Matemática



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A matemática (ou matemática ) é um conjunto de conhecimentos abstratos resultantes da lógica do raciocínio aplicada a vários objetos, como conjuntos matemáticos, números , as formas , as estruturas , as transformaçõesetc.  ; bem como as relações e operações matemáticas que existem entre esses objetos. Eles também são o campo de pesquisa que desenvolve esse conhecimento, bem como a disciplina que o ensina.

Eles têm vários ramos como: aritmética , álgebra , análise , geometria , lógica matemáticaetc. Também existe uma certa separação entre matemática pura e matemática aplicada .

A matemática se distingue de outras ciências por uma relação particular com a realidade porque a observação e o experimento não se relacionam com objetos físicos; a matemática não é uma ciência empírica . São de natureza inteiramente intelectual, baseados em axiomas declarados verdadeiros ou em postulados provisoriamente aceitos. Esses axiomas constituem seus fundamentos e, portanto, não dependem de nenhuma outra proposição. Uma afirmação matemática - geralmente chamada, depois de validada, de teorema , proposição, lema , fato, scholia ou corolário - é considerada válida quando o discurso formal que estabelece sua verdade respeita uma determinada estrutura racional chamada demonstração , ou raciocínio lógico-dedutivo. Uma afirmação que ainda não foi demonstrada, mas que é considerada plausível, é chamada de conjectura .

Embora os resultados matemáticos sejam verdades puramente formais, eles encontram aplicações em outras ciências e em diferentes campos da tecnologia . É assim que Eugene Wigner fala da "eficiência irracional da matemática nas ciências naturais".

Etimologia

A palavra "matemático" vem do grego ao latim . A palavra μάθημα ( MATHEMA ) é derivado do verbo μανθάνω ( mantano ) ( "a aprender"). Significa “ciência, conhecimento” e então “matemática” de μαθὴματα  ; deu origem ao adjetivo μαθηματικός ( mathematikos ), primeiro "relacionado ao conhecimento", depois "que diz respeito às ciências matemáticas". Este adjetivo foi adotado em latim ( mathematicus ) e nas línguas românicas posteriormente ("matemática" em francês , matematica em italianoetc. ), bem como em muitas outras línguas.

A forma neutra do adjetivo μαθηματικός foi substantivada em τα μαθηματικά ( ta mathēmatiká ) para designar as ciências matemáticas como um todo. Essa forma plural, usada por Aristóteles , explica o uso do plural para o substantivo em latim em Cícero ( mathematica ), depois em francês e em algumas outras línguas europeias.

O uso do plural é uma herança dos tempos antigos , quando o quadrivium agrupava as quatro artes ditas “matemáticas”: aritmética, geometria, astronomia e música. O singular ("matemática") às vezes é usado em francês, mas "a palavra então dá ao contexto um toque de arcaísmo ou didatismo  ". No entanto, alguns autores, seguindo Nicolas Bourbaki , insistem no uso do singular, para mostrar a padronização trazida pela abordagem axiomática contemporânea: Jean Dieudonné parece ser o primeiro a ter insistido neste ponto, e o vasto tratado de Bourbaki (de do qual ele é um dos principais editores) é intitulado Elementos da matemática , enquanto, em contraste, o fascículo histórico que o acompanha é intitulado Elementos da história da matemática . Cédric Villani recomenda o uso do singular para afirmar a unidade do domínio.

Na gíria escolar, o termo "matemática" é freqüentemente copiado em "matemática", às vezes também escrito "matemática".

História

Um retrato de Euclides de Megara , que na verdade representa o matemático Euclides .

É provável que o homem tenha desenvolvido habilidades matemáticas antes de começar a escrever . Os primeiros objetos reconhecidos de habilidades computacionais são os bastões de contagem , como o osso de Ishango (na África ), datado de 20.000 aC. O desenvolvimento da matemática como conhecimento transmitido nas primeiras civilizações está ligado às suas aplicações concretas: comércio , gestão de colheita , medição de áreas , previsão de eventos astronômicos e, às vezes, a execução de rituais religiosos .

Os primeiros desenvolvimentos matemáticos envolveram a extração de raízes quadradas , as raízes cúbicas , a resolução de equações polinomiais , a trigonometria , o cálculo fracionário , a aritmética de números naturais ... Eles correram em civilizações acádicas , babilônicas , egípcias , chinesas ou indus Valley .

Na civilização grega , a matemática, influenciada por trabalhos anteriores e especulações filosóficas, buscou mais abstração. As noções de prova e definição axiomática são especificadas. Dois ramos se destacam, aritmética e geometria . No III ª  século  aC. J. - C. , os Elementos de Euclides resumem e ordenam o conhecimento matemático da Grécia.

A matemática chinesa e a indiana (especificamente o Vale do Indo ) alcançada no Ocidente pela civilização islâmica por meio da conservação do patrimônio grego e do cruzamento com as descobertas, especialmente em termos de representação numérica . O trabalho matemático desenvolve-se consideravelmente tanto em trigonometria (introdução das funções trigonométricas) como em aritmética . A análise combinatória , a análise numérica e a álgebra polinomial são inventadas e desenvolvidas.

Durante o "  renascimento da XII th  século  ", parte da textos gregos e árabes são estudados e traduzido para o latim . A pesquisa matemática está concentrada na Europa. No XVI th  século cresce - incluindo Pierre La Rame - a ideia de que existe uma ciência universal ( mathesis universalis ) em que é possível basear todo o conhecimento. Descartes viu a partir de 1629 , nas Regras para a direção da mente , as possibilidades oferecidas pela matemática para desempenhar esse papel. Descartes sublinha, no Discurso do Método , o atractivo da matemática, “pela certeza e pela obviedade das suas razões”. A álgebra então se desenvolve como resultado do trabalho de Vieta e Descartes . Newton e Leibniz , independentemente, inventam o cálculo infinitesimal .

