Força Lorentz
A força de Lorentz , ou força eletromagnética, é a força experimentada por uma partícula carregada em um campo eletromagnético .
É a principal manifestação da interação eletromagnética . A força de Lorentz, aplicada em várias situações, induz todas as interações elétricas e magnéticas observadas; é, portanto, principalmente estudado em física e química .
Os efeitos quânticos que afetam a força eletromagnética são estudados no contexto da eletrodinâmica quântica .
A força de Lorentz com o mesmo nome é o físico holandês Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928)
Descrição Matemática
O campo eletromagnético exerce a seguinte força sobre as partículas com uma carga elétrica diferente de zero
q
F→=qE→+qv→∧B→{\ displaystyle {\ vec {F}} = q {\ vec {E}} + q {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {B}}}.
Os vetores e são respectivamente o campo elétrico e o campo magnético tomado no ponto onde a partícula está localizada, representam a velocidade da partícula no referencial de estudo. Podemos distinguir duas contribuições para esta força:
E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}
-
Fel→=qE→{\ displaystyle {\ vec {F _ {\ text {el}}}} = q {\ vec {E}}}, que é a força elétrica;
-
Fmag→=qv→∧B→{\ displaystyle {\ vec {F _ {\ text {mag}}}} = q {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {B}}}, que é a força magnética.
No caso em que a carga elétrica é estacionária em uma determinada posição nomeada , sua velocidade é, portanto, zero e não está sujeita a nenhuma força magnética: o produto vetorial é zero, e a carga é então submetida a uma força que depende apenas de o campo elétrico .
r→′{\ displaystyle {\ vec {r}} '} v→∧B→{\ displaystyle {\ vec {vb}} \ wedge {\ vec {B}}}E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}
F→=Fel→=qE→{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ vec {F _ {\ text {el}}}} = q {\ vec {E}}}.
O campo elétrico exercido por ele é então dado pela lei de Coulomb :
r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}
E→=q4πε0r→-r′→|r→-r′→|3{\ displaystyle {\ vec {E}} = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {{\ vec {r}} - {\ vec {r '}}} {| {\ vec {r}} - {\ vec {r '}} | ^ {3}}}},
ε 0 é uma constante universal chamada de permissividade do vácuo (a ser substituída pela permissividade do meio, quando não estamos no vácuo).
A força é calculada somente quando o valor dos campos e é conhecido , que são determinados principalmente pela distribuição de todas as partículas carregadas envolvidas na configuração estudada.
E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}
Demonstração da fórmula da força de Lorentz
Historicamente, a força de Lorentz era um dado independente da equação que descreve o campo eletromagnético. Podemos encontrar a força de Lorentz graças ao formalismo Lagrangiano . O Lagrangiano que permite encontrar as equações de Maxwell também permite encontrar a força de Lorentz. As equações de Maxwell são as equações de origem e a força de Lorentz é a equação evolutiva (equação dinâmica). Encontramos ambos graças à equação de Euler-Lagrange . Para encontrar as equações dinâmicas, aplicamos as equações de Euler-Lagrange às coordenadas dos espaços (posições, velocidades) e, para encontrar as equações de origem (equação de Maxwell), aplicamos as equações de Euler-Lagrange às coordenadas generalizadas (campos e derivados do campo). A ação de uma partícula com carga pontual submetida a um campo elétrico é:
S=∫t1t2(-mvs21-V→2vs2-qϕ+qNO→⋅V→)dt{\ displaystyle S = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ left (-mc ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ tfrac {{\ vec {V}} ^ {2 }} {c ^ {2}}}}} - q \ phi + q {\ vec {A}} \ cdot {\ vec {V}} \ right) dt}.
com
S=∫t1t2eudt{\ displaystyle S = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L \, dt}.
Para aplicar as equações de Euler-Lagrange, buscamos, portanto, primeiro o momento:
Π=∂eu∂V→=mV→1-V→2vs2+qNO→{\ displaystyle \ Pi = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ vec {V}}}} = {\ frac {m {\ vec {V}}} {\ sqrt {1 - {\ frac { {\ vec {V}} ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} + q {\ vec {A}}}A classificação é um pouco abusiva. A equação de Euler-Lagrange então nos diz que:
∂eu∂V→{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ vec {V}}}}}
dΠdt=d(P→+qNO→)dt=∂eu∂x→=-q∇ϕ+q∇(NO→.V→){\ displaystyle {\ frac {d \ Pi} {dt}} = {\ frac {d ({\ vec {P}} + q {\ vec {A}})} {dt}} = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ vec {x}}}} = - q \ nabla \ phi + q \ nabla ({\ vec {A}}. {\ vec {V}})}.
