A trissecção do ângulo é um problema clássico da matemática . É um problema geométrico , um dos três grandes problemas da Antiguidade , com a quadratura do círculo e a duplicação do cubo . Este problema consiste em dividir um ângulo em três partes iguais, usando uma régua e um compasso . Desta forma, o problema (como os outros dois) não tem solução, o que foi demonstrado por Pierre-Laurent Wantzel em 1837.
Se é fácil dividir um ângulo em dois construindo sua bissetriz , se é fácil dividir o ângulo reto em três usando triângulos equiláteros, muitos matemáticos há muito procuram, em vão, um método geométrico para realizar a trissecção de qualquer ângulo com a régua e a bússola . Desde o III ª século aC. AD , Arquimedes propôs um método por ajuste (ou neusis ), usando um compasso e uma régua com duas graduações. No II ª século aC. AC , Nicomedes usou uma curva auxiliar, a concoide direita, para determinar a solução.
Mas em 1837, Pierre-Laurent Wantzel demonstrou o teorema que leva seu nome , tornando possível exibir uma grande família de equações de problemas impossíveis de resolver com uma régua e um compasso. Sendo a equação da trissecção do ângulo desta forma, a construção geral é portanto impossível de realizar de acordo com estas regras. Por outro lado, a trissecção do ângulo pode ser conseguida por meio do compasso e da régua graduada, ou por meio das chamadas curvas de trissecção auxiliares, ou por meio da dobragem de uma folha de papel.
Arquimedes dá a seguinte construção por neusis (por ajuste), usando um compasso e uma régua com duas graduações.
Seja a o ângulo a ser trissecionado, com o vértice B. Desenhamos um círculo com centro B e raio igual à distância que separa as duas graduações da regra (ou seja, r). O círculo intercepta um dos lados do ângulo em A (então AB = r). Organizamos a régua de modo que passe por A, que uma das graduações C da régua seja colocada no círculo, e que a outra graduação D fique na extensão (BD) do outro lado do ângulo '(portanto, CD = r). O ângulo do vértice b D é então um terço do ângulo a .
De fato, o triângulo BCD é isósceles em C, portanto o ângulo CBD é igual a b . Mas no círculo com o centro C passando por B e D, o ângulo no centro ACB (= c ) é duas vezes o ângulo inscrito CDB (= b ), ou c = 2b . Mas BAC também é um triângulo isósceles em B, então o ângulo BAC é igual a c . O ângulo ABC é, portanto, π - 2 c = π - 4 b . O ângulo ABD é então π - 3 b , de modo que o ângulo a é de fato 3 b .
De acordo com Proclus, Hípias teria imaginado a quadratriz como um meio de dividir graficamente um ângulo.
Por construção, o ângulo no centro de um ponto da quadratriz é proporcional à sua ordenada (contada de D); portanto, se pudermos cortar um segmento em partes iguais, dividiremos, assim, um ângulo em três ângulos iguais. No entanto, a divisão de um segmento em 3 segmentos iguais pode ser construída com uma régua e um compasso .
É a curva da equação polar , onde a é a distância do pólo à diretriz ( a = OH ).
Para usá-lo como um trissetor, construímos um triângulo OHI em ângulo reto em H, de modo que o ângulo φ a ser trissetor seja , e o conóide da reta (IH) do pólo O e módulo OI (veja a figura ao lado).
Temos: a = OH e ; o concoide tem por equação , com .
A intersecção da curva com o círculo do centro I passando por O permite determinar dois pontos M e N , e é mostrado que o ângulo trissecta o ângulo .
Aqui está uma construção de origami por Hisashi Abe (1980), ilustrada na figura ao lado:
A prova é simples: por simetria em relação à reta p, o ponto médio P de AB dá o ponto médio P 'de A'B' e, assim como A'P é perpendicular a AB, temos AP 'que é perpendicular a A 'B'. Os dois triângulos retângulos P'A'A e P'B'A são, portanto, isométricos .
Por outro lado, seja H a projeção ortogonal de A 'em h 0 . Uma vez que os triângulos HAA 'e PA'A são isométricos como metades do mesmo retângulo, e uma vez que os triângulos PA'A e P'AA' também são isométricos por simetria em relação ap, segue-se que os triângulos HAA 'e P' AA 'são isométricos.
A isometria dos três triângulos HAA ', P'AA' e P'AB 'mostra que as retas AP' e AA 'realmente compartilham o ângulo dA h 0 em três ângulos da mesma medida.
Vários mecanismos foram concebidos, tornando possível a trissecção de um ângulo, por exemplo, o trissetor Laisant .
Artigo Trissecção do ângulo com a régua e o compasso, de Jean Jacquelin