No XVII th  século , Galileo percebeu que a matemática é a ferramenta ideal para descrever o mundo físico, podemos resumir dizendo que as leis da natureza está escrito em linguagem matemática . A matemática constitui, portanto, junto com a abordagem experimental , um dos dois pilares do desenvolvimento da ciência moderna .

David Hilbert , matemático alemão.

Durante o XVIII th  século eo XIX th  século , matemática experimentando forte desenvolvimento com o estudo sistemático das estruturas , começando com os grupos de trabalho de Galois sobre equações polinomiais e anéis introduzidas pela Dedekind .

O XIX E  século serra com Cantor e Hilbert o desenvolvimento de uma teoria axiomática em todos os objetos estudados, ou seja, a pesquisa dos fundamentos matemáticos . Este desenvolvimento irá conduzir axiomáticas vários matemáticos do XX °  século para tentar definir toda a matemática usando uma linguagem, lógica matemática .

O XX th  século tem visto um forte desenvolvimento em matemática com áreas de especialização e o nascimento ou o desenvolvimento de muitas novas agências ( teoria da medida , teoria espectral , topologia algébrica e geometria algébrica , por exemplo). O computador teve impacto na pesquisa. Por um lado, facilitou a comunicação e o compartilhamento de conhecimentos; por outro, forneceu uma ferramenta formidável para o enfrentamento de exemplos. Esse movimento levou naturalmente à modelagem e digitalização .

Áreas

São propostas divisões da matemática em dois, três ou quatro campos diferentes: álgebra e análise, ou álgebra, análise e geometria, ou álgebra , análise , geometria e probabilidade . Essas divisões não são óbvias e as fronteiras que as separam são sempre mal definidas. Na verdade, muitos resultados exigem uma variedade de habilidades matemáticas. O teorema de Fermat-Wiles , estabelecido em 1994, é um exemplo. Embora a afirmação seja formulada da forma chamada aritmética, a prova requer habilidades profundas em análise e geometria.

Áreas principais

A álgebra é o conjunto de métodos matemáticos para estudar e desenvolver estruturas algébricas e compreender as relações que têm entre si. Álgebra no sentido moderno, historicamente as suas origens na compreensão de equações polinomiais e métodos de resolução de desenvolvimentos: a investigação nestas áreas levou ao surgimento dos conceitos subjacentes à teoria dos grupos , a teoria de Galois ou geometria algébrica .

Em um sentido muito restrito, a análise é a parte da matemática preocupada com as questões da regularidade das aplicações de uma variável real ou complexa: fala-se então mais prontamente de análise real ou de análise complexa . Em um sentido amplo, abrange todos os métodos matemáticos relacionados e uma série de métodos para compreender e analisar espaços de funções.

A geometria está tentando compreender antes de mais nada os objetos no espaço e por extensão está interessada em propriedades de objetos mais abstratos, multidimensionais, introduzidos em várias abordagens, observando-se muito da análise da álgebra.

As probabilidades estão tentando formalizar tudo relacionado à aleatoriedade. Embora velhos, eles experimentaram um renascimento com a teoria da medição .

As estatísticas são para coletar, processar e sintetizar um conjunto de dados, geralmente muitos.

Exemplos de áreas de corte transversal

Charles Gustave Jacob Jacobi , conhecido por seus desenvolvimentos na teoria analítica dos números , entre a análise complexa e a aritmética.

Muitas áreas de pesquisa estão transversalmente em relação à divisão dada acima:

  • A matemática discreta (associada com a ascensão do computador ) é o exemplo mais típico de corte transversal porque eles pintam uma clivagem em quase todos os ramos da matemática ( grupos finitos , probabilidade discreta , geometria discreta , otimização linear em números inteiros , novos ramos da álgebra: monóides , dióides ...).
  • A teoria dos números (que generaliza a aritmética elementar ) usa tanto dos métodos analíticos como os métodos algébricos avançados, para resolver problemas que muitas vezes podem ser definidos de forma elementar.
  • A topologia algébrica tende a ser associada a objetos geométricos de vários tipos de invariantes algébricos da Natureza. Portanto, está localizado na fronteira entre a geometria diferencial e a geometria algébrica. No entanto, para objetos geométricos que apresentam uma certa estrutura analítica, esses invariantes algébricos podem, às vezes, ser definidos ou compreendidos recorrendo apenas a ferramentas que são essencialmente analíticas. Grande parte da pesquisa atual em topologia algébrica tende a esquecer a estrutura topológica e reduzir as questões a problemas primariamente algébricos.
  • Em certo sentido, os sistemas dinâmicos ficam entre a geometria, a análise e a probabilidade. Eles tendem a compreender qualitativamente o que é assimilado a uma lei de evolução. Os objetos estudados vêm em análise (equações diferenciais, por exemplo), probabilidades (iteração de uma bijeção mensurável) ou geometria ( espaços homogêneos ). O tratamento a ela dedicado é objeto de interpretações essencialmente de natureza geométrica, utilizando ferramentas avançadas de análise funcional , teoria de processos , geometria diferencial,  etc. Resultados aritméticos também podem ser obtidos por considerações relacionadas a sistemas dinâmicos.
  • A geometria diferencial está localizada na fronteira da geometria e da análise, e em vários aspectos. A definição de seus objetos de estudo apela aos teoremas do cálculo diferencial, mas o estudo em si é um grande consumidor de análise. Links entre geometria diferencial e probabilidades também existem.
  • A geometria algébrica é um exemplo de um campo em sentido estrito para o encontro da álgebra e da geometria. Ele encontra suas origens no trabalho de resolução de equações cúbicas. O primeiro objeto de estudo da geometria algébrica é a variedade algébrica, lugar de cancelamento das equações polinomiais: tem significado algébrico e geométrico. Esta área experimentou um forte desenvolvimento no XIX th  século, incluindo o teorema de Bezout . Desenvolvimentos recentes iniciados por Alexandre Grothendieck conhecem muitas aplicações na teoria dos números, que constitui a geometria aritmética .
  • A teoria dos operadores mais uma questão de análise, ou a análise funcional (por exemplo, para os problemas de regularidade de soluções de equações para equações diferenciais parciais elípticas, incluindo o problema de Poisson ). Mas essa teoria conhece muitas aplicações em geometria diferencial onde a linguagem dos operadores acaba sendo particularmente adequada. O desenvolvimento da teoria do operador exigiu métodos de natureza probabilística, em particular para o que se denomina cálculo funcional . Essa teoria encontra extensões na geometria não comutativa . Os objetos de estudo são generalizações de álgebras de operadores.