e
dNO→dt=∂NO→∂t+(V→.∇)NO→{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {A}}} {dt}} = {\ frac {\ parcial {\ vec {A}}} {\ parcial t}} + ({\ vec {V}} . \ nabla) {\ vec {A}}}.
portanto
dP→dt+q∂NO→∂t+q(V→.∇)NO→=-q∇ϕ+q∇(NO→.V→){\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {P}}} {dt}} + q {\ frac {\ parcial {\ vec {A}}} {\ parcial t}} + q ({\ vec {V }}. \ nabla) {\ vec {A}} = - q \ nabla \ phi + q \ nabla ({\ vec {A}}. {\ vec {V}})}.
E usando identidade vetorial
V→∧(∇∧NO→)=∇(NO→⋅V→)-(V→⋅∇)NO→{\ displaystyle {\ vec {V}} \ wedge (\ nabla \ wedge {\ vec {A}}) = \ nabla ({\ vec {A}} \ cdot {\ vec {V}}) - ({\ vec {V}} \ cdot \ nabla) {\ vec {A}}}.
nós obtemos
dP→dt=-q∂NO→∂t-q∇ϕ+q(V→∧(∇∧NO→)){\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {P}}} {dt}} = - q {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} - q \ nabla \ phi + q \ left ({\ vec {V}} \ wedge (\ nabla \ wedge {\ vec {A}}) \ right)}.
ou a força de Lorentz se
∇∧NO→=B→{\ displaystyle \ nabla \ wedge {\ vec {A}} = {\ vec {B}}}.
e
E→=-∇ϕ-∂NO→∂t{\ displaystyle {\ vec {E}} = - \ nabla \ phi - {\ frac {\ parcial {\ vec {A}}} {\ parcial t}}}.
Também podemos fazer aparecer a força de Lorentz graças às equações de Maxwell, ela aparece como termo fonte na equação de continuidade da densidade de impulso do campo eletromagnético. É
∂(E→∧B→)µ0∂t+ρE→+j→∧B→-∇σ=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial ({\ vec {E}} \ wedge {\ vec {B}})} {\ mu _ {0} \ partial t}} + \ rho {\ vec {E}} + {\ vec {j}} \ wedge {\ vec {B}} - \ nabla \ sigma = 0}.
com o tensor de tensão Maxwell.
σ{\ displaystyle \ sigma}
Podemos também passar pelo formalismo relativístico de Lagrange , aplicado à relatividade especial . Nesse contexto, o movimento de uma partícula ao longo da trajetória x b ( τ ) submetida ao campo eletromagnético é descrito por sua ação , que assume a forma
, onde a quantidade A i é o que chamamos de quadrupotencial , de onde se extrai o o potencial elétrico e o potencial vetorial que determinam inteiramente o campo elétrico e o campo magnético.
S=∫qNObdxb{\ displaystyle S = \ int qA_ {b} \; {\ rm {d}} x ^ {b}}
Definimos, como de costume na relatividade especial, a quadrispeed por
vocêno≡dxnodτ,{\ displaystyle u ^ {a} \ equiv {\ frac {\ rm {dx ^ {a}}} {\ rm {d \ tau}}} \ quad,}o que torna possível reescrever a ação no formulário
S=∫qNObvocêbdτ{\ displaystyle S = \ int qA_ {b} u ^ {b} \; {\ rm {d}} \ tau}.
No formalismo da ação (que é a integral do Lagrangiano ), a trajetória é determinada pela maximização da ação em relação às possíveis variações da trajetória x b ( τ ). A trajetória aparece explicitamente no quadrivetor de velocidade, mas também implicitamente no quadripotencial, uma vez que este é avaliado em cada ponto da trajetória. Assim, a variação da ação dá
δS=∫q(NObdδxbdτ+δxno∂noNObvocêb)dτ{\ displaystyle \ delta S = \ int q \ left (A_ {b} {\ frac {{\ rm {d}} \ delta x ^ {b}} {{\ rm {d}} \ tau}} + \ delta x ^ {a} \ parcial _ {a} A_ {b} u ^ {b} \ direita) \; {\ rm {d}} \ tau}.
