Al-Karaji



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Al-Karaji
Imagem na Infobox.
Biografia
Aniversário
Morte
Início do XI th  século
Atividade
matemático e engenheiro

Abu Bakr Muhammad ibn al-Hasan al-Karaji ou Al-Karkhi , nascido no final da X ª  século , morreu no início do XI th  século , é um matemático e engenheiro que viveu e trabalhou em Bagdá .

De origem persa, passou uma parte importante de sua vida científica em Bagdá, onde escreveu obras para matemática , sendo as principais Al-Badi 'fi'l-hisab , Al-Fakhri fi'l-jabr wa' l-muqabala , e Al-Kafi fi'l-hisab .

Al-Karaji também é autor de um tratado sobre hidrologia, Inbat al-Miyah al-khafiya (A Civilização das Águas Ocultas) .

Biografia

Sabemos muito pouco sobre a vida de al-Karaji, começando com seu nome, já que hesitamos entre al-Karaji e al-Kharki. Os sucessores de al-Karaji, em particular al-Samaw'al , chamando-o em sua maior parte de al-Karaji, é este nome que parece designá-lo atualmente. Quanto à data de nascimento e morte, somos reduzidos a conjecturas baseadas nas raras pistas que aparecem em seus escritos. É geralmente aceite que nasce no final da X ª  século e morreu no início do XI th  século e certamente depois de 1015. A mesma dúvida existe sobre seu local de nascimento. Diz-se dele que nasceu em Karkh  (in) , nos subúrbios de Bagdá , mas um estudo recente do pesquisador italiano Giorgio Levi Della Vida o deu à luz em Karaj , no atual Irã . De acordo com Roshdi Rashed, essa hipótese é plausível sem ser certa.

Ele teria deixado sua região montanhosa para viver em Bagdá, onde teria ocupado um cargo oficial e, então, teria embarcado no trabalho matemático atingindo o auge de sua arte por volta de 1012. Se formos acreditar nos poucos elementos biográficos de seu tratado Inbat al -miyah al-khafiya , ele teria ficado impressionado com a curiosidade intelectual das pessoas que conheceu lá. Foi durante sua estada em Bagdá que ele escreveu seus principais tratados matemáticos.

Ele então deixou Bagdá para uma região montanhosa e escreveu seu tratado sobre hidrologia.

Obra de arte

O trabalho científico de al-Karaji é essencialmente matemático com 3 trabalhos conhecidos e estudados no campo da aritmética e álgebra. Existem também outras obras perdidas atribuídas a al-Karaji sobre análise indeterminada , álgebra de al-Khwârizmî , questões de herança, desenvolvimento binomial . Seu domínio neste campo lhe rendeu o apelido de "calculadora" (al-Hasib).

Em hidrologia, sabemos dele seu tratado sobre as águas subterrâneas.

Ele também escreveu sobre contratos de construção.

Matemática

Cálculos em polinômios

Al-Karaji é o mentor de uma corrente que se desenvolve a partir da XI th  século em um "polinômios Aritmetização." Em suas duas obras, Al-Fakhri fi'l-jabr wa'l-muqabala , seguido por Al-Badi 'fi'l-hisab ( Livro Maravilhoso de Cálculo ), ele define as regras de produtos e quocientes em monômios de positivo ou potências inteiras negativas. Ele trabalha em polinômios estendidos a potências negativas, ou seja, em expressões que são escritas em notação moderna na forma desenvolver regras sobre a soma e o produto de tais expressões, bem como sobre a divisão de um polinômio por um monômio. Ele apresenta uma técnica para encontrar os coeficientes de um trinômio de qualquer grau, conhecendo o desenvolvimento de seu quadrado. Os coeficientes são obtidos tanto dos números racionais quanto dos irracionais . Seu trabalho será estendido por al-Samaw'al que, com uma apresentação de polinômios na forma de uma tabela de coeficientes, torna possível tratar a álgebra de polinômios como tratamos os números na escrita decimal.