Matemática aplicada e pura

Às vezes é feita uma distinção entre matemática pura e matemática aplicada:

  • A matemática pura visa desenvolver o conhecimento matemático para si mesma, sem qualquer interesse a priori em aplicações, sem qualquer motivação de outras ciências. O objeto da pesquisa matemática pode, portanto, ser uma melhor compreensão de uma série de exemplos abstratos particulares, nos quais se baseia e desenvolve a reflexão matemática, a generalização de um aspecto de uma disciplina ou o destaque de ligações entre várias disciplinas da matemática.
  • Pelo contrário, a matemática aplicada é a implementação do conhecimento matemático para as necessidades do formalismo de outras ciências ( física , informática , biologia , astrofísica ...) e para aplicações industriais (engenharia, por exemplo). Eles tendem a desenvolver essas ferramentas matemáticas para atender a essas demandas, para resolver problemas colocados em termos concretos.

Na França, essa distinção costuma estruturar equipes de pesquisa, sem necessariamente comprometer as possibilidades de interação entre elas. No entanto, a relevância desta distinção é questionada por um certo número de matemáticos. A evolução dos campos e seus objetos de estudo também pode ajudar a deslocar uma possível fronteira ou noção de separação. De acordo com uma piada de Ian Stewart , autor de várias obras sobre matemática popular, em sua obra intitulada My Cabinet of Mathematical Curiosities , “A relação entre matemáticos puros e aplicados é baseada na confiança e na compreensão. Matemáticos puros não confiam em matemáticos aplicados, e matemáticos aplicados não entendem matemáticos puros . A matemática aplicada, em um sentido mal definido, inclui, entre outros , análise numérica , estatística aplicada e teoria da teoria. Otimização matemática . Algumas áreas de pesquisa em matemática nasceram na fronteira com outras ciências (veja abaixo).

Filosofia

As questões tradicionais que a filosofia faz sobre a matemática podem ser classificadas de acordo com três temas:

  1. A natureza dos objetos matemáticos: se existem por si próprios ou se são construções mentais Qual é a natureza de uma demonstração (lógica e matemática)   Quais são as ligações entre lógica e matemática
  2. A origem do conhecimento matemático: de onde vem a verdade da matemática e qual é a sua natureza Quais são as condições para a existência da matemática e sua ligação com o homem Quais são os impactos da estrutura do pensamento humano na forma e no desenvolvimento da matemática atual Os limites que isso induz
  3. A relação da matemática com a realidade: que relação a matemática abstrata tem com o mundo real Quais são as ligações com outras ciências

Às vezes, a matemática é chamada de “rainha da ciência”. No entanto, a expressão remonta a Carl Friedrich Gauss  : Regina Scientiarum e a palavra scientiarium na verdade significam " conhecimento  ".

Fundações

Aristóteles  : o fundador da lógica formal (pintura de Rafael ).

Supostamente, a matemática usa a lógica como uma ferramenta para demonstrar verdades organizadas em teorias . Uma primeira análise permite esperar que um uso potente desta ferramenta tão segura, uma redução sempre mais completa das bases, os axiomas sobre os quais se constrói o edifício matemático, acabe conduzindo a um corpo de fatos incontestáveis. Vários obstáculos se levantam, no entanto.

Por um lado, como atividade humana, a matemática se afasta do modelo de uma construção seguindo escrupulosamente as leis da lógica e independente da realidade. Citemos um fato e um fenômeno para ilustrar isso. Em primeiro lugar, as provas que os matemáticos escrevem não são formalizadas a ponto de seguir detalhadamente as leis da lógica, porque isso é impossível em um tempo razoavelmente curto. Como acontece com qualquer ciência, a aceitação da veracidade de uma prova e, portanto, de um teorema, em última análise , repousa sobre um consenso de especialistas sobre a validade da aproximação de prova formal proposta (ver La Structure of Scientific Revolutions de Thomas Samuel Kuhn ). O advento da informática mudou, porém, a situação, pelo menos marginalmente, pois permite formalizar e verificar demonstrações cada vez mais complexas.

Augustin Louis Cauchy , um dos primeiros a dar uma base rigorosa à análise .

No entanto, a atividade matemática está longe de se reduzir à busca de provas e à sua verificação. A confiança que a comunidade matemática deposita em um de seus membros que propõe um novo resultado interfere na recepção que esse resultado terá, ainda mais se for inesperado ou mudar a maneira de ver as coisas. Podemos tomar como exemplo a controvérsia histórica sobre geometrias não-euclidianas do XIX °  século, durante o qual o trabalho de Lobachevsky foram amplamente ignorados; ou, por outro lado, a dificuldade de receber a obra do jovem republicano Galois no início do mesmo século, em particular de Cauchy . A sociologia da matemática estuda tais fenômenos (ver sociologia da ciência ).

Por outro lado, a própria solidez das bases não pode ser baseada apenas na matemática. Na verdade, os teoremas da incompletude , comprovadas por Kurt Gödel na primeira metade do XX th  show de século que, ao contrário do que esperava David Hilbert , é impossível reduzir formalmente as noções básicas de matemática em um sistema cuja segurança é prova destes, e isso implica que certas propriedades consideradas "verdadeiras" permanecerão inacessíveis à demonstração, quaisquer que sejam os axiomas escolhidos.

