Medidor Lorenz
O medidor de Lorenz é uma condição que pode ser introduzida no eletromagnetismo ; esta condição leva o nome do físico dinamarquês Ludvig Lorenz (é frequentemente atribuída ao físico Hendrik Lorentz , provavelmente por causa de sua invariância sob as transformações de Lorentz ). A introdução da condição impõe uma ligação entre o potencial escalar e o potencial vetorial associado aos campos elétrico e magnético; os componentes do potencial vetorial e do potencial escalar formam então o quadrivetor potencial . Este medidor em particular provou ser prático, permitindo uma descrição totalmente relativística da eletrodinâmica.
Forma geral
A relação que define esta escolha de medidor é a seguinte:
∇⋅NO→+µ0ϵ0∂V∂t=0{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {A}} + \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ parcial V} {\ parcial t}} = 0}
Sua origem vem do fato de que tendo as equações de Maxwell, mostra-se que a propagação dos campos e no vácuo satisfaz a equação de d'Alembert (ver estabelecimento da equação de propagação a partir das equações de Maxwell ).
E→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {E}}}B→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {B}}}
Com esta escolha de medidor, podemos mostrar que o potencial escalar também satisfaz a equação de d'Alembert :
V{\ displaystyle V}
Primeiro, a equação de Maxwell-Faraday é escrita:
∇∧E→=-∂B→∂t=-∂∂t(∇∧NO→){\ displaystyle \ nabla \ wedge {\ vec {E}} = - {\ frac {\ parcial {\ vec {B}}} {\ parcial t}} = - {\ frac {\ parcial} {\ parcial t} } (\ nabla \ wedge {\ vec {A}})}
de onde ; portanto, é um gradiente e para ser consistente com a expressão estática , é necessário:
∇∧(E→+∂NO→∂t)=0→{\ displaystyle \ scriptstyle \ nabla \ wedge ({\ vec {E}} + {\ frac {\ parcial {\ vec {A}}} {\ parcial t}}) = {\ vec {0}}}E→+∂NO→∂t{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {E}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}}}E→=-∇V{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {E}} = - \ nabla V}
E→=-∇V-∂NO→∂t{\ displaystyle {\ vec {E}} = - \ nabla V - {\ frac {\ parcial {\ vec {A}}} {\ parcial t}}}
A equação de Maxwell-Gauss (com densidade de carga zero) torna-se então:
ρ{\ displaystyle \ rho}
∇⋅(-∇V-∂NO→∂t)=0{\ displaystyle \ nabla \ cdot (- \ nabla V - {\ frac {\ parcial {\ vec {A}}} {\ parcial t}}) = 0}
portanto -∂∂t(∇⋅NO→)-∇⋅(∇V)=0{\ displaystyle \ scriptstyle - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ nabla \ cdot {\ vec {A}}) - \ nabla \ cdot (\ nabla V) = 0}
Devemos, portanto, pedir (este é o medidor Lorenz ) para ter:
∇⋅NO→=-µ0ϵ0∂V∂t{\ displaystyle \ scriptstyle \ nabla \ cdot {\ vec {A}} = - \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ parcial V} {\ parcial t}}}
◻V=ϵ0µ0∂2V∂t2-∇2V=0{\ displaystyle \ Box V = \ epsilon _ {0} \ mu _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} V = 0}
Além disso, notamos que este medidor também permite que o potencial vetorial verifique a equação de d'Alembert . Basta escrever isso:
NO→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {A}}}
rot→(rot→NO→)=grnod→(divNO→)-∇2NO→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {\ mathrm {rot}}} {\ vec {A}}) = {\ vec {\ mathrm {grad}}} (\ operatorname { div} {\ vec {A}}) - \ nabla ^ {2} {\ vec {A}}}
mas então com Maxwell-Ampere no vácuo (portanto, o vetor de densidade de corrente é zero):
rot→NO→=B→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {rot}}} {\ vec {A}} = {\ vec {B}}} j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}
µ0ϵ0∂E→∂t=grnod→(divNO→)-∇2NO→{\ displaystyle \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}} = {\ vec {\ mathrm {grad}}} (\ operatorname {div} {\ vec {A}}) - \ nabla ^ {2} {\ vec {A}}}
mas sempre temos: portanto
E→=-∇V-∂NO→∂t{\ displaystyle {\ vec {E}} = - \ nabla V - {\ frac {\ parcial {\ vec {A}}} {\ parcial t}}}
∇2NO→-µ0ϵ0∂2NO→∂t2=grnod→(∇⋅NO→+µ0ϵ0∂V∂t){\ displaystyle \ nabla ^ {2} {\ vec {A}} - \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {A}}} {\ partial t ^ {2}}} = {\ vec {\ mathrm {grad}}} (\ nabla \ cdot {\ vec {A}} + \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ parcial V} {\ parcial t}})}
Portanto, com o medidor Lorenz , satisfaz a equação d'Alembert:
∇⋅NO→+µ0ϵ0∂V∂t=0{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {A}} + \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ parcial V} {\ parcial t}} = 0}NO→{\ displaystyle {\ vec {A}}}
◻NO→=ϵ0µ0∂2NO→∂t2-∇2NO→=0→{\ displaystyle \ Box {\ vec {A}} = \ epsilon _ {0} \ mu _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {A}}} {\ partial t ^ {2 }}} - \ nabla ^ {2} {\ vec {A}} = {\ vec {0}}}
O medidor de Lorenz é, portanto, a condição dos potenciais (vetorial e escalar) para que se movam da mesma forma que os campos e . No caso geral, onde as distribuições de carga e corrente não são mais necessariamente iguais a zero, os potenciais escalares e vetoriais satisfazem a equação de d'Alembert não homogênea:
E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}
◻V=1vs2∂2V∂t2-∇2V=1ϵ0ρ,◻NO→=1vs2∂2NO→∂t2-∇2NO→=µ0J→{\ displaystyle \ Box V = {\ dfrac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} V = {\ dfrac {1} {\ epsilon _ {0}}} \ rho, \, \, \, \, \ Box {\ vec {A}} = {\ dfrac {1} {c ^ {2} }} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {A}}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} {\ vec {A}} = \ mu _ {0 } {\ vec {J}}}
Essas equações evocam explicitamente que, sob a medida de Lorenz, os potenciais eletromagnéticos estão intimamente ligados por meio do formalismo da relatividade especial . Na verdade, eles são tratados, com respeito ao tempo e ao espaço, exatamente como sob a métrica de Minkowski (o d'Alembertiano é o produto escalar Minkowskiano do quadrivetor gradiente consigo mesmo).