Sabemos, novamente graças a al-Samaw'al, que ele teria desenvolvido em um trabalho agora perdido, a fórmula do par até o expoente 12, explicando que o mesmo método pode ser continuado além e na apresentação dos vários coeficientes no forma de uma mesa triangular, ancestral do triângulo de Pascal . Ele explica a construção desse triângulo graças à chamada fórmula de Pascal  : cada coeficiente de uma linha é a soma dos dois coeficientes da linha anterior localizada logo acima dela. Este é, de acordo com Roshdi Rached, um dos primeiros exemplos de uma forma arcaica de raciocínio por indução .

Outro exemplo de raciocínio desse tipo, por indução decrescente, é encontrado em Le Fahkri, onde al-Karaji demonstra a fórmula para a soma dos cubos de todos os inteiros de 1 a 10. O raciocínio é duplo, envolvendo geometria el 'álgebra e use as fórmulas 1 + 2 + ... + n = n (n + 1) / 2, bem como a igualdade 2n × n (n-1) / 2 + n 2 = n 3 . Ele, portanto, mostra que (1 + 2 + 3 + ... + 10) 2 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + 10 3 . Ele faz isso primeiro mostrando que (1 + 2 + 3 + ... + 10) 2 = (1 + 2 + 3 + ... + 9) 2 + 10 3 . De fato, (1 + 2 + 3 + ... + 10) 2 = (1 + 2 + 3 + ... + 9) 2 + 2 × 10 × (1 + 2 + ... + 9) + 10 2 (Ele demonstra essa igualdade geometricamente e não algebricamente).

Ele pode então usar a mesma regra em (1 + 2 + 3 + ... + 9) 2 , depois em (1 + 2 + 3 + ... + 8) 2 , etc. para obter :

Al-Karaji também desenvolve, como seu antecessor Abu Kamil , técnicas de cálculo em números irracionais.

Al Istiqra ou a análise indeterminada

Al-Karaji traz uma pedra importante para o estudo da análise indeterminada , ou seja, o estudo de equações algébricas com coeficientes inteiros com várias incógnitas tendo uma infinidade de soluções racionais. O assunto não é novo. Os problemas da Aritmética de Diofanto tratam em grande parte desse tema, tanto que equações desse tipo seriam consideradas diofantinas . Al-Karaji conhece vários dos livros de Aritmética traduzidos por volta de 870 por Qusta ibn Luqa , mas é com a iluminação da álgebra de Al-Khwârizmî e as obras de Abu Kamil que ele tenta identificá-los. Entre os 254 problemas de seu Fakhri, a maioria já está com Diophantus ou com Abu Kamil, com exceção de 60 problemas originais.

Ele nomeia esse campo de estudo como al-Istiqra e dedica a ele um tratado que agora está perdido. O princípio geral de resolução consiste em usar uma variável auxiliar (parâmetro) que permite reduzir a equação a formas conhecidas. Então, é suficiente para ele fornecer valores do parâmetro para fornecer exemplos de soluções. Seu estudo se concentra principalmente em equações da forma P ( x ) = y 2, onde P ( x ) é um polinômio quadrático com coeficientes inteiros ou um polinômio da forma ax 2 n + bx 2n-1 ou ax 2 n + bx 2n- 2, mas seu estudo se estende a sistemas de equações diofantinas com três incógnitas ou equações de grau maior que dois.

Em vez disso, seu Fakhri é uma coleção organizada de tais problemas, mas em seu Badi , destinado a um público mais informado, al-Karaji apresenta uma teoria organizada de tais equações. Ele se liberta de qualquer restrição geométrica e de qualquer restrição de homogeneidade para tornar seus problemas o mais gerais possível.

Suas obras são discutidas e desenvolvidas por seus sucessores al-Samaw'al al-Zanjani, Ibn al-Khawwam e Kamāl al-Dīn al-Fārisī , e para chegar ao Ocidente através do Liber Abaci de Fibonacci .

Kafi fi'l-hisab

Este último trabalho, Kafi fi'l-hisab ( Sufficient Book on Arithmetic Science ) é provavelmente um trabalho encomendado. Não se destina a matemáticos, mas sim a funcionários públicos. Ele explica as regras de cálculo em inteiros e frações, extração de raiz quadrada. Ele contém algumas fórmulas de área e volume e muitos exemplos. Não utiliza o sistema indiano (sistema decimal ), mas sim o sistema digital onde os números são escritos por extenso. É muito próximo, especialmente no que diz respeito aos cálculos de área e volume, de um livro didático escrito por Abu l-Wafa , Livro sobre o que escribas, artesãos e outros deveriam saber em ciência aritmética .

