Variedade Kähler
Em matemática, uma variedade Kähler ou variedade Kähler é uma variedade diferencial equipada com uma unidade de estrutura que satisfaz uma condição de integrabilidade. É em particular uma variedade Riemanniana , uma variedade simplética e uma variedade complexa , sendo essas três estruturas mutuamente compatíveis. As variedades Kähler são um objeto natural de estudo em geometria diferencial complexa .
Eles devem seu nome ao matemático Erich Kähler .
Definição
Existem várias definições equivalentes. Isso se deve às relações entre estruturas complexas, simpléticas e Riemannianas. Uma maneira de entender isso é observar que o grupo unitáriovocê(não){\ displaystyle U (n)}
(que atua como o grupo estrutural de uma variedade de Kähler) é a interseção de qualquer par dos três grupos , e .
Geunão(VS){\ displaystyle GL_ {n} (\ mathbb {C})}Sp(não){\ displaystyle Sp (n)}
O(2não){\ displaystyle O (2n)}![O (2n)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6604bd5e082eb3be4451166b01c2f82dd2c933c6)
Vamos dar duas definições equivalentes.
- Uma variedade Kähler é uma variedade Hermitiana (isto é, uma variedade complexa com uma métrica Hermitiana ) tal que a forma -é fechada.M{\ displaystyle M}
h{\ displaystyle h}
2{\ displaystyle 2}
ω=-eumh{\ displaystyle \ omega = - \ mathrm {Im} h}![\ omega = - {\ mathrm {Im}} h](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1395d686432fa7a6033bc6173d799e9161c453f4)
- Uma variedade Kähler é uma variedade Riemanniana com uma estrutura ortogonal quase complexa (para g ) e constante covariante (para a conexão de Levi-Civita ).(M,g){\ displaystyle (M, g)}
eu{\ displaystyle I}![eu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f)
A condição de integrabilidade é escrita no primeiro caso , no segundo caso . Ele expressa geometricamente o fato de que o transporte paralelo é linear complexo. Dizemos neste caso que (ou às vezes ) é uma métrica Kähler ativada . Verificamos que é identificado até um fator constante com a forma volumétrica de g , o que mostra que é uma forma simplética. É chamada de forma Kähler da variedade Kähler .
dω=0{\ displaystyle d \ omega = 0}
∇eu=0{\ displaystyle \ nabla I = 0}
g{\ displaystyle g}
h{\ displaystyle h}
M{\ displaystyle M}
ωnão{\ displaystyle \ omega ^ {n}}
ω{\ displaystyle \ omega}
M{\ displaystyle M}![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
A conexão entre as estruturas Hermitiana , Riemanniana e simplética é aparente através da relação .
h{\ displaystyle h}
g{\ displaystyle g}
ω{\ displaystyle \ omega}
h=g-euω{\ displaystyle h = gi \ omega}![h = gi \ omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb72285e7828b6234d42c6f76e5487b0dcdbfa7e)
Propriedades
Variedades Kähler são objetos ricos em geometria diferencial. Existem também obstruções topológicas para a existência de uma métrica Kähler em uma variedade complexa (ao contrário de uma métrica Hermitiana, por exemplo). Por exemplo, é fácil ver que a classe de cohomologia de uma forma Kähler em uma variedade compacta não pode ser zero.
Entre outras coisas, as variedades de Kähler são a estrutura natural para o desenvolvimento de uma teoria de Hodge complexa semelhante à do caso real.
Exemplos
- O complexo espaço euclidiano dotado da métrica hermitiana padrão (plana) é uma variedade de Kähler.VSnão{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}
![{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53b4e76242764d1bca004168353c380fef25258)
- Um toro complexo compacto (onde está uma rede ) herda uma métrica de Kähler plana passando para o quociente.VSnão/Λ{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} / \ Lambda}
Λ{\ displaystyle \ Lambda}![\ Lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733)
- Qualquer métrica Hermitiana em uma superfície é Kähler (a condição de integrabilidade é trivial).
- O complexo espaço projetivoVSPnão{\ displaystyle \ mathbb {C} \ mathrm {P} ^ {n}}
é uma variedade Kähler para a métrica Fubini-Study .
- A métrica induzida em uma subvariedade complexa de uma variedade Kähler ainda é uma métrica Kähler. Em particular, qualquer variedade de Stein (imersa em um espaço euclidiano complexo) é kähleriana, assim como qualquer variedade algébrica regular (imersa em um espaço projetivo complexo). Este fato é fundamental para sua teoria analítica.
Artigos relacionados
links externos
Bibliografia
- Claire Voisin, Teoria de Hodge e geometria algébrica complexa , Paris / Marselha, Mathematical Society of France,2002, 595 p. ( ISBN 2-85629-129-5 )
- André Weil, Introdução ao estudo das variedades Kähler , Hermann ,1957
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