Geometria



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A geometria está fazendo com que o ramo matemático estudando as figuras do plano e do espaço ( geometria euclidiana ). Desde o final dos XVIII th  século, geometria também estuda as figuras pertencentes a outros tipos de espaços ( geometria projectiva , geometria não euclidiana , por exemplo).

Desde o início do XX th  século, algumas figuras em métodos de estudo destes espaços foram transformados em ramos autónomos da matemática: topologia , geometria diferencial e geometria algébrica , por exemplo. Se quisermos abarcar todos esses significados, é difícil definir o que é geometria hoje. Isso ocorre porque a unidade dos vários ramos da "geometria contemporânea" reside mais nas origens históricas do que em uma comunidade de métodos ou objetos.

Obtenção da seção cônica pela projeção de duas esferas de diâmetros distintos (ver teorema de Dandelin ).

Etimologia

Os termo geometria deriva do Grego de γεωμέτρης ( GEOMETRES ), que significa "agrimensor, agrimensor  " e vem de γῆ ( ) "terras" e μέτρον ( metron ) "medida". Seria, portanto, “a ciência de medir o terreno”.

Principais divisões da geometria

Geometria clássica

Sem qualquer qualificador específico e sem referência a um contexto específico (em oposição à geometria diferencial ou geometria algébrica ), a geometria ou mesmo a geometria clássica engloba principalmente:

As geometrias acima podem ser generalizadas variando a dimensão dos espaços, mudando o campo dos escalares (use linhas diferentes da linha real) ou dando uma curvatura ao espaço. Essas geometrias ainda são consideradas clássicas.

Além disso, a geometria clássica pode ser axiomatizada ou estudada de diferentes maneiras.

É notável que a álgebra linear (espaços vetoriais, formas quadráticas, formas bilineares alternadas, formas hermitianas e anti-hermitianas, etc.) permite construir modelos explícitos da maioria das estruturas encontradas nessas geometrias. Isso, portanto, dá à geometria clássica uma certa unidade.

Outros tipos de geometrias

Existem ramos da matemática que surgiram do estudo das figuras dos espaços euclidianos, mas que se formaram em ramos autônomos da matemática e que estudam espaços que não estão necessariamente imersos em espaços euclidianos:

Os diferentes espaços da geometria clássica podem ser estudados por topologia, geometria diferencial e geometria algébrica.

Desenho de geometria

A geometria admite muitos significados de acordo com os autores. Em sentido estrito, geometria é “o estudo das formas e tamanhos das figuras”. Esta definição é consistente com o surgimento da geometria como uma ciência na civilização grega durante o período clássico . Segundo relato de Jean-Pierre Kahane , essa definição coincide com a ideia que as pessoas têm da geometria como matéria lecionada: é "o lugar onde aprendemos a compreender o espaço  ".

Em 1739, Leonhard Euler estudou o problema das sete pontes de Königsberg  ; seu trabalho é considerado um dos primeiros resultados da geometria independente de qualquer medida, resultados que serão qualificados como topológicos. As perguntas feitas durante o XIX th  século levou a repensar as noções de forma e espaço , descartando a rigidez das distâncias euclidianas. A possibilidade de deformar continuamente uma superfície sem preservar a métrica induzida foi considerada, por exemplo, deformar uma esfera em um elipsóide. O estudo dessas deformações levou ao surgimento da topologia  : seus objetos de estudo são os conjuntos , os espaços topológicos, dos quais a noção de proximidade e continuidade é definida em conjunto pela noção de vizinhança . De acordo com alguns matemáticos, a topologia é parte integrante da geometria, até mesmo um ramo fundamental dela. Esta classificação pode ser questionada por outros.

Na visão de Felix Klein ( 1849 - 1925 ), a geometria analítica "de fato sintetizou duas características posteriormente dissociadas: seu caráter fundamentalmente métrico e a homogeneidade". O primeiro personagem é encontrado na geometria métrica , que estuda as propriedades geométricas das distâncias. A segunda é a base do programa de Erlangen , que define geometria como o estudo de invariantes de ação de grupo.