Hidrologia

Diagrama de Qanats retirado de Inbat al-miyah al-khafiya

O tratado Inbat al-miyah al-khafiya ( A Civilização das Águas Ocultas ) foi escrito por al-Karaji provavelmente após seus tratados matemáticos. Se alguém acreditar nos elementos biográficos que aparecem em sua introdução, al-Karaji teria desistido de escrever tratados matemáticos para embarcar em pesquisas científicas. Incentivado por um então ministro, Abu Ghanim Ma'ruf b. Muhammad, ele teria empreendido a redação deste tratado hidrológico. Data deste escrito em torno de 1015 (406 H) ou 1017.

Responde a uma necessidade real: o rápido crescimento das grandes cidades do mundo árabe-muçulmano, então em plena “ era de ouro ”, exige novos métodos de abastecimento de água. Além disso, o desenvolvimento da agricultura e seus sistemas de irrigação é uma preocupação importante desta época.

Esta obra, uma das mais antigas sobre hidrologia, revela em seu autor um verdadeiro domínio do assunto. Após uma introdução contendo algumas notas biográficas, considerações gerais sobre a geografia do globo, fenômenos naturais, o ciclo das águas, o estudo do solo, o autor descreve as técnicas de pesquisa das águas subterrâneas, trata do seu funcionamento. Apresenta uma descrição técnica da construção e manutenção de quanats (condutas subterrâneas de água). Existem também considerações legais sobre a construção de poços e tubulações. Al-Karaji também apresenta alguns instrumentos, alguns dos quais são de sua invenção.

Este livro é considerado uma contribuição original em hidrologia e um documento valioso no conhecimento neste campo no árabe e muçulmano Mundo X th  século .

Referências

  1. (en) Roshdi Rashed , “Al-Karaji (ou Al-Karkhi), Abu Bakr Ibn Muhammad ibn al Ḥusayn” , no dicionário completa das biografia Scientific , Detroit, filhos de Charles Scribner ,( ISBN  978-0-684-31559-1 , leia online )
  2. (en) Mohammed Abattouy, “  Muhammad Al-Karaji: Engenheiro um matemático do precoce do século 11  ” , em http://www.muslimheritage.com/ (acedida 20 de maio de 2016 )
  3. Giorgio Levi della Vida ,, "Appunti e quesiti di storia letteraria araba. 4. Due nuove opere del matematico al-Karagi (al-Karkhi) ”, Rivista degli Studi Orientali (Roma) vol. 14, 1934, pp. 249-264; p. 250
  4. Sesiano 2008 , p.  131
  5. Sesiano 1977 , p.  297
  6. Dahan e Peiffer 1986 , p.  89
  7. Roshdi Rashed, "A Aritmetização da Álgebra: Al-Karaji e seus sucessores", em Roshdi Rashed, História das Ciências Árabes: Matemática e Física , t.  2, Limiar,, p.  37-41
  8. Sesiano 1977 , p.  298
  9. Woepcke e Karaji 1853 , p.  6; 55.
  10. Dahan e Peiffer 1986 , p.  91
  11. (em) John Lennart Berggren, "Mathematics in Medieval Islam" , em Victor J. Katz , The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook , p.  514-675, p.  552/553
  12. Woepcke e Karaji 1853 , p.  61
  13. Dahan-Dalmedico e Peiffer 1986 , p.  90
  14. Rashed 1997a , p.  37
  15. Roshdi Rashed, “Rational Diophantine Analysis , in Roshdi Rashed, History of Arab Sciences: Mathematics and Physics , t.  2, Limiar,, p.  73-80p.  77
  16. Método de corda ( Rashed 2013 , p.  49).
  17. Woepcke e Karaji 1853 , p.  124
  18. Rashed 1997b , p.  79
  19. Sesiano 2008 , p.  132
  20. Ahmad S. Saidan, "Numeração e aritmética" , em Roshdi Rashed, História das Ciências Árabes: Matemática e Física , t.  2, Limiar,, p.  13 .
  21. Rashed 1997 , p.  124
  22. Folha Sudoc

Artigo relacionado

Bibliografia

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