Educação

O ensino da matemática pode referir-se à aprendizagem de noções matemáticas fundamentais ou básicas, bem como à aprendizagem e iniciação à investigação ( ensino superior da matemática ). Dependendo da época e do local, a escolha das disciplinas ensinadas e os métodos de ensino mudam ( matemática moderna , método de Moore , educação clássica, etc. ). Em alguns países, a escolha dos currículos escolares na educação pública é feita por instituições oficiais.

Cédric Villani , em uma conferência TED , lembra uma dificuldade importante que o ensino da matemática não resolverá por conta própria: o processo de uma descoberta matemática não está relacionado à matemática. George Polya indicado no entanto meados da década de 20 th  século algumas técnicas para resolver os problemas existentes, em seu livro Como colocar e resolver um problema ( "Como resolvê-lo").

Por volta da mesma época, alguns trabalhos propunham adquirir os mecanismos de resolução por meio de uma infinidade de exercícios propostos com sua correção detalhada ao lado. Na França e para a matemática, houve trabalhos de Pierre Louquet no ensino médio. No mundo de língua inglesa e em uma ampla gama de disciplinas, a série de Schaum's Outlines  (in) persegue esse objetivo.

Hoje, muitos estudos permitem compreender os fatores que influenciam o ensino da matemática. Estudos em países industrializados mostraram que filhos de pais com maior escolaridade frequentam mais matemática e ciências no ensino médio e se saem melhor. Outros estudos que comparam as influências múltiplas no desempenho matemático das crianças descobriram que o nível de educação das mães tem o maior efeito. Foi demonstrado que o status socioeconômico mais alto está associado a notas mais altas em matemática para meninos e meninas. O estudo PISA 2015 descobriu que um aumento de uma unidade no índice PISA de status econômico, social e cultural resultou em um aumento de 38 pontos em ciências e 37 pontos em matemática. Esse aumento pode estar relacionado ao fato de os pais oferecerem mais suporte para a aprendizagem na escola e em casa, com maiores expectativas acadêmicas e menos crenças tradicionais sobre papéis e atitudes de gênero. O interesse das crianças em STEM e seu sucesso também podem ser aumentados por arranjos feitos pelos pais para fornecer suporte educacional, incluindo aulas particulares.

Conveniente

Atividade de pesquisa

A pesquisa matemática não se limita à prova de teoremas . Um dos métodos mais bem-sucedidos de pesquisa matemática é reunir domínios distantes a priori , trazendo à luz fenômenos análogos (por exemplo, geometria euclidiana e equações diferenciais lineares ). A identificação de fenômenos análogos pode levar a querer adaptar resultados de um campo da matemática para outro, a reformular elementos de prova em termos equivalentes, a tentar uma axiomatização de um objeto (por exemplo, poderia ser a noção de espaço vetorial ) que reagruparia os dois domínios ... No último caso, esse novo objeto se tornaria um objeto de estudo por si mesmo. Em alguns casos, a identificação de objetos aparentemente diferentes torna-se necessária: a linguagem das categorias torna possível fazer esse tipo de coisa.

Outro método de pesquisa é a comparação com exemplos e casos particulares. Esse confronto pode permitir refutar propriedades que se pensava ou esperava que fossem verdadeiras ( conjecturas ). Pelo contrário, pode permitir verificar propriedades ou formalizá-las. Por exemplo, na geometria Riemanniana , o estudo de superfícies (portanto, objetos na dimensão 2 ) e suas geodésicas finalmente levaram Anosov a formalizar o difeomorfismo de Anosov , uma transformação com propriedades dinâmicas interessantes.

Língua

A matemática usa uma linguagem própria. Certos termos da linguagem cotidiana, como grupo , anel , campo ou variedade, podem ser emprestados e redefinidos para denotar objetos matemáticos. Mas muitas vezes os termos são formados e introduzidos conforme necessário: isomorfismo , topologia , iteração ... O grande número desses termos torna difícil para os não matemáticos entender a matemática.

A linguagem matemática também se baseia no uso de fórmulas. Eles incluem símbolos , alguns relacionados ao cálculo proposicional como o conector binário de implicação ou o conector unário de negação , outros relacionados ao cálculo de predicados , como o quantificador universal ou o quantificador existencial . A maioria das notas utilizados no XXI th  século foram introduzidas, após o XVII th  única século.

Existe uma linguagem matemática que descreve a matemática. Nesse sentido, dizemos que se trata de uma metalinguagem  : trata-se de lógica matemática .

Relacionamento com outras ciências

A matemática tem uma relação especial com todas as ciências , no sentido amplo do termo. A análise de dados (interpretação gráfica, dados estatísticos, etc.) requer uma variedade de habilidades matemáticas. Mas ferramentas matemáticas avançadas estão envolvidas na modelagem .

Todas as chamadas ciências duras , com exceção da matemática, tendem a uma compreensão do mundo real. Esse entendimento requer o estabelecimento de um modelo, levando em consideração um certo número de parâmetros tidos como causadores de um fenômeno. Este modelo constitui um objeto matemático, cujo estudo permite uma melhor compreensão do fenômeno estudado, possivelmente uma previsão qualitativa ou quantitativa quanto à sua evolução futura.

A modelagem requer habilidades principalmente relacionadas à análise e probabilidade, mas os métodos algébricos ou geométricos são úteis.

Fisica

A matemática surgiu do desejo de compreender o espaço circundante: a geometria surge da modelagem de formas idealizadas e a aritmética das necessidades de gerenciamento de quantidade. Astronomia e geometria há muito se confundem, mesmo nas civilizações islâmicas. Matemática e física, depois de diferenciadas, mantiveram laços estreitos. Na história contemporânea dessas duas ciências, a matemática e a física influenciaram uma à outra. A física moderna faz uso extensivo da matemática, fazendo modelagem sistemática para entender os resultados de seus experimentos:

Um campo específico de pesquisa, a física matemática , tende precisamente a desenvolver os métodos matemáticos colocados em uso da física.

