Reunião desarticulada

Em matemática , a reunião disjunta é uma operação de conjunto . Ao contrário da união usual , o cardeal de uma união disjunta de conjuntos é sempre igual à soma de seus cardeais . A união disjunta de uma família de conjuntos corresponde à sua soma na teoria das categorias , razão pela qual também é chamada de soma disjunta . É uma operação frequente em topologia e ciência da computação teórica .

União disjunta de dois conjuntos

Em uma união A ∪ B de dois conjuntos, a origem dos elementos nele é perdida e os elementos da interseção são contados apenas uma vez. Em algumas situações, queremos manter essas informações e levar em consideração os elementos de interseção duas vezes. Para isso, reúne-se não diretamente A e B , mas dois conjuntos disjuntos , cópias de A e B da forma {α} × A e {β} × B , onde α e β são quaisquer dois símbolos distintos usados para identificar o conjuntos A e B (por exemplo 0 e 1) e × denota o produto cartesiano .

A união disjunta, também chamada de “soma disjunta” ou “soma cartesiana”, de dois conjuntos A e B é assim definida por:

{\ displaystyle A \ sqcup B = A + B = A {\ dot {\ cup}} B = (\ {0 \} \ times A) \ cup (\ {1 \} \ times B).}

Exemplos

Seja A o par {1, 2} e B o conjunto de três elementos {2, 3, 4}. Sua reunião (comum) tem apenas quatro elementos porque esses dois conjuntos não são separados. Para construir a sua união disjunta, começamos com o "número" dois "pistas" arbitrária distinta a e b : montamos I = { a , b }, E é = A e E b = B . Em seguida, tomamos o encontro de duas "cópias" de A e B que se são disjuntos: { um } × A e { b } × B . A união disjunta de ( E i ) i ∈ I é a parte ${\ displaystyle (\ {a \} \ times \ {1,2 \}) \ cup (\ {b \} \ times \ {2,3,4 \}) = \ {(a, 1), (a , 2), (b, 2), (b, 3), (b, 4) \}}$ de { a , b } × {1, 2, 3, 4}. Possui 2 + 3 = 5 elementos.
Da mesma forma, a união disjunta do par {1, 2} consigo mesmo é (escolhendo arbitrariamente dois índices distintos, por exemplo, desta vez: 0 e 1): ${\ displaystyle \ {1,2 \} \ sqcup \ {1,2 \} = \ {(0,1), (0,2), (1,1), (1,2) \}.}$

União disjunta de uma família de conjuntos finitos ou contáveis

A soma disjunta pode ser generalizada para mais de dois conjuntos. Por exemplo, para quaisquer três conjuntos A , B e C :

{\ displaystyle A \ sqcup B \ sqcup C = (\ {0 \} \ times A) \ cup (\ {1 \} \ times B) \ cup (\ {2 \} \ times C).}

Podemos definir de forma mais geral a soma disjunta de quaisquer n conjuntos arbitrários: ${\ displaystyle E_ {0}, E_ {1}, \ cdots E_ {n-1}}$

{\ displaystyle E_ {0} \ sqcup E_ {1} \ sqcup \ cdots \ sqcup E_ {n-1} = \ bigcup _ {i = 0} ^ {n-1} (\ {i \} \ times E_ { eu}).}

Também podemos generalizar essa noção para quaisquer conjuntos (não necessariamente finitos) de índices e formar, por exemplo, uniões disjuntas contáveis .

Exemplo

{\ displaystyle \ bigsqcup _ {n \ in \ mathbb {N}} \ left [n, + \ infty \ right [= \ {(n, x) \ in \ mathbb {N} \ times \ mathbb {R} \ mid x \ geq n \}.}

União disjunta de qualquer família de conjuntos

Para qualquer família ( E i ) i ∈ I de conjuntos , os conjuntos produzidos { i } × E i ( i cobrindo o conjunto I de índices da família) são disjuntos dois a dois. A união disjunta ∐ i ∈ I E i de E i é, por definição, a união (ordinária) desses conjuntos disjuntos. Formalmente:

\ bigsqcup _ {{i \ in I}} E_ {i} = \ {(i, x) \ mid i \ in I, \ x \ in E_ {i} \}.

Na verdade, é um conjunto porque, dada sua definição, ∐ i ∈ I E i pode ser descrito na compreensão como uma parte de I × E , o produto cartesiano de I pela união (ordinária) E de E i .

A definição da soma disjunta sofre de uma arbitrariedade não essencial. Podemos definir a soma disjunta como sendo a união ou então . Estas duas possibilidades correspondem respectivamente a uma marcação “direita” ou “esquerda” dos elementos do conjunto ordinário E , dependendo do índice associado ao conjunto de onde provêm. Em ambos os casos, existe uma sobreposição da soma disjunta na união, que é uma bijeção se os conjuntos da família ( E i ) i ∈ I são disjuntos dois a dois. ${\ displaystyle \ bigcup _ {i \ in I} (E_ {i} \ times \ {i \})}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {i \ in I} (\ {i \} \ times E_ {i})}$

Podemos notar que a soma disjunta de dois conjuntos satisfaz a propriedade fundamental dos casais . Além disso, ao contrário dos pares de Kuratowski, essa noção, que usa apenas operações de conjunto elementares, pode ser aplicada às classes adequadas . É por isso que somas disjuntas às vezes são chamadas de pares generalizados e, portanto, usadas na teoria de classes .

Na definição acima, se cada E i é um espaço topológico , temos uma topologia natural em ∐ i ∈ I E i , cujas aberturas são as reuniões disjuntas ∐ i ∈ I U i onde cada U i é uma abertura de E i .

Essa construção, denominada soma topológica (en) , desempenha o papel de soma na categoria dos espaços topológicos . Aliado ao espaço quociente , permite a construção de muitos espaços, em particular variedades topológicas e complexos celulares ou simpliciais .

Notas e referências

Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo intitulado " Produto cartesiano " (ver lista de autores ) .

N. Bourbaki, Teoria dos jogos , 1970, p. II.30, dá a primeira dessas duas definições, mas ele usa a segunda em Álgebra, capítulos 1 a 3 , 1970, p. I.80.

Veja também

Multiset : generalização da noção de conjunto, onde várias ocorrências (indistinguíveis) do mesmo elemento são permitidas; a união de dois multiconjuntos com elementos comuns não leva a separá-los como acima, mas à acumulação do número de ocorrências de cada elemento.