Podemos integrar o primeiro termo por parte, para obter
δS=∫q(-dNObdτδxb+δxno∂noNObvocêb)dτ{\ displaystyle \ delta S = \ int q \ left (- {\ frac {{\ rm {d}} A_ {b}} {{\ rm {d}} \ tau}} \ delta x ^ {b} + \ delta x ^ {a} \ partial _ {a} A_ {b} u ^ {b} \ right) \; {\ rm {d}} \ tau},
mas como o quadripotencial depende só é avaliado em pontos das trajetórias, temos
δS=∫q(-vocêno∂noNObδxb+δxno∂noNObvocêb)dτ{\ displaystyle \ delta S = \ int q \ left (-u ^ {a} \ parcial _ {a} A_ {b} \ delta x ^ {b} + \ delta x ^ {a} \ parcial _ {a} A_ {b} u ^ {b} \ right) \; {\ rm {d}} \ tau}.
Ao agrupar todos os termos, chega-se
δS=∫q((∂noNOb-∂bNOno)vocêb)δxnodτ{\ displaystyle \ delta S = \ int q \ left ((\ partial _ {a} A_ {b} - \ partial _ {b} A_ {a}) u ^ {b} \ right) \; \ delta x ^ {a} \; {\ rm {d}} \ tau}.
O termo da integral separada de d τ e de δx a fornece a força. Ao introduzir o tensor eletromagnético F ab de modo que
Fnob=∂noNOb-∂bNOno{\ displaystyle F_ {ab} = \ parcial _ {a} A_ {b} - \ parcial _ {b} A_ {a}},
a força f a é, portanto, escrita
fno=qFbnovocêb{\ displaystyle f ^ {a} = qF _ {\; \; b} ^ {a} u ^ {b}}.
Devido à estrutura das equações de Maxwell, é mostrado que o campo magnético pode ser escrito como a rotação de um vetor, o potencial vetorial do campo magnético . No entanto, a parte espacial do tensor eletromagnético pode ser escrita, se alguém se posicionar nas coordenadas cartesianas x , y , z ,
Fbno=(0????0∂xNOy-∂yNOx∂xNOz-∂zNOx?∂yNOx-∂xNOy0∂yNOz-∂zNOy?∂zNOx-∂xNOz∂zNOy-∂yNOz0)=(0????0(rotNO)z-(rotNO)y?-(rotNO)z0(rotNO)x?(rotNO)y-(rotNO)x0){\ displaystyle F _ {\; \; b} ^ {a} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 &? &? &? \\? & 0 & \ partial _ {x} A ^ {y} - \ parcial _ {y} A ^ {x} & \ parcial _ {x} A ^ {z} - \ parcial _ {z} A ^ {x} \\? & \ parcial _ {y} A ^ {x} - \ parcial _ {x} A ^ {y} & 0 & \ parcial _ {y} A ^ {z} - \ parcial _ {z} A ^ {y} \\? & \ parcial _ { z} A ^ {x} - \ parcial _ {x} A ^ {z} & \ parcial _ {z} A ^ {y} - \ parcial _ {y} A ^ {z} & 0 \ end {matriz} } \ right) = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 &? &? &? \\? & 0 & ({\ rm {rot}} \; A) ^ {z} & - ({ \ rm {rot}} \; A) ^ {y} \\? & - ({\ rm {rot}} \; A) ^ {z} & 0 & ({\ rm {rot}} \; A) ^ {x} \\? & ({\ rm {rot}} \; A) ^ {y} & - ({\ rm {rot}} \; A) ^ {x} & 0 \ end {array}} \ direito)}.
Aplicado à parte espacial da velocidade quádrupla, verificamos, observando a rotação de , que temos
B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}NO→{\ displaystyle {\ vec {A}}}
Fbnovocêb=(?vyBz-vzByvzBx-vxBzvxBy-vyBx)+...=(?v→∧B→ ){\ displaystyle F _ {\; \; b} ^ {a} u ^ {b} = \ left ({\ begin {array} {c}? \\ v ^ {y} B ^ {z} -v ^ {z} B ^ {y} \\ v ^ {z} B ^ {x} -v ^ {x} B ^ {z} \\ v ^ {x} B ^ {y} -v ^ {y} B_ {x} \ end {array}} \ right) + ... = \ left ({\ begin {array} {c}? \\\\ {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {B}} \ \ ~ \ end {array}} \ right)}.
Se agora considerarmos além dos componentes temporais do tensor F , temos
Fbno=(0-1vs2∂tNO→-∇→NOt0Bz-By-∇→NOt-∂tNO→-Bz0BxBy-Bx0){\ displaystyle F _ {\; \; b} ^ {a} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 && - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ partial _ { t} {\ vec {A}} - {\ vec {\ nabla}} A ^ {t} & \\ & 0 & B ^ {z} & - B ^ {y} \\ - {\ vec {\ nabla }} A_ {t} - \ parcial _ {t} {\ vec {A}} & - B ^ {z} & 0 & B ^ {x} \\ & B ^ {y} & - B ^ {x} & 0 \ end {array}} \ right)}.