A estreita conexão entre matemática e física se reflete no ensino superior de matemática. O ensino de física envolve cursos de matemática para físicos; e não é incomum que os cursos de matemática nas universidades incluam uma introdução opcional à física.

No entanto, Albert Einstein é um dos primeiros a relativizar o campo da matemática ao lembrar que a física usa várias formas, de acordo com suas necessidades, e não apenas uma. Sua Teoria da Relatividade Geral usa, por exemplo, uma geometria não euclidiana formalizada por Minkowski . Ele dirá: “No que se refere à realidade, a geometria euclidiana não é exata. Tão exato, não se relaciona com a realidade ”(Conferência de Berlim de 1921, geometria e experiência ).

Ciência da Computação

O desenvolvimento de técnicas XX th  século pavimentou o caminho para uma nova ciência, o computador . Isso está intimamente ligado à matemática, de várias maneiras: certas áreas de pesquisa na ciência da computação teórica podem ser consideradas essencialmente matemáticas, outros ramos da ciência da computação fazendo mais uso da matemática. As novas tecnologias de comunicação abriram caminho para aplicações às vezes em ramos muito antigos da matemática ( aritmética ), particularmente no que diz respeito a problemas de segurança de transmissão: criptografia e teoria do código .

Por outro lado, a ciência da computação influencia a evolução moderna da matemática.

A matemática discreta é um campo de pesquisa atual da matemática para desenvolver os métodos usados ​​na ciência da computação, incluindo a teoria da complexidade , a teoria da informação , a teoria dos grafos ... Entre os problemas em aberto incluem-se notavelmente o famoso P = NP na teoria da complexidade, que é um dos Sete Problemas de Preços do Milênio . Isso acontecerá para decidir se P e NP são diferentes ou iguais receberá $ 1 000 000  USD .

A ciência da computação também se tornou uma ferramenta essencial para a obtenção de novos resultados (um conjunto de técnicas conhecido como matemática experimental ) e até mesmo para a comprovação de certos teoremas. O exemplo mais famoso é o do Teorema das Quatro Cores , demonstrado em 1976 usando um computador, porque alguns dos cálculos necessários são muito complexos para serem feitos à mão. Este desenvolvimento perturba a matemática tradicional, onde a regra era que o matemático pudesse verificar cada parte da prova por si mesmo. Em 1998, a conjectura de Kepler parece também ter sido parcialmente comprovada por computador, e uma equipe internacional trabalhou desde então na redação de uma prova formal, que foi concluída (e verificada) em 2015.

Na verdade, se a prova for redigida de maneira formal, será possível verificá-la usando um software especial, denominado assistente de prova . Esta é a melhor técnica conhecida para ter (quase) certeza de que uma demonstração assistida por computador é livre de bugs . No espaço de cerca de trinta anos, a relação entre os matemáticos e a ciência da computação foi, portanto, completamente revertida: primeiro um instrumento suspeito a ser evitado, se possível, na atividade matemática, o computador tornou-se, ao contrário, uma ferramenta essencial.

Biologia, Química e Geologia

A biologia é um grande consumidor de matemática, incluindo probabilidade. A dinâmica de uma população é comumente modelada por cadeias de Markov (teoria dos processos discretos) ou por equações diferenciais acopladas. O mesmo vale para a evolução dos genótipos: o princípio de Hardy-Weinberg , freqüentemente mencionado na genética, relaciona-se a propriedades gerais em processos de tempo discreto (existência de leis de limite). De maneira mais geral, a filogeografia usa modelos probabilísticos. Além disso, a medicina usa testes (estatísticos) para entender a validade de um tratamento específico. Nasceu um campo específico de pesquisa na fronteira da biologia: a biomatemática .

Desde o início do XXI th  século, química orgânica usou computadores para a modelagem de moléculas em três dimensões: verifica-se que como uma macromolécula biologia é variável e determina sua ação. Essa modelização requer geometria euclidiana  ; os átomos formam uma espécie de poliedro cujas distâncias e ângulos são fixados pelas leis de interação.

A geologia estrutural e os modelos climáticos contam com a combinação de métodos probabilísticos e analíticos para prever o risco de desastres naturais. A complexidade dos modelos é tal que nasceu um ramo da investigação na fronteira da matemática e da geofísica , nomeadamente a geofísica matemática . Da mesma forma, meteorologia , oceanografia e planetologia são grandes consumidores da matemática porque requerem modelagem.

Ciências Sociais

A relação entre matemática e ciências humanas é feita principalmente por meio de estatísticas e probabilidades , mas também por meio de equações diferenciais , estocásticas ou não, utilizadas em sociologia , psicologia , economia , finanças , gestão empresarial , linguística, etc.

A lógica é desde os tempos antigos uma das três principais disciplinas da filosofia , com a ética e a física. Filósofos como Pitágoras e Tales de Mileto formalizaram os famosos teoremas geométricos que levam seu nome. “Que ninguém entra aqui se não for agrimensor”, estava gravado no portal da Academia de Platão , para quem a matemática é um intermediário de acesso ao mundo das Ideias .

Em particular, a matemática financeira é um ramo da matemática aplicada que visa compreender a evolução dos mercados financeiros e estimar os riscos. Este ramo da matemática se desenvolve na fronteira da probabilidade e da análise e usa a estatística.

