Análise de conceito formal

A análise de conceito formal (em inglês Formal Concept Analysis , FCA ) tenta estudar os conceitos quando são formalmente descritos, ou seja, o contexto e os conceitos são definidos de forma completa e precisa. Foi introduzido por Rudolf Wille em 1982 como uma aplicação da teoria da rede (ver rede de Galois ). É baseado no trabalho anterior de M. Barbut e B. Monjardet, em toda a teoria das redes e também tem uma base filosófica sólida.

Um conceito pode ser definido por sua intensão e sua extensão : a extensão é o conjunto de objetos que pertencem ao conceito, enquanto a intensão é o conjunto de atributos compartilhados por esses objetos.

Definições

Um contexto é um trio onde e são conjuntos e . Os elementos de são chamados de objetos e os de atributos. O conjunto de pares é considerado uma relação e, portanto, é anotado em vez do que é dito: "o objeto tem o atributo ". As letras e vir do Gegenstände alemão e Merkmale. ${\ displaystyle (G, M, I)}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle I \ subseteq G \ times M}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle gIm}$ ${\ displaystyle (g, m) \ in I}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle M}$

Definimos os operadores de derivação para e por e . O conjunto é o conjunto de atributos compartilhados por todos os objetos de e o conjunto é o conjunto de objetos que possuem todos os atributos de . ${\ displaystyle A \ subseteq G}$ ${\ displaystyle B \ subseteq M}$ ${\ displaystyle A '= \ {m \ in M \ mid \ forall g \ in A \ cdot gIm \}}$ ${\ displaystyle B '= \ {g \ in G \ mid \ forall m \ in B \ cdot gIm \}}$ ${\ displaystyle A '}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B '}$ ${\ displaystyle B}$

Um conceito de contexto é um casal onde e que verifica e . Para um conceito , dizemos que é sua extensão e sua intenção . ${\ displaystyle (G, M, I)}$ ${\ displaystyle (A, B)}$ ${\ displaystyle A \ subseteq G}$ ${\ displaystyle B \ subseteq M}$ ${\ displaystyle A '= B}$ ${\ displaystyle B '= A}$ ${\ displaystyle (A, B)}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

Definimos uma sequência (parcial) de conceitos . ${\ displaystyle (A_ {1}, B_ {1}) \ leq (A_ {2}, B_ {2}) \ Leftrightarrow A_ {1} \ subseteq A_ {2} (\ Leftrightarrow B_ {2} \ subseteq B_ { 1})}$

Podemos usar os operadores de derivação para construir um conceito a partir de um conjunto de objetos ou atributos considerando os conceitos e respectivamente. Em particular para um objeto que chamamos o objeto conceito e para um atributo que chamamos o atributo conceito . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle (X '', X ')}$ ${\ displaystyle (Y ', Y' ')}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle \ gamma g}$ ${\ displaystyle (\ {g \} '', \ {g \} ')}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle \ mu m}$ ${\ displaystyle (\ {m \} ', \ {m \}' ')}$

Exemplo

Considere o conjunto de objetos inteiros de 1 a 10: e como um conjunto de atributos das propriedades matemáticas: . ${\ displaystyle G = \ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}}$ ${\ displaystyle M = \ {par, ímpar, composto {\ agudo {e}}, primeiro, quadrado {\ agudo {e}} \}}$

A relação de incidência pode ser representada como uma tabela onde as linhas correspondem aos objetos e as colunas correspondem aos atributos. ${\ displaystyle I \ subseteq G \ times M}$

número	composto	par	chance	primeiro	quadrado
1			x		x
2		x		x
3			x	x
4	x	x			x
5			x	x
6	x	x
7			x	x
8	x	x
9	x		x		x
10	x	x

Nós temos e . Portanto, é um conceito formal. ${\ displaystyle \ {3 \} '= \ {ímpar, primeiro \}}$ ${\ displaystyle \ {odd, prime \} '= \ {3,5,7 \}}$ ${\ displaystyle (\ {3,5,7 \}, \ {ímpar, primeiro \})}$

Estrutura do conceito

Cada par de conceitos tem um limite inferior e um limite superior exclusivos. Dados os conceitos e , seu limite inferior é e seu limite superior é . ${\ displaystyle (G_ {i}, M_ {i})}$ ${\ displaystyle (G_ {j}, M_ {j})}$ ${\ displaystyle (G_ {i} \ cap G_ {j}, (M_ {i} \ cup M_ {j}) '')}$ ${\ displaystyle ((G_ {i} \ cup G_ {j}) '', M_ {i} \ cap M_ {j})}$

Devido à ordem parcial entre conceitos e limites, as condições são atendidas para construir uma rede de conceitos .

Referências

Wille, R. (1982) Restructuring lattice theory: uma abordagem baseada em hierarquias de conceitos. In: Rival, I. (ed.) Conjuntos ordenados. 445-470. Dordrecht-Boston, Reidel.
M. Barbut & B. Monjardet, Ordem e Classificação (2 volumes) , Paris, HACHETTE UNIVERSITE,1970, 176 p.
(en) G. Birkhoff, teoria da rede , American Mathematical Soc.1967, 418 p. ( ISBN 978-0-8218-1025-5 , leia online )
A. Arnauld & P. Nicole, Lógica ou a arte de pensar , Gallimard ,1992, 406 p. ( ISBN 978-2-07-072726-1 )

Bibliografia

(pt) Bernhard Ganter e Rudolf Wille (pt) , Formal Concept Analysis: Mathematical Foundations , Berlin, Springer Verlag ,1999, 284 p. ( ISBN 978-3-540-62771-5 )

[1] Wille, R. (1982) Restructuring lattice theory: uma abordagem baseada em hierarquias de conceitos. In: Rival, I. (ed.) Conjuntos ordenados. 445-470. Dordrecht-Boston, Reidel.

[2] M. Barbut & B. Monjardet, Ordem e Classificação (2 volumes) , Paris, HACHETTE UNIVERSITE,1970, 176 p.

[3] (en) G. Birkhoff, teoria da rede , American Mathematical Soc.1967, 418 p. ( ISBN 978-0-8218-1025-5 , leia online )

[4] A. Arnauld & P. Nicole, Lógica ou a arte de pensar , Gallimard ,1992, 406 p. ( ISBN 978-2-07-072726-1 )

Análise de conceito formal

Resumo

Definições

Exemplo

Estrutura do conceito

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