Agora, dadas as equações de Maxwell, sabemos que podemos escrever o campo elétrico como a soma do oposto da derivada temporal do potencial vetorial e do gradiente do potencial elétrico , que assimilaremos a A t . Temos, portanto, a expressão quadridimensional da força:
Fbnovocêb=(E→⋅v→vs2E→+v→∧B→ ){\ displaystyle F _ {\; \; b} ^ {a} u ^ {b} = \ left ({\ begin {array} {c} {\ frac {{\ vec {E}} \ cdot {\ vec {v}}} {c ^ {2}}} \\\\ {\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {B}} \\ ~ \ end {array}} \ right)}.
Magnitude
A interação eletromagnética é a segunda das quatro interações elementares na ordem dos poderes. Em baixa energia, isto é, a das reações químicas ou nucleares, é cerca de cem vezes mais fraca do que a interação forte , mas excede as interações fracas e gravitacionais por um fator de 10 11 e 10 42, respectivamente. Com exceção dos fenômenos gravitacionais, a interação eletromagnética é responsável, na escala atômica, pela maioria dos fenômenos observáveis na escala macroscópica. Com efeito, na escala macroscópica, a interação eletromagnética impede que um objeto cruze outro, permite que um objeto aplique uma força sobre outro ( princípio de ação-reação ) ou é responsável pelas forças de atrito.
Lorentz force work
O trabalho da força de Lorentz corresponde à energia transmitida pelo campo eletromagnético às partículas carregadas.
Para um deslocamento elementar do ponto de aplicação da força, o trabalho elementar da força de Lorentz é por definição:
dℓ→{\ displaystyle d {\ vec {\ ell}}}F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}
δC=F→⋅dℓ→{\ displaystyle \ delta W = {\ vec {F}} \ cdot d {\ vec {\ ell}}}
δC=(qE→+qv→∧B→)⋅dℓ→{\ displaystyle \ delta W = (q {\ vec {E}} + q {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {B}}) \ cdot d {\ vec {\ ell}}}
Como temos por definição , vem:
dℓ→=v→dt{\ displaystyle d {\ vec {\ ell}} = {\ vec {v}} dt}
δC=qE→⋅v→dt+qv→∧B→⋅v→dt{\ displaystyle \ delta W = q {\ vec {E}} \ cdot {\ vec {v}} dt + q {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {B}} \ cdot {\ vec {v }} dt}O segundo termo desaparece, o vetor produzido sendo ortogonal a . Portanto, finalmente encontramos:
v→∧B→{\ displaystyle {\ vec {vb}} \ wedge {\ vec {B}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}
δC=qE→⋅v→dt{\ displaystyle \ delta W = q {\ vec {E}} \ cdot {\ vec {v}} dt}O trabalho da força de Lorentz, portanto, não é zero no caso geral. Por outro lado, vemos que a força magnética não funciona, apenas o componente elétrico funciona e pode, portanto, variar a energia cinética de uma partícula carregada.
Notas e referências
-
Diu e Leclecrq 2005 , sv Lorentz (força de), p. 391.
-
Taillet, Villain e Febvre 2018 , sv force de Lorentz, p. 315, col. 1 .
Veja também
Bibliografia
-
[Diu e Leclecrq 2005] Bernard Diu e Bénédicte Leclercq , La physique word à mot , Paris, O. Jacob , col. "Ciências",Fevereiro 2005, 1 r ed. , 1 vol. , 721 p. , doente. e fig. , 15,5 × 24 cm ( ISBN 2-7381-1578-0 , EAN 9782738115782 , OCLC 300488981 , aviso BnF n o FRBNF39927635 , SUDOC 08469470X , apresentação on-line , ler on-line ) , sv Lorentz (força de), p. 391-392.
-
[Taillet, Villain e Febvre 2018] Richard Taillet , Loïc Villain e Pascal Febvre , Dicionário de física , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , fora do coll. / Ciência,Janeiro de 2018, 4 th ed. ( 1 st ed. Maio de 2008), 1 vol. , X -956 p. , doente. e fig. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , aviso BNF n O FRBNF45646901 , SUDOC 224228161 , apresentação on-line , ler on-line ) , sv força de Lorentz, p. 315, col. 1.
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