O trabalho atual, em campos de pesquisa conhecidos como geometria, tende a questionar a primeira definição dada. Segundo Jean-Jacques Szczeciniarcz, a geometria não é construída sobre "a simples referência ao espaço, nem mesmo [na] figuração ou [na] visualização", mas é compreendida através do seu desenvolvimento: "a geometria é absorvida mas ao mesmo tempo parece-nos atribuir sentido aos conceitos ao mesmo tempo que dá a impressão de um retorno ao sentido inicial ”. Jean-Jacques Sczeciniarcz observa dois movimentos na pesquisa matemática que levaram a uma expansão ou fragmentação da geometria:

  • o procedimento de idealização que consiste em mostrar a importância de uma estrutura adicionando-a aos objetos matemáticos já estudados;
  • ao contrário, o procedimento de tematização consiste em trazer à tona uma nova estrutura subjacente aos objetos geométricos já estudados.

Como extensão, a geometria não pode mais ser abordada como uma disciplina unificada, mas como uma visão da matemática ou uma abordagem de objetos. Segundo Gerhard Heinzmann, a geometria é caracterizada por "uma utilização de termos e conteúdos geométricos, como"  pontos  ","  distância  "ou"  dimensão  "como um quadro de linguagem nos mais diversos campos", acompanhada por um equilíbrio entre uma abordagem empírica e uma abordagem teórica.

História

A invenção da geometria remonta ao antigo Egito .

Geometria clássica

Para Henri Poincaré , o espaço geométrico tem as seguintes propriedades:

  1. É contínuo;
  2. Ele é infinito;
  3. Tem três dimensões;
  4. É homogêneo, ou seja, todos os seus pontos são idênticos entre si;
  5. É isotrópico, ou seja, todas as linhas que passam pelo mesmo ponto são idênticas entre si.

As geometrias euclidiana e não euclidiana correspondem a esta definição stricto sensu de espaço. Construir tal geometria consiste em estabelecer as regras de disposição dos quatro objetos fundamentais: o ponto , a linha , o plano e o espaço . Este trabalho continua a ser prerrogativa da geometria pura, que é a única a funcionar ex nihilo .

Geometria plana

A geometria plana se apóia em primeiro lugar em uma axiomática que define o espaço; depois, nos métodos de intersecções, transformações e construções de figuras ( triângulo , paralelogramo , círculo , esfera , etc.).

A geometria projetiva é a mais minimalista, o que a torna um núcleo comum para outras geometrias. É baseado em axiomas:

  1. de incidência (ou pertencimento), a característica mais notável (e mais singular) que é: “Duas linhas coplanares distintas têm um único ponto em comum. ";
  2. Ordem: permite em particular ordenar os pontos de uma linha. Deste ponto de vista, uma linha projetiva é semelhante a um círculo porque dois pontos definem dois segmentos;
  3. continuidade: assim, em qualquer espaço geométrico, pode-se unir um ponto a outro por uma progressão contínua. Na geometria euclidiana, este axioma é o axioma de Arquimedes .

Paralelismo

Distinguir na geometria projetiva dos elementos impróprios caracteriza a geometria argumentiana . Então, a geometria afim nasce da eliminação desses elementos inadequados. Esta supressão de pontos cria a noção de paralelismo, uma vez que, doravante, certos pares de linhas coplanares deixam de se cruzar. O ponto impróprio removido é comparável à direção dessas linhas retas. Além disso, dois pontos definem apenas um segmento (aquele dos dois que não contém o ponto impróprio) e tornam familiar a noção de significado ou orientação (isto é, permite distinguir de ).

Congruência

Geometrias euclidiana e não euclidiana

O quinto axioma ou "  postulado de paralelos  " da geometria euclidiana é a base da geometria euclidiana  :

Por um ponto fora de uma linha, ele sempre passa um paralelo a essa linha, e apenas um.

Veja Axiomática ou Elementos Euclidianos de Hilbert para declarações mais completas da geometria euclidiana.

A refutação desse postulado levou ao desenvolvimento de duas geometrias não euclidianas  : a geometria hiperbólica de Gauss , Lobachevsky , Bolyai e a geometria elíptica de Riemann .

Programa Erlangen

Na concepção de Felix Klein (autor do programa Erlangen ), geometria é o estudo de espaços de pontos nos quais operam grupos de transformações (também chamadas de simetrias) e de quantidades e propriedades invariáveis ​​para esses grupos. O plano e a esfera, por exemplo, são ambos espaços bidimensionais, homogêneos (sem ponto privilegiado) e isotrópicos (sem direção privilegiada), mas diferem em seus grupos de simetria (o grupo euclidiano para um, o grupo de rotações para o outro).