◻{\ displaystyle \ Box}
As soluções explícitas dos potenciais escalares e vetoriais são as seguintes (eles verificam as equações de d'Alembert não homogêneas e a equação da condição de calibre de Lorenz e são, portanto, únicas pelo teorema da unicidade ):
V(r→,t)=14πϵ0∫universoρ(r→′,t-||r→-r→′||vs)||r→-r→′||d3r→′,NO→(r→,t)=µ04π∫universoJ→(r→′,t-||r→-r→′||vs)||r→-r→′||d3r→′{\ displaystyle V ({\ vec {r}}, t) = {\ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int \ limits _ {\ text {universe}} {\ dfrac { \ rho \ left ({\ vec {r}} ', t - {\ dfrac {|| {\ vec {r}} - {\ vec {r}}' ||} {c}} \ right)} { || {\ vec {r}} - {\ vec {r}} '||}} \, d ^ {3} {\ vec {r}}', \, \, \, \, {\ vec { A}} ({\ vec {r}}, t) = {\ dfrac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int \ limits _ {\ text {universe}} {\ dfrac {{\ vec {J}} \ left ({\ vec {r}} ', t - {\ dfrac {|| {\ vec {r}} - {\ vec {r}}' ||} {c}} \ right )} {|| {\ vec {r}} - {\ vec {r}} '||}} \, d ^ {3} {\ vec {r}}'}
Esses potenciais são explicitamente dependentes do tempo. Em sua avaliação, é necessário integrar em cada ponto do espaço em um tempo atrasado , em relação ao tempo em que os potenciais são avaliados, do tempo que um sinal de luz leva para percorrer a distância entre o ponto e o ponto em que é. avaliou os potenciais. Por esse motivo, os potenciais eletromagnéticos, formulados no medidor de Lorenz, são chamados de potenciais atrasados . Eles dificilmente são surpreendentes, considerando que a teoria da relatividade especial, que implica que nenhuma informação pode se propagar mais rápido do que a luz no vácuo, é construída sobre o eletromagnetismo.
r→′{\ displaystyle {\ vec {r}} '}t′{\ displaystyle t '}t{\ displaystyle {\ ce {t}}}r→′{\ displaystyle {\ vec {r}} '}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}
Medidor de Coulomb
Outra escolha de medidor parece possível; este é o medidor de Coulomb:
∇⋅NO→=0{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {A}} = 0},
que conduz directamente para a Poisson equação electrostática , . Este medidor é amplamente utilizado em física atômica e molecular e no caso de carga estática e distribuições de corrente.
∇2V=-1ϵ0ρ{\ displaystyle \ nabla ^ {2} V = - {\ dfrac {1} {\ epsilon _ {0}}} \ rho}
Bibliografia
As referências aos medidores de Lorenz e Coulomb são inúmeras. Pode-se, por exemplo, consultar Lev Landau e Evgueni Lifchits: Theoretical Physics, t. 2: Edições de teoria de campo MIR, Moscou 1966
Certos aspectos históricos são relatados pelos artigos a seguir, tornando relevante a atribuição desse calibre a Ludwig Lorenz a priori .
- L. Lorenz, " Sobre a Identidade das Vibrações da Luz com Correntes Elétricas " Philos. Mag. 34, 287-301, 1867.
-
- Bozhidar Z. Iliev, " The“ Lorenz gauge ”é nomeado em homenagem a Ludwig Valentin Lorenz! ", 2008, arxiv.org/abs/0803.0047v1
-
- Robert Nevels e Chang-Seok Shin, " Lorenz, Lorentz, and the Gauge ", IEEE Antennas and Propagatlon Magazine, Vol. 43, nº, 3, junho de 2001.
-
- JD Jackson e LB Okun, " raízes históricas da invariância de calibre ", Rev. Mod. Phys. 73, 663, 2001.
- D. Griffiths, " Introdução à Eletrodinâmica ", Pearson, Quarta Edição, 2012
Artigos relacionados
Notas e referências
-
Ver, por exemplo, Lev Landau e Evgueni Lifchits , Theoretical Physics , t. 2: Teoria de campo [ detalhe das edições ].
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">