Teoria analítica dos números

Em matemática , a teoria analítica dos números é um ramo da teoria dos números que usa métodos de análise matemática para resolver problemas envolvendo números inteiros . É frequentemente considerado que começou em 1837, com a introdução por Peter Gustav Lejeune Dirichlet de suas funções L para dar a primeira prova de seu teorema da progressão aritmética . Ela é conhecida por seus resultados em números primos (envolvendo o teorema dos números primos e a função zeta de Riemann ) e teoria dos números aditivos (como a conjectura de Goldbach e o problema de Waring ).

Ramos da teoria analítica dos números

A teoria analítica dos números pode ser dividida em dois ramos principais, mais pelo tipo de problemas que tentam resolver do que pelas diferenças fundamentais em suas técnicas.

História

Precursores

Muito da teoria analítica dos números foi inspirada pelo teorema dos números primos . Seja π ( x ) a função de contagem de números primos que fornece o número de números primos menor ou igual a x , para qualquer número real x . Por exemplo, π (10) = 4 porque há quatro números primos (2, 3, 5 e 7) menores ou iguais a 10. O teorema dos números primos indica que x / ln ( x ) é uma boa aproximação de π ( x ) , no sentido de que o limite do quociente das duas funções π ( x ) e x / ln ( x ) conforme x se aproxima do infinito é 1:

Adrien-Marie Legendre conjecturou em 1797 que π ( a ) é aproximado pela função a / (A ln ( a ) + B ) , onde A e B são constantes não especificadas. Na segunda edição de seu livro sobre a teoria dos números (1808), ele fez uma conjectura mais precisa , com A = 1 e B = -1,08366. Carl Friedrich Gauss já havia considerado esta questão: em 1792 ou 1793, segundo suas próprias lembranças quase sessenta anos depois em uma carta a Encke (1849), ele escreveu em sua tabela de logaritmo (ele tinha então 15 ou 16 anos) o curto observe "  Primzahlen unter  ". Mas Gauss nunca publicou essa conjectura. Em 1838, Peter Gustav Lejeune Dirichlet propôs sua própria função de aproximação, o logaritmo integral li ( x ) . Ambos Legendre e fórmulas de Dirichlet envolvem o mesmo equivalência assintótica conjeturada de π ( x ) e x / ln ( x ) acima mencionado, embora aproximação de Dirichlet é consideravelmente melhor quando se considera as diferenças, em vez dos quocientes.

Dirichlet

É geralmente a Dirichlet que se credita a criação da teoria analítica dos números, uma área na qual ele demonstrou vários resultados profundos e introduziu ferramentas fundamentais, muitas das quais foram posteriormente nomeadas em sua homenagem. Em 1837, ele publicou o Teorema da Progressão Aritmética , usando conceitos de análise matemática para abordar um problema de álgebra e, assim, criar o ramo da teoria analítica dos números. Por provar este teorema, ele apresenta seus personagens e funções L . Em 1841, generaliza o teorema das progressões aritméticas para o anel dos inteiros gaussianos .

Chebyshev

Em dois artigos de 1848 e 1850, o matemático russo Pafnouti Chebyshev tentou provar o teorema dos números primos. Seu trabalho é notável pelo uso da função zeta ζ ( s ) (para s reais, como o trabalho de Leonhard Euler , em 1737) precedendo o famoso livro de memórias de Riemann de 1859, e ele consegue provar uma forma ligeiramente mais fraca do teorema, a saber, que se o limite de π ( x ) / ( x / ln ( x )) como x tende ao infinito existe, então ele é necessariamente igual a 1 e dando, além disso, um enquadramento assintótico deste quociente entre duas constantes muito próximas de 1 . Embora o artigo de Chebyshev não prove o teorema dos números primos, suas estimativas de π ( x ) foram fortes o suficiente para provar o postulado de Bertrand , de que existe um número primo entre n e 2 n para qualquer inteiro n ≥ 2 .

Riemann

“  … Es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre Allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.  "

“… É muito provável que todas as raízes sejam reais. Sem dúvida, seria desejável que tivéssemos uma demonstração rigorosa dessa proposição; no entanto, deixei essa pesquisa de lado por um momento, após algumas tentativas rápidas e malsucedidas, porque parece supérflua para o propósito imediato de meu estudo. "

Bernhard Riemann fez contribuições famosas para a teoria analítica dos números. No único artigo que publicou sobre o assunto da teoria dos números, Sobre o número de números primos menores que um determinado tamanho , ele estuda a função zeta de Riemann e estabelece sua importância para a compreensão da distribuição dos números primos. Ele fez uma série de conjecturas sobre as propriedades da função zeta, uma das quais é a hipótese de Riemann .

Hadamard e o Vallée-Poussin

Ao estender as idéias de Riemann, duas provas do teorema dos números primos foram obtidas independentemente por Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée-Poussin e apareceram no mesmo ano (1896). Ambas as provas usaram métodos de análise complexos , estabelecendo como lema principal que a função zeta de Riemann ζ ( s ) é diferente de zero para todos os valores complexos da parte real 1 e da parte imaginária estritamente positiva.