Entre as transformações mais famosas, encontramos isometrias , semelhanças , rotações , reflexos , traduções e homotetia .

Não é, portanto, uma disciplina, mas um importante trabalho de síntese que permitiu uma visão clara das peculiaridades de cada geometria. Este programa, portanto, caracteriza a geometria mais do que a fundamenta. Ele teve um papel mediador no debate sobre a natureza das geometrias não euclidianas e a controvérsia entre as geometrias analítica e sintética .

Geometria de grupos clássicos

Lá, na geometria diferencial e na geometria algébrica de grupos de Lie e grupos algébricos , os quais têm espaços homogêneos , a geometria clássica é freqüentemente reduzida ao estudo desses espaços homogêneos. As geometrias afins e projetivas estão relacionadas a grupos lineares, e as geometrias euclidiana, esférica, elíptica e hiperbólica estão relacionadas a grupos ortogonais.

Quando existem classificações explícitas de Lie ou grupos algébricos ou seus espaços homogêneos que satisfazem certas hipóteses (grupos de Lie ou algébrico simples, espaços simétricos, variedades de bandeiras generalizadas, espaços de curvatura constante, por exemplo), os principais elementos dessas classificações às vezes vêm da geometria clássica , e os grupos aos quais essas geometrias clássicas estão associadas estão ligados aos chamados grupos clássicos (grupos lineares, ortogonais, simpléticos, por exemplo).

A maioria das geometrias clássicas está relacionada a grupos de Lie ou algébrica simples, chamada clássica (são derivadas da álgebra linear). Existem outros grupos de Lie ou algébricos simples, e eles são considerados "excepcionais" e dão origem à geometria excepcional, com certas analogias com a geometria clássica. Esta distinção é devida ao fato de que grupos simples são (sob certas suposições) classificados em várias séries infinitas (freqüentemente quatro) e um número finito de outros grupos (freqüentemente cinco), e são estes últimos grupos que são excepcionais, e eles o fazem não são incluídos na álgebra linear (pelo menos não da mesma maneira): eles são frequentemente ligados a estruturas algébricas não associativas ( álgebras de octonion , álgebras de Jordan excepcionais, por exemplo).

A grupos de Lie ou algébricos simples são associados diagramas Dynkin (tipos de gráficos), e certas propriedades dessas geometrias podem ser lidas nesses diagramas.

Áreas de pesquisa de geometria

Geometria riemanniana

A geometria Riemanniana pode ser vista como uma extensão da geometria euclidiana. O seu estudo centra-se nas propriedades geométricas dos espaços ( variedades ) apresentando uma noção de vetores tangentes, e equipado com uma métrica ( métrica Riemanniana ) que permite medir esses vetores. Os primeiros exemplos encontrados são as superfícies do espaço euclidiano tridimensional , cujas propriedades métricas foram estudadas por Gauss na década de 1820. O produto euclidiano induz uma métrica na superfície estudada por restrição aos vários planos tangentes. A definição intrínseca de métrica foi formalizada em dimensão superior por Riemann. A noção de transporte paralelo permite a comparação de espaços tangentes em dois pontos distintos da variedade: visa transportar coerentemente um vetor ao longo de uma curva desenhada na variedade Riemanniana. A curvatura de uma variedade Riemanniana mede por definição a possível dependência do transporte paralelo de um ponto a outro na curva que os conecta.

A métrica dá origem à definição do comprimento das curvas, da qual deriva a definição da distância Riemanniana. Mas as propriedades métricas dos triângulos podem diferir da trigonometria euclidiana. Essa diferença é parcialmente estudada por meio do teorema de Toponogov , que permite comparar pelo menos localmente a variedade Riemanniana estudada com espaços de modelos, de acordo com as desigualdades supostamente conhecidas na curvatura seccional. Entre os espaços do modelo:

  • o espaço euclidiano é uma variedade Riemanniana com curvatura zero;
  • a esfera de dimensão n é uma variedade Riemanniana de curvatura positiva constante 1;
  • o espaço hiperbólico de dimensão n é uma variedade Riemanniana com curvatura negativa -1.

Geometria complexa

A geometria complexa está relacionada às propriedades do campo com as quais pode se identificar localmente . Esses objetos ( variedade complexa ) apresentam uma certa rigidez, resultante da unicidade de uma extensão analítica de uma função com diversas variáveis.

