Transformação de Mellin

Em matemática , a transformada de Mellin é uma transformada integral que pode ser considerada a versão multiplicativa  (en) da transformada de Laplace bilateral . Essa transformação integral está fortemente relacionada à teoria das séries de Dirichlet e é freqüentemente usada na teoria dos números e na teoria da expansão assintótica  ; também está fortemente relacionado com a transformação de Laplace , com a transformação de Fourier , com a teoria da função gama e com funções especiais .

A transformação de Mellin foi nomeada em homenagem ao matemático finlandês Hjalmar Mellin .

Definição

A transformada de Mellin de uma função f definida e contínua por partes é a função denotada ou e definida pela integral generalizada  :

.

Uma condição suficiente para a existência da transformação é dada pelo seguinte resultado:

Teorema  -  assumimos que:

Então a integral generalizada converge absolutamente para Re ( s )> α e define uma função holomórfica no semiplano Re ( s )> α .

Mais geralmente, se

então a integral generalizada converge absolutamente para α <Re ( s ) <β e define uma função holomórfica na banda α <Re ( s ) <β .

Exemplos

Transformação inversa de Mellin

A transformação reversa é

.

A notação supõe que seja uma integral curvilínea aplicada em uma linha vertical no plano complexo.

Teorema  -  assumimos que:

Temos a fórmula de inversão de Mellin válida para todos e todos x > 0  :

.

Relações com outras transformações

Com a transformação bilateral de Laplace

A transformada de Laplace bilateral ( ) pode ser definida em termos da transformada de Mellin por

.

Por outro lado, podemos obter a transformação de Mellin a partir da transformação de Laplace bilateral por

.

A transformação de Mellin pode ser vista como uma integração usando um kernel x s que respeita a medida multiplicativa de Haar ,, que é invariante sob dilatação , ie .

A transformada de Laplace bilateral se integra respeitando a medida aditiva de Haar , que é invariante à translação, ou seja .

Com a transformação de Fourier

Também podemos definir a transformada de Fourier em termos da transformada de Mellin e vice-versa; se definirmos a transformada de Fourier como acima, então

.

Também podemos reverter o processo e obter

.

A transformação de Mellin também está relacionada às séries de Newton ou às transformações binomiais com a função geradora da lei de Poisson , por meio do ciclo de Poisson-Mellin-Newton .

Cahen-Mellin completo

Para , e no ramo principal , temos

.

Essa integral é conhecida como integral Cahen- Melin.

Formulários

Notas e referências

(pt) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado Transformação de Mellin  " ( consulte a lista de autores ) .
  1. (en) Henri Cohen , Teoria dos Números , vol.  II: Ferramentas Analíticas e Modernas , Springer, col.  "  GTM  " ( N O  240)2007( leia online ) , p.  107.
  2. Cohen 2007 , p.  150
  3. Cohen 2007 , p.  145
  4. (em) GH Hardy e JE Littlewood , "  Contribuições para a Teoria da Função Zeta de Riemann e a Teoria da distribuição de bônus  " , Acta , vol. 41, 1916, pág. 119-196 (ver notas neste artigo para mais referências ao trabalho de Cahen e Mellin, incluindo a tese de Cahen).
  5. (em) ML Glasser, "  The assessment of rettice soms. I. Procedimentos analíticos  ” , J. Math. Phys. , vol.  14, n o  3,1973, p.  409-413.

Veja também

Artigos relacionados

Bibliografia

links externos

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