Desenvolvimentos recentes

O desenvolvimento técnico mais importante após 1950 foi o desenvolvimento da teoria da peneira , especialmente em problemas multiplicativos. Estes são de natureza combinatória e bastante variados. O ramo da teoria combinatória foi fortemente influenciado pela teoria analítica dos números nos limites superior e inferior. Outro desenvolvimento recente é a teoria probabilística dos números , que usa métodos da teoria da probabilidade para estimar a distribuição das funções teóricas dos números, como o número de divisores de um número.

Os desenvolvimentos na teoria analítica dos números costumam ser refinamentos de técnicas anteriores, que reduzem os termos de erro e ampliam seu campo de aplicabilidade. Por exemplo, o método do círculo de Hardy e Littlewood foi projetado para ser aplicado a séries de potências próximas ao círculo unitário no plano complexo  ; agora é pensado em termos de somas exponenciais finitas. Os campos da aproximação diofantina e da teoria do corpo cresceram a tal ponto que suas técnicas são aplicáveis ​​à conjectura de Mordell .

Problemas e resultados

Teoremas e resultados da teoria analítica dos números tendem a não ser resultados estruturais exatos em números inteiros. Em vez disso, eles fornecem limites e estimativas para várias funções, como ilustram os exemplos a seguir.

Teoria dos Números Multiplicativos

Euclides mostrou que existe uma infinidade de números primos. Uma questão importante é determinar a distribuição deles; ou seja, uma descrição aproximada do número de números primos menores que um determinado número. Gauss , entre outros, após calcular uma grande lista de primos, conjecturou que o número de primos menor ou igual a um grande número N estava próximo do valor da integral

.

Em 1859, Bernhard Riemann usou a análise complexa e uma função conhecida como função zeta de Riemann para derivar uma expressão analítica para o número de primos menor ou igual a um número real x . O termo principal na fórmula de Riemann era exatamente o integral acima, dando peso à conjectura de Gauss. Riemann descobriu que os termos de erro nesta expressão e, portanto, a maneira como os números primos são distribuídos, estão intimamente relacionados aos zeros complexos da função zeta. Usando as idéias de Riemann, Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée-Poussin demonstraram a conjectura de Gauss. Em particular, eles provaram o teorema dos números primos . Este é um resultado central na teoria analítica dos números. Em outras palavras, levando em consideração um grande número N , o número de números primos menor ou igual a N é aproximadamente N / ln ( N ) . De maneira mais geral, a mesma pergunta pode ser feita sobre o número de números primos em qualquer seqüência aritmética an + b para qualquer inteiro n . Em uma das primeiras aplicações das técnicas de teoria número analítica, Dirichlet provou que qualquer sequência aritmética com um e b privilegiada entre elas contém uma infinidade de números primos. O teorema dos números primos pode ser generalizado para esse problema;

é

,

então, se a e b são coprime,

onde denota a indicatriz de Euler .

Existem também muitas conjecturas na teoria dos números cujas provas parecem muito difíceis para as técnicas atuais, como a conjectura do número primo gêmeo que conjectura uma infinidade de primos p tal que p + 2 também é primo. Supondo que a conjectura de Elliott-Halberstam seja verdadeira, foi recentemente mostrado que há uma infinidade de números primos p tal que p + k é primo para pelo menos um k ≤ 12.

Teoria dos números aditivos

Um dos problemas mais importantes da teoria dos números aditivos é o problema de Waring , que consiste em determinar se é possível, para qualquer k ≥ 2, escrever qualquer número inteiro positivo como a soma de d 'um número limitado de potências k ,

.

O caso dos quadrados ( k = 2) foi tratado por Lagrange em 1770, que provou que qualquer número inteiro positivo é a soma de no máximo quatro quadrados. O caso geral foi provado por Hilbert em 1909. Um grande avanço foi a aplicação de ferramentas analíticas ao problema por Hardy e Littlewood . Essas técnicas são conhecidas como o método do círculo e fornecem aumentos explícitos na função G ( k ) , o menor número de potências k necessárias, como

.

Problemas diofantinos

As equações diofantinas dizem respeito ao conjunto das soluções de equações polinomiais: podemos estudar a distribuição das soluções, ou seja, contar as soluções de acordo com alguma medida de "tamanho".

Um exemplo importante é o problema do círculo gaussiano, que pede pontos de coordenadas inteiros ( x , y ) que satisfaçam

.

Em termos geométricos, dado um disco de raio r centrado na origem no plano, o problema é quantos pontos existem no disco ou em sua borda. Não é difícil provar que a resposta é π r 2 + E ( r ) , para alguma função E tal que . Mais uma vez, a dificuldade do problema está em obter limites mais precisos para o erro E ( r ) .

Gauss mostrou que E ( r ) = O ( r ) . Sierpiński mostra, em 1906, que E ( r ) = O ( r 2/3 ) . Em 1915, Hardy e Landau mostraram, cada um, que não temos E ( r ) = O ( r 1/2 ) . Em 2000, Martin Huxley  (en) mostrou que E ( r ) = O ( r 131/208 ) , que é o melhor resultado publicado hoje.