Geometrias simpléticas e de contato

A geometria simplética é um ramo da geometria diferencial e pode ser introduzida como uma generalização para dimensões superiores do conceito de área orientada encontrado na dimensão 2. Ela está relacionada a formas bilineares alternadas. Os objetos dessa geometria são as variedades simpléticas, que são variedades diferenciais fornecidas com um campo de formas bilineares alternadas. Por exemplo, um espaço afim anexado a um espaço vetorial dotado de uma forma bilinear alternada não degenerada é uma variedade simplética.

A geometria de contato é um ramo da geometria diferencial estudando variedades de contato, que são variedades diferenciais providas de um campo de espaços tangentes de hiperplanos verificando certas propriedades. Por exemplo, o espaço projetivo deduz que um espaço vetorial fornecido com uma forma bilinear não degenerada alternada é uma variedade de contato.

Geometrias discretas e convexas

Geometrias algébrica e aritmética

Geometria não comutativa

Aplicações de geometria

Por muito tempo, geometria e astronomia estiveram ligadas. Em um nível elementar, o cálculo dos tamanhos da lua, do Sol e suas respectivas distâncias da Terra usa o teorema de Tales . Nos primeiros modelos do sistema solar, cada planeta era associado a um sólido platônico . A partir das observações astronômicas de Kepler , confirmadas pelo trabalho de Newton , ficou comprovado que os planetas seguem uma órbita elíptica na qual o Sol é um dos pontos focais. Tais considerações de natureza geométrica podem comumente intervir na mecânica clássica para descrever qualitativamente as trajetórias .

Nesse sentido, a geometria intervém na engenharia no estudo da estabilidade de um sistema mecânico. Mas intervém ainda mais naturalmente no desenho industrial . O desenho industrial mostra as seções ou projeções de um objeto tridimensional e é anotado com comprimentos e ângulos. Este é o primeiro passo para a implantação de um projeto de desenho industrial . Recentemente, o casamento da geometria com a ciência da computação permitiu o advento do design auxiliado por computador (CAD), cálculos de elementos finitos e computação gráfica .

A trigonometria euclidiana é usada em óptica para tratar, por exemplo, a difração de luz. Está também na origem do desenvolvimento da navegação  : navegação marítima com estrelas (com sextantes ), cartografia, navegação aérea (pilotagem com instrumentos utilizando sinais de balizas).

Novos avanços na geometria na XIX th  século encontrados ecos na física. Costuma-se dizer que a geometria Riemanniana foi inicialmente motivada pelas perguntas de Gauss sobre o mapeamento da Terra. Ele leva em consideração, em particular, a geometria das superfícies no espaço. Uma de suas extensões, a geometria Lorentziana , forneceu o formalismo ideal para formular as leis da relatividade geral . A geometria diferencial encontrou novas aplicações na física pós-newtoniana com a teoria das cordas ou membranas .

A geometria não comutativa , inventada por Alain Connes , vem apresentando boas estruturas matemáticas com as quais se trabalha para desenvolver novas teorias físicas.

Educação de geometria

A geometria ocupa um lugar privilegiado no ensino da matemática . Numerosos estudos educacionais provam seu interesse  : permite aos alunos desenvolver uma reflexão sobre problemas, visualizar figuras do plano e do espaço, escrever demonstrações , deduzir os resultados das hipóteses enunciadas. Mais ainda, “o raciocínio geométrico é muito mais rico do que a simples dedução formal”, porque se baseia na intuição nascida da “observação das figuras”.

Na década de 1960, a educação matemática na França insistia em colocar os problemas de geometria em prática na vida cotidiana. Em particular, o teorema de Pitágoras foi ilustrado pela regra de 3, 4, 5 e seu uso na carpintaria. Involuções, divisões harmônicas e relações cruzadas faziam parte do currículo do ensino médio. Mas a reforma da matemática moderna , nascida nos Estados Unidos e adaptada na Europa, levou a uma redução considerável do conhecimento ministrado em geometria para a introdução da álgebra linear no segundo grau. Em muitos países, esta reforma foi fortemente criticada e considerada responsável pelo insucesso escolar . Um relatório de Jean-Pierre Kahane denuncia a falta de “uma verdadeira reflexão didática preliminar” sobre a contribuição da geometria: em particular, uma “prática da geometria vetorial” prepara o aluno para uma melhor assimilação das noções formais de espaço vetorial, bilinear. ...