Muito mais sutil é o caso da economia matemática. O postulado fundamental desta disciplina é que a atividade econômica pode ser entendida a partir de um axioma de natureza antropológica , o do ator individual racional. Nessa visão, cada indivíduo busca com suas ações aumentar um determinado lucro , e isso de forma racional . Esse tipo de visão atomista da economia permite que matematize seu pensamento com relativa facilidade, uma vez que o cálculo individual é transposto para o cálculo matemático. Essa modelagem matemática em economia torna possível descobrir mecanismos econômicos que só poderiam ter sido descobertos com grande dificuldade por uma análise "literária". Por exemplo, as explicações dos ciclos de negócios não são triviais. Sem modelagem matemática, é difícil ir além de simples descobertas estatísticas ou especulações não comprovadas. No entanto, certos sociólogos, como Bourdieu , e mesmo alguns economistas, rejeitam este postulado do homo œconomicus , observando que as motivações dos indivíduos incluem não apenas a doação , mas também dependem de outras questões cujo interesse financeiro não é. simplesmente não são racionais. A matematização é, portanto, segundo eles, uma cobertura para uma exploração científica dos materiais.

Também estamos testemunhando o começo do XX °  século , um reflexo para colocar os movimentos históricos na fórmula, como faz Nikolai Kondratiev , que discerne um ciclo de base para explicar booms e economia política em crise, ou Nicolas-Remi Brück e Charles Henri Lagrange que, desde o final do XIX E  século, amplificado a sua análise até penetrar no campo da geopolítica , por querer provar a existência, na história, de movimentos de grande amplitude que os povos de chumbo em seu pico, em seguida, em seu declínio.

No entanto, uma matematização das ciências humanas apresenta perigos. No polêmico ensaio Impostures intellectuelles , Sokal e Bricmont denunciam a relação, infundada ou abusiva, da terminologia científica, em particular da matemática e da física, nas ciências humanas. O estudo de sistemas complexos (evolução do desemprego, capital de uma empresa, evolução demográfica de uma população, etc.) requer conhecimentos matemáticos elementares, mas a escolha de critérios de contagem, especialmente no caso de desemprego, ou modelagem pode ser controversa.

Ecologia

A ecologia também usa um grande número de modelos para simular a dinâmica populacional , estudar ecossistemas como o modelo presa-predador, medir a propagação da poluição ou avaliar as mudanças climáticas resultantes do aquecimento. Essas ferramentas permitem a comunicação sobre dados criptografados, a fim de eventualmente criticá-los ou compará-los entre si. Surge então o problema de validar esses modelos, especialmente no caso em que os resultados podem influenciar as decisões políticas e onde a existência de modelos contraditórios permite aos Estados escolher o mais favorável à sua decisão.

Relação com astrologia, esoterismo

A matemática há muito tem ligações estreitas com a astrologia . Isso, por meio de mapas astrais, serviu de motivação no estudo da astronomia. Matemáticos renomados também eram considerados grandes astrólogos. Podemos citar Ptolomeu , os astrônomos de língua árabe, Regiomontanus , Cardan , Kepler ou John Dee . Na Idade Média, a astrologia era considerada uma ciência que se enquadrava na matemática. Assim, Theodor Zwingler indica em sua grande enciclopédia, a respeito da astrologia, que é uma ciência matemática que lida com "o movimento ativo dos corpos na medida em que atuam sobre outros corpos" e reserva à matemática o cuidado de "calcular com probabilidade as influências [ das estrelas] ” ao prever suas “ conjunções e oposições ” . As teorias astrológicas ocidentais se gabam de seguir métodos científicos. Em particular, a astrologia estatística usa testes estatísticos para destacar possíveis correlações entre a posição das estrelas e o destino dos homens. No entanto, esses estudos iniciados por Choisnard e Gauquelin , realizados à margem da pesquisa científica, não foram, desde 2009, produtivos e não forneceram qualquer prova admissível de uma relação de causa e efeito.

A matemática também é um componente do esoterismo . Muito freqüentemente, os próprios matemáticos foram tentados a encontrar na figura ou número um significado oculto que serve como uma chave para a descoberta do mundo. Na escola pitagórica, cada número tem um significado simbólico e o juramento dos iniciados teria sido expresso na frente de um tretraktys . Da mesma forma, Platão não se contenta em enumerar os sólidos que levam seu nome, ele atribui a cada um deles uma natureza (água, terra, fogo, ar, universo). Aritmosofia, numerologia , gematria , aritmancia tentam, por meio de cálculos sobre números, encontrar significados ocultos em textos ou extrair deles propriedades preditivas. Encontramos esse fascínio pelo número e pela figura ainda hoje em que alguns atribuem virtudes ocultas a um pentagrama ou a um número dourado .

No XXI th  século, essas disciplinas não são mais ciência considerada.

Impacto cultural

Expressão artística

As notas que soam bem juntas para um ouvido ocidental são sons cujas frequências vibratórias fundamentais estão em proporções simples. Por exemplo, a oitava é uma duplicação da frequência, a quinta uma multiplicação por 32 .

Essa ligação entre frequências e harmonia foi detalhada em particular no Tratado sobre a Harmonia Reduzida aos Princípios Naturais de Jean-Philippe Rameau , compositor francês barroco e teórico da música. É baseado em parte na análise dos harmônicos ( notados de 2 a 15 na figura a seguir) de um som fundamental de dó baixo ( notado 1 ), os primeiros harmônicos e suas oitavas soando bem entre eles.

Se a curva desenhada em vermelho, que segue as notas harmônicas, tem uma aparência logarítmica , isso corresponde à razão entre dois fenômenos:

  • por um lado, a representação da altura de um som pelo nosso sistema auditivo que é proporcional ao logaritmo da frequência do som (uma frequência dupla corresponde sempre à mesma "distância sonora" chamada oitava );
  • por outro lado, as frequências harmônicas que são múltiplos inteiros da frequência fundamental.
Fractal com simetria de escala e simetria central.

Os ocidentais associam certa beleza a figuras simétricas. A simetria de uma figura geométrica é, intuitivamente, a existência de um padrão da figura que se repete segundo uma regra precisa, embora seja parcialmente transformado. Matematicamente, uma simetria é a existência de uma ação não trivial de um grupo , muitas vezes por isometria , ou seja, que preserva as distâncias sobre a figura. Em outras palavras, a intuição da regra é matematicamente realizada pelo fato de ser um grupo que atua sobre a figura, e a sensação de que uma regra governa a simetria se deve justamente à estrutura algébrica desse grupo.

