Fator de qualidade

O fator de qualidade (ou fator Q ) de um sistema é uma medida sem unidade da taxa de amortecimento de um oscilador . Q é geralmente definido por uma razão de energia:

{\ displaystyle Q \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ 2 \ pi \ times {\ frac {E_ {sys}} {E_ {dis}}}}

onde é a energia máxima contida no sistema e é a energia dissipada pelo sistema durante um período. ${\ displaystyle E_ {sys}}$ ${\ displaystyle E_ {dis}}$

Quanto maior o fator de qualidade, mais tempo durarão as oscilações de um ressonador livre .

Q também pode ser definido como a razão da frequência natural (frequência na qual o ganho é máximo) para a largura da largura de banda da ressonância do sistema: $\ nu_0$ $\ Delta \ nu$ $Q = {\ frac {\ nu _ {0}} {\ Delta \ nu}}$

Quanto maior for o fator de qualidade, menor será a largura de banda e mais "nítida" será a ressonância. O fator de qualidade permite, portanto, quantificar a "qualidade de um filtro" (seja ele eletrônico, acústico, óptico, etc.): quanto maior o Q, mais seletivo é o filtro.

Q também pode ser determinado a partir da equação diferencial que governa a evolução do sistema, colocando-o na forma canônica. O fator de qualidade permite determinar a natureza do regime transitório de um sistema oscilatório (aperiódico, crítico ou pseudo-periódico)

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Fator de qualidade de um oscilador elétrico

No caso de um oscilador elétrico, vale o fator de qualidade , onde é a própria pulsação do oscilador (expressa em rad / s) e é a constante de tempo que caracteriza o amortecimento exponencial da energia nas oscilações do regime transicional. Esta constante de tempo é metade da constante de tempo que caracteriza a exponencial de amortecimento de corrente ou tensão durante as oscilações do transitório: . ${\ displaystyle Q = \ omega _ {0} \, \ tau _ {E} \}$ $\ omega _ {0} \,$ $\ tau _ {E} \,$ ${\ displaystyle Q = {\ frac {1} {2}} \, \ omega _ {0} \, \ tau _ {q}}$

Fator de qualidade de um oscilador óptico

O fator de qualidade de uma cavidade óptica ressonante , como a de um interferômetro Fabry-Perot, pode ser definido como uma função da vida útil dos fótons na cavidade : $\ tau$

${\ displaystyle Q = 2 \ pi \, \ tau \, \ nu _ {0}}$

ou dependendo do intervalo espectral livre da cavidade ISL e a finura F:

${\ displaystyle Q = {\ frac {{\ mathcal {F}} \, \ nu _ {0}} {\ mathrm {ISL}}} \,}$ .

Fator de qualidade de um filtro eletrônico

O fator de qualidade representa a seletividade do filtro passa-banda:

$Q = {\ frac {f_ {0}} {\ Delta f}}$

onde : frequência na qual o ganho é máximo e : banda passante do filtro em -3 dB , ou seja, quando a amplitude de saída é reduzida por um fator √2 em comparação com o ganho máximo. É uma grandeza primordial na experimentação. $f_0$
$\ Delta f$

Fator de qualidade e oscilador harmônico amortecido

Um oscilador harmônico amortecido pode ser caracterizado por uma quantidade chamada taxa de amortecimento . Essa quantidade, geralmente observada , está relacionada ao fator de qualidade pela seguinte relação: $\ XI$

${\ displaystyle Q = {\ frac {1} {2 \ xi}}}$

Equações diferenciais

Na física, um grande número de problemas pode ser modelado por equações diferenciais lineares de segunda ordem; é o caso, por exemplo, da evolução da tensão nos terminais de um dipolo em um circuito RLC e de outros osciladores . Em geral, é então possível reduzir essa equação à seguinte forma canônica:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} X} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} (t) + {\ frac {\ omega _ {0}} {Q}} {\ frac {\ mathrm {d} X} {\ mathrm {d} t}} (t) + {\ omega _ {0}} ^ {2} X (t) = f (t)}

onde é a magnitude estudada em função do tempo e da pulsação do próprio sistema, expressa em radianos por segundo. é uma quantidade estritamente positiva sem dimensão, chamada de fator de qualidade; determina o sinal do discriminante da equação quadrática associada e conseqüentemente a natureza das soluções da equação homogênea, correspondentes ao regime transiente. $X (t)$ $\ omega_0$ $Q$ ${\ displaystyle r ^ {2} + {\ frac {\ omega _ {0}} {Q}} \, r + \ omega _ {0} ^ {2} = 0}$

Assim, se , o espaço de soluções da equação homogênea é da forma , que corresponde a um regime aperiódico. Se o regime transitório é considerado crítico, as soluções pertencem ao todo . Finalmente, se , o regime transiente é pseudoperiódico, e as funções de solução da equação homogênea são encontradas em . As constantes , , e são períodos de amortização, e um pulso, que dependem exclusivamente em e . $Q <{\ frac 12}$ ${\ displaystyle \ {t \ mapsto \ lambda \, e ^ {r_ {1} \, t} + \ mu \, e ^ {r_ {2} \, t} \ mid (\ lambda, \ mu) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \}}$ $Q = {\ frac 12}$ $\ {t \ mapsto (\ lambda + \ mu t) e ^ {{r_ {0} \ times t}} | (\ lambda, \ mu) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \}$ $Q> {\ frac 12}$ ${\ displaystyle \ lbrace t \ mapsto A \, e ^ {t / \ tau} \ cos (\ omega t + \ varphi) \ mid (A, \ varphi) \ in \ mathbb {R} _ {+} \ times [0; 2 \ pi [\ rbrace}$ $r_ {0}$ $r_1$ $r_2$ $\ tau$ $\ómega$ $\ omega_0$ $Q$

No regime pseudoperiódico, o tempo de amortecimento aumenta com o fator de qualidade; o oscilador se aproxima do modelo do oscilador harmônico conforme tende para . $Q$ $+ \ infty$

Graficamente

O fator de qualidade também pode ser avaliado a partir do gráfico que mostra a amplitude das oscilações amortecidas em função do tempo. A constante de tempo das oscilações é o instante em que a tangente inicial do envelope exponencial intercepta o eixo x. Em seguida, conte o número de oscilações pseudo-periódicas que ocorrem durante esse tempo e use a definição . $Q = \ omega _ {0}. \ Tau _ {E} = {\ frac 12}. \ Omega _ {0}. \ Tau _ {q}$

NB: isto supõe implicitamente que a pulsação do regime transiente é igual à própria pulsação do filtro. Isso só é correto para fatores de alta qualidade, porque, devido ao amortecimento, o pseudo-período de oscilações transitórias é ligeiramente mais longo que o período natural. $\ omega_0$

Referências

Enciclopédia de Física e Tecnologia Laser