the Schauder Fixed Point Problem ,” Fund. Matemática. , vol. 170,2001, p. 231-246.
-
(em) J. Dugundji, " Uma extensão do teorema de Tietze " , Pacific J. Math. , vol. 1,1951, p. 353-367 ( ler online ), Teorema 6.3.
-
(in) Jane Cronin , Pontos Fixos e Grau Topológico em Análise Não Linear , AMS ,1964, 198 p. ( ISBN 978-0-8218-1511-3 , leitura online ) , p. 133.
-
Um aplicativo é considerado compacto se a imagem de qualquer parte limitada for relativamente compacta.
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