Por exemplo, o grupo relacionado à simetria de espelho é o grupo cíclico de dois elementos, ℤ / 2ℤ. Um teste de Rorschach é uma figura invariante por essa simetria, como uma borboleta e mais geralmente o corpo dos animais, pelo menos na superfície. Quando desenhamos a superfície do mar, todas as ondas têm uma simetria por translação: movendo o nosso olhar o comprimento que separa duas cristas de ondas não altera a visão que temos do mar simetria, desta vez não isométrica e quase sempre apenas aproximada , é aquele apresentado por fractais  : um certo padrão é repetido em todas as escalas de visão.

Popularização

O objetivo da popularização da matemática é apresentar a matemática em uma linguagem desprovida de termos técnicos. Como o objeto de estudo da matemática não tem realidade física, a popularização freqüentemente usa um vocabulário pictórico e comparações ou analogias não rigorosas para transmitir a ideia de desenvolvimentos matemáticos. Entre as obras que estabeleceram esse objetivo estão Oh, a matemática de Yakov Perelman e O livro que te deixa louco de Raymond Smullyan . No entanto, a matemática raramente é popularizada em jornais impressos ou de televisão.

  • A revista Tangente , a aventura matemática é a principal revista de divulgação matemática publicada na França.
  • A revista Imagens da Matemática , apoiada pelo Centro Nacional de Pesquisas Científicas (CNRS), também está assumindo o desafio. Ele permite que o maior número possível de pessoas descubra a pesquisa matemática contemporânea e seu ambiente.
  • A revisão Accromαth é apoiada pelo Instituto de Ciências Matemáticas e Centro de Pesquisa Matemática de Montreal . Ele é destinado principalmente a alunos e professores do ensino médio e do CEGEP e é distribuído gratuitamente em Quebec .
  • O jornal online Délibéré publica todas as semanas, desde dezembro de 2015, a coluna matemática de Yannick Cras intitulada “O número imaginário”.
  • A revista Quadrature, publicada a cada trimestre, é destinada a professores, alunos, engenheiros e entusiastas da matemática. O nível dos artigos é variável e alguns são acessíveis a partir do terminal científico ou do Math-Sup. Os autores são matemáticos, mas também professores e alunos. A quadratura é eclética: alguns artigos apresentam matemática muito recente, enquanto outros trazem um novo ponto de vista sobre assuntos tradicionais ou mesmo ressuscitam questões da geometria antiga.

Literatura e filmografia

Se várias biografias se relacionam com matemáticos, a matemática é certamente um assunto pouco explorado na literatura ou na filmografia, mas presente.

Romances

Filmes

Teatro

Show de drama
  • The Proof of David Auburn , 2000 ( Proof ,   ed. Dramatist's Play Service , 2002)
  • Denis Guedj , Um show zero: show aritmético em 0 ato e 1 quadro branco; (seguido por) Do ponto ... à linha: espetáculo geométrico em linha ... e na superfície , Paris, Seuil ,, 61  p. ( ISBN  978-2-02-037379-1 , OCLC  48908950 )
  • Caso 3.14 , Logical Island Company (Cédric Aubouy)
  • Galois Poincaré, mitos e matemática , The Logical Island Company (Cédric Aubouy, David Latini)
Especialistas em teatro de ciência
  • O Teatro Científico de Louis Figuier , Fabienne Cardot, Romantisme , 1989
  • Teatro e ciência, O fundador duplo , Jacques Baillon, L'Harmattan , 1998
  • Pesquisa teatral em um instituto tecnológico e científico , Ouriel Zohar , em Theatre and Science ,   ed. P r  Lucile Garbagnati, F. Montaclair e D. Vingler, Prensas do Centro da Unesco de Besançon e do Teatro da Universidade de Franche-Comté, Besançon, 1998.
  • Teatro e material, Os motores da representação , Jacques Baillon, L'Harmattan, 2002
  • O Teatro da Ciência , Michel Valmer, CNRS Éditions, 2006
  • Ciência no palco, do D Dr.  Faustus a Copenhagen , Kirsten Shepherd-Barr, Princeton University Press , 2006.
  • O modelo científico no teatro de Tom Stoppard , Liliane Campos, em Epistemocriticism , Revista de estudos e pesquisas em literatura e conhecimento, vol.  II , 2008
  • Ilha da lógica , teatro e palhaços na lógica, matemática e física teórica (CNRS, Escola Politécnica), Cédric Aubouy. 2008

programas de televisão

  • Numb3rs , série de Nicolas Falacci e Cheryl Heuton.
  • Eureka , série de televisão criada por Andrew Cosby e Jaime Paglia.
  • Stargate Universe , série de televisão criada por Brad Wright e Robert C. Cooper.