Métodos de teoria analítica dos números

Série Dirichlet

Uma das ferramentas mais úteis na teoria dos números multiplicativos são as séries de Dirichlet , que são funções variáveis ​​complexas definidas por uma série da forma

.

Dependendo da escolha dos coeficientes , esta série pode convergir para qualquer lugar, em lugar nenhum ou em um meio plano. Em muitos casos, mesmo quando a série não converge para todos os lugares, a função holomórfica que ela define pode ser estendida analiticamente em uma função meromórfica sobre todo o plano complexo. A utilidade de tais funções em problemas multiplicativos pode ser vista na identidade formal

 ;

os coeficientes do produto de duas séries de Dirichlet são, portanto, as convoluções dos coeficientes originais. Além disso, técnicas como soma de partes e teoremas de Tauber podem ser usadas para obter informações sobre os coeficientes a partir de informações analíticas sobre a série de Dirichlet. Assim, um método comum de estimar uma função multiplicativa é expressá-la como uma série de Dirichlet (ou um produto de uma série de Dirichlet mais simples usando identidades convolucionais) e examinar essa série como uma função complexa.

Função zeta de Riemann

Euler mostrou que o teorema fundamental da aritmética envolve o produto Euleriano

.

A prova de Euler da infinidade dos números primos usa a divergência do termo à esquerda para s = 1 (a série harmônica ), um resultado puramente analítico. Euler também foi o primeiro a usar argumentos analíticos para estudar as propriedades dos inteiros, em particular através da construção de séries geradoras . Este foi o início da teoria analítica dos números. Posteriormente, Riemann considerou essa função para valores complexos de s e mostrou que essa função pode ser estendida por todo o plano complexo com um pólo em s = 1. Essa função é agora conhecida como função zeta de Riemann ζ ( s ). Em seu artigo de 1859, Riemann conjeturou que todos os zeros "não triviais" em ζ estavam na linha, mas nunca forneceu prova para essa afirmação. Essa conjectura, chamada de hipótese de Riemann , tem muitas implicações profundas na teoria dos números; muitos teoremas importantes foram provados assumindo que são verdadeiros. Por exemplo, sob a hipótese de Riemann, o termo de erro no teorema dos números primos é .

No início do XX °  século, GH Hardy e Littlewood mostrou muitos resultados sobre a função zeta, a fim de provar a hipótese de Riemann. Em 1914, Hardy provou que existe um número infinito de zeros da função zeta na banda crítica . Isso levou a vários teoremas que descrevem a densidade de zeros na banda crítica.

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado Teoria analítica dos números  " ( ver a lista de autores ) .
  1. (en) Tom M. Apostol , Introdução à Teoria Analítica dos Números , Springer ,1976( leia online ) , p.  7.
  2. Harold Davenport , Teoria dos Números Multiplicativos , Springer, col.  "  GTM  " ( n o  74)2000, 3 e  ed. , p.  1.
  3. (in) Timothy Gowers , June Barrow-Green e Imre Leader , The Princeton Companion to Mathematics , Princeton, Princeton University Press ,2008, 1034  p. ( ISBN  978-0-691-11880-2 , leitura online ) , p.  764-765.
  4. Shigeru Kanemitsu e Chaohua Jia, Number Theoretic Methods: Future Trends , Springer,2002, 439  p. ( ISBN  978-1-4020-1080-4 ) , p.  271-274.
  5. (em) Jürgen Elstrodt , "A Vida e Obra de Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)" , em Teoria Analítica dos Números: Um Tributo a Gauss e Dirichlet , al.  "Argila Matemática Proceedings" ( n o  7),2007( leia online ).
  6. (em) N. Costa Pereira, "  Uma curta prova do teorema de Chebyshev  " , Amer. Matemática. Mês. , vol.  92, n o  7,1985, p.  494-495 ( JSTOR  2322510 ).
  7. (in) Nair, "  Inequalities We Chebyshev-Type for Premiums  " , Amer. Matemática. Mês. , vol.  89, n o  21982, p.  126-129 ( DOI  10.2307 / 2320934 , JSTOR  2320934 ).
  8. (em) AE Ingham , The Distribution of Prime Numbers , Cambridge, Cambridge University Press ,1990, 114  p. ( ISBN  0-521-39789-8 ) , p.  2-5.
  9. (in) Gérald Tenenbaum , Introdução à Teoria Analítica e Probabilística dos Números , Cambridge University Press , col.  "Studies in Advanced Matemática" ( N O  46),1995( ISBN  0-521-41261-7 ) , p.  56.
  10. Tenenbaum 1995 , p.  267.
  11. (in) MN Huxley, "Integer aponta somas exponenciais e a função zeta de Riemann", Teoria dos Números para o Milênio , Vol. II, Urbana, IL, 2000, p.  275-290 , AK Peters, Natick, MA, 2002, link  Math Reviews .
  12. (en) Henryk Iwaniec e Emmanuel Kowalski, Teoria Analítica dos Números , col. “AMS Colloquium Pub. »(Vol. 53), 2004.

Artigo relacionado

Lista de assuntos de teoria dos números

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">