A utilização de figuras no ensino de outras disciplinas permite aos alunos compreender melhor os argumentos apresentados. NB Na didática da matemática costumamos fazer a diferença entre as noções de "desenho" (realizado com instrumentos como réguas, compassos ...), de "diagrama" (realizado à mão livre e servindo de suporte concreto para o raciocínio abstrato executar) e "figura" (objeto geométrico abstrato sobre o qual o raciocínio finalmente se relaciona, e cada um dos quais tem sua própria representação mental: por exemplo, podemos ter uma representação mental diferente, exceto por uma semelhança, da "figura" do triângulo equilátero) . Com essas distinções, o que é representado graficamente evocaria, portanto, uma "figura", mas não o seria. .

Notas e referências

  1. Fritz Reinhardt e Heinrich Soeder, Atlas of Mathematics , Pocket Book, p.  13 .
  2. Jean-Pierre Kahane , (ed.) O ensino das ciências matemáticas: Comissão para a reflexão sobre o ensino de matemática [ detalhe das edições ], indivíduo. 3, “Geometria”.
  3. Alain Michel, “Geometrização da teoria física: na gênese de um problema”, in Kouneiher & al.
  4. Jean-Jacques Szczeciniarz, “Filosofia e geometria: a ascensão da geometria, seus efeitos filosóficos”, in Kouneiher & al.
  5. Gerhard Heinzmann, “Geometria e o princípio da adequação: uma releitura de Ferdinand Gonseth”, in Kouneiher & al.
  6. Mueller-Jourdan 2007 , p.  73
  7. Henri Poincaré , Ciência e Hipótese , Champs Flammarion,.
  8. até um certo limite porque algumas geometrias não se encaixam nesta estrutura.
  9. Até certo ponto e aproximadamente, isso também ajuda a distinguir de  ; o interior do exterior.
  10. Jean-Pierre Provost e Gérard Vallée, Maths in Physics: Physics through the Filter of Mathematics , Paris, Éditions Dunod , col.  "Sup Sciences",, 1 r  ed. , 331  p. ( ISBN  2-10-004652-7 ) , p.  51.
  11. Denis Rolland, Rural architecture in Picardy: the Soissonnais , CREER, 1998 ( ISBN  978-2-909797-25-0 ) , p.  49 .

Veja também

Bibliografia

  • Charles Mugler, “  Sobre a História de algumas definições da geometria grega e a relação entre geometria e óptica (Parte Um)  ”, Antiguidade Clássica , vol.  26, n o  2, p.  331-345 ( ler online , consultado em 28 de janeiro de 2020 ).
  • Charles Mugler, “  Sobre a história de algumas definições da geometria grega e a relação entre geometria e óptica (continuação)  ”, Antiguidade Clássica , vol.  27, n o  1,, p.  76-91 ( ler online , consultado em 28 de janeiro de 2020 )
  • Pascal Mueller-Jourdan , Uma iniciação na filosofia da antiguidade tardia: lições de Pseudo-Elias , Friburgo / Paris, Éditions du Cerf ,, 143  p. ( ISBN  978-2-204-08571-7 ). Livro usado para escrever o artigo
  • Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometria, tradução e edição: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series , Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
  • Jean-Paul Collette, História da matemática , vol.  2, Vuibert,( ISBN  2-7613-0118-8 ) , Capítulo 10: A renovação da geometria XIX th  século .
  • A. Dahan-Dalmedico e J. Peiffer , A History of Mathematics: Roads and Mazes ,[ detalhe das edições ]
  • Joseph Kouneiher Dominique Flament Philippe Nabonnand e Jean-Jacques Szczeciniarz ( eds. ), Geometria do XX th  história do século e fundos [[[referência: Geometria no XX th  história do século e fundos (Joseph Kouneiher Dominique Flament Philippe Nabonnand, Jean-Jacques Szczeciniarz , dir.) | Detalhe das edições]]]

links externos


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Opiniones de nuestros usuarios

Rubens Simoes

Obrigado por este post em Geometria, é exatamente o que eu precisava.

Angela Cavalcante

A linguagem parece antiga, mas a informação é confiável e em geral tudo que se escreve sobre Geometria dá muita confiança.

Luis De Aguiar

Não sei como cheguei a este artigo Geometria, mas gostei muito.