Origens

Notas e referências

  1. (in) E. Wigner, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences  (in)  " , Common. Pure Appl. Matemática. , vol.  13, n o  1,, p.  1-14 ( ler online ).
  2. (in) The Oxford Dictionary of English Etymology , Oxford University Press .
  3. Cédric Villani , " Tudo é matemático ", conferência Honoris Causa de Cédric Villani no HEC Paris  " , em youtube.com ,(acessado em 17 de dezembro de 2016 ) , p.  1h33m27s
  4. (en) A matemática do antigo Egito. Numeração, metrologia, aritmética, geometria e outros problemas, 2014 , Safran (edições) .
  5. (in) Elementos de Euclides (site interativo).
  6. Michel Paty, mathesis universalis e inteligibilidade em Descartes [PDF] .
  7. Conferência sobre os fundamentos da matemática , por Jean-Yves Girard , 17 de junho de 2002, Universidade de todo o conhecimento .
  8. As relações entre matemáticos puros e aplicados baseiam-se na confiança e na compreensão. Matemáticos puros não confiam em matemáticos aplicados, e matemáticos aplicados não entendem matemáticos puros ”, no Gabinete de Curiosidades Matemáticas do Professor Stewart
  9. (en) Matemática em Crystalinks.com.
  10. (em) Veja a edição especial de dezembro de 2008 dos Notices of the American Mathematical Society dedicado à demonstração formal.
  11. Nicolas Bouleau, Proceedings of the Canadian Study Group in Mathematics Education [PDF] , página 24 .
  12. TEDxParis 2012 - Cedric Villani - The Birth of Ideas  " [vídeo] , no YouTube (acessado em 2 de agosto de 2020 ) .
  13. Resultados do PISA 2015 (Volume I) (Resumo em espanhol)  ", Resultados do PISA 2015 (Volume I) ,( ISSN  1996-3777 , DOI  10.1787 / 3a838ef3-es , lido online , acessado em 7 de maio de 2021 )
  14. (em) Kathleen M. Jodl , Alice Michael , Oksana Malanchuk e Jacquelynne S. Eccles , Parents 'Roles in Shaping Early Adolescents' Occupational Aspirations  " , Child Development , Vol.  72, n o  4, 2001-08-xx, p.  1247–1266 ( ISSN  0009-3920 e 1467-8624 , DOI  10.1111 / 1467-8624.00345 , ler online , acessado em 7 de maio de 2021 )
  15. Simpkins, SD, David-Kean, P. e Eccles, JS, “  Motivação matemática e científica: Um exame longitudinal das ligações entre escolhas e crenças.  », Developmental Psychology, vol. 42, nº 1 ,, p. 70-83 (DOI: 10.1037 / 0012-1649.42.1)
  16. (em) EC Melhuish , K. Sylva , P. Sammons e I. Siraj-Blatchford , THE EARLY YEARS: Preschool Influences are Mathematics Achievement  " , Science , vol.  321, n o  5893,, p.  1161–1162 ( ISSN  0036-8075 e 1095-9203 , DOI  10.1126 / science.1158808 , lido online , acessado em 7 de maio de 2021 )
  17. (in) Selcuk R. Sirin , Status Socioeconômico e Realização Acadêmica: Uma Revisão Meta-Analítica da Pesquisa  " , Review of Educational Research , Vol.  75, n o  3, 2005-09-xx, p.  417-453 ( ISSN  0034-6543 e 1935-1046 , DOI  10.3102 / 00346543075003417 , ler online , acessado em 7 de maio de 2021 )
  18. UNESCO, Decifrando o Código: Educando Meninas e Mulheres em Ciência, Tecnologia, Engenharia e Matemática (STEM) , Paris, UNESCO,( ISBN  978-92-3-200139-9 , ler online ) , Página 47
  19. (em) Harriet R. Tenenbaum e Campbell Leaper , Parent-child conversations about science: The socialization of Gender Inequities  ” , Developmental Psychology , vol.  39, n o  1,, p.  34-47 ( ISSN  1939-0599 e 0012-1649 , DOI  10.1037 / 0012-1649.39.1.34 , ler online , acessado em 7 de maio de 2021 )
  20. UNESCO, Decifrando o Código: Educação de Meninas e Mulheres em Ciência, Tecnologia, Engenharia e Matemática (STEM) , Paris, UNESCO,( ISBN  978-92-3-200139-9 , leia online )
  21. Aviso sobre Charles Lagrange por André Jaumotte ( Universidade Livre de Bruxelas ), no site da Royal Academy of Belgium
  22. Dicionário em economia e ciências sociais, Ed.Nathan Paris, dicionário Larousse em 3. vol, Paris. As definições de ciclos são numerosas, entre outras, nas ciências: evolução dos sistemas que os trazem de volta ao seu estado inicial ou, na sociologia, movimento (s) recorrente (s) da (s) atividade (s) política e econômica (s).
  23. Ver, por exemplo, Anne Laurent, Roland Gamet, Jérôme Pantel, Novas tendências em modelagem para o meio ambiente, anais de conferências “Programa de meio ambiente, vida e sociedades” de 15 a 17 de janeiro de 1996, CNRS
  24. Nicolas Bouleau , Filosofia da matemática e modelagem: de pesquisador a engenheiro , Harmattan,, p. 282-283
  25. Birch 1999 , p.  285.
  26. Birch 1999 , p.  287.
  27. Guy Beaujouan, "Compreendendo e dominando a natureza na Idade Média", Hautes Études Médiévales et Modernes , Vol.13, Librairie Droz, 1994, p.  130
  28. A. Dahan-Dalmedico e J. Peiffer , A History of Mathematics: Roads and Mazes ,[ detalhe das edições ], p.  47 .
  29. Platão, O Timeu, 53c - 56c
  30. Astrologia posta à prova: não funciona, nunca funcionou!" - Afis - Associação Francesa de Informação Científica  ” , em www.pseudo-sciences.org (acessado em 3 de fevereiro de 2016 )
  31. Jean-Philippe Rameau , Tratado de Harmonia , Paris, Méridiens Klincksieck , col.  "Coleção de musicologia",( 1 st  ed. 1722), 432  p. ( ISBN  978-2-86563-157-5 )
  32. http://accromath.uqam.ca/
  33. Yannick Cras, "  O número imaginário  ", deliberado , desde dezembro de 2015 ( ler online , consultado em 22 de abril de 2017 )
  34. http://www.quadrature.info/

Apêndices

Bibliografia

  • Instituto Henri-Poincaré , Objetos matemáticos , CNRS, 2017
  • Carina Louart, Florence Pinaud, É matemático! Actes Sud Junior, 2014
  • Jean-Pierre Escofier, História da matemática , Dunod, 2008
  • Jean-Marc Buret, Maths explicou simplesmente - As bases empoeiradas e o prazer de compreender , Ellipses 2019, ( ISBN  9782340031777 )

Artigos relacionados

links externos

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