Ponto Lagrange

Um ponto de Lagrange (anotado L 1 a L 5 ), ou, mais raramente, ponto de libração , é uma posição no espaço onde os campos de gravidade de dois corpos em movimento orbital em torno um do outro, e de massas substanciais, fornecem exatamente o ponto centrípeto força necessária para que este ponto no espaço acompanhe simultaneamente o movimento orbital dos dois corpos. No caso em que os dois corpos estão em órbita circular, esses pontos representam os locais onde um terceiro corpo, de massa desprezível, ficaria imóvel em relação aos outros dois, no sentido de que acompanharia sua rotação em torno de seu centro no mesma velocidade angular de gravidade comum sem que sua posição em relação a eles mude.

Em outras palavras, as forças gravitacionais exercidas por dois grandes corpos sobre um terço de massa desprezível, colocado em um ponto de Lagrange, são exatamente compensadas pela força centrífuga deste último. A posição do pequeno corpo, portanto, não mudará porque as três forças exercidas sobre ele se compensam.

Em número de cinco, esses pontos são divididos em dois pontos estáveis ​​chamados L 4 e L 5 , e três pontos instáveis ​​denotados de L 1 a L 3 . Eles são nomeados em homenagem ao matemático francês Joseph-Louis Lagrange . Eles estão envolvidos no estudo de certas configurações de objetos no Sistema Solar (principalmente para pontos estáveis) e na colocação de vários satélites artificiais (principalmente para pontos instáveis). Estes são os pontos notáveis ​​da "geometria de Roche  " (points-col e extrema), que permitem classificar em particular os vários tipos de estrelas binárias .

Os três pontos L 1 , L 2 e L 3 são algumas vezes chamados de pontos de Euler , em homenagem a Leonhard Euler , o nome de pontos de Lagrange sendo então reservado para os dois pontos L 4 e L 5 .

Os pontos L 4 e L 5 , em virtude de sua estabilidade, podem naturalmente atrair ou reter objetos por um longo tempo. Os pontos L 1 , L 2 e L 3 , por serem instáveis, não podem necessariamente manter os objetos por muito tempo, mas podem ser usados ​​em missões espaciais, com correções de órbita.

Histórico

Na mecânica celeste, há um assunto que fascinou muitos matemáticos: é o chamado problema dos três corpos . Newton , depois de ter enunciado sua lei que expressa que "os corpos se atraem com uma força proporcional ao produto de sua massa e inversamente proporcional ao quadrado da distância de seus centros", procurou descrever o comportamento de três corpos sem sucesso. . Devemos esperar o matemático Joseph-Louis Lagrange que, em 1772, estudou o caso de um corpo pequeno, de massa desprezível (o que hoje é chamado de corpo de teste ou partícula de teste ), submetido à atração de dois maiores: o Sol e , por exemplo, um planeta. Ele descobriu que havia posições de equilíbrio para o corpo pequeno, lugares onde todas as forças se equilibravam.

Definição

Um objeto de baixa massa localizado nesses pontos não se move mais em relação aos outros dois corpos e gira em conjunto com eles (por exemplo, um planeta e o Sol ). Se dermos como exemplo os pontos de Lagrange do sistema Sol - Terra , esses cinco pontos são anotados e definidos da seguinte forma (escala não respeitada):

• L 1  : na linha definida pelas duas massas, entre elas, a posição exata dependendo da relação de massa entre os dois corpos; no caso em que um dos dois corpos tem uma massa muito menor que o outro, o ponto L 1 está localizado muito mais próximo do corpo não muito massivo do que do corpo massivo.
• L 2  : na linha definida pelas duas massas, além da menor. No caso em que um dos dois corpos tem uma massa muito menor, a distância de L 2 a este corpo é comparável à distância entre L 1 e este corpo.
• L 3  : na linha definida pelas duas massas, além da maior. No caso em que um dos dois corpos é notavelmente menos massivo do que o outro, a distância entre L 3 e o corpo massivo é comparável à distância entre os dois corpos.
• L 4 e L 5  : nos vértices dos dois triângulos equiláteros cuja base é formada pelas duas massas. L 4 é o dos dois pontos à frente da órbita da menor massa, em sua órbita em torno da grande, e L 5 está atrás. Esses pontos são às vezes chamados de pontos triangulares de Lagrange ou pontos de Tróia , porque é o local onde os asteróides de Tróia do sistema Sol- Júpiter estão localizados . Ao contrário dos três primeiros pontos, estes dois últimos não dependem das massas relativas dos outros dois corpos.

Cálculo da posição dos pontos de Lagrange

O cálculo da posição dos pontos de Lagrange é feito considerando o equilíbrio de um corpo de massa desprezível entre o potencial gravitacional gerado por dois corpos em órbita e a força centrífuga . A posição dos pontos L 4 e L 5 pode ser obtida analiticamente. O dos outros três pontos L 1 a L 3 é obtido resolvendo numericamente, ou possivelmente usando uma expansão limitada , uma equação algébrica. A posição desses três pontos é dada na tabela abaixo, no caso em que a massa de um dos dois corpos (neste caso o número 2 ) é desprezível na frente do outro, localizado a uma distância R do anterior . As posições são dadas ao longo do eixo que liga os dois corpos, cuja origem é identificada no centro de gravidade do sistema, e cuja orientação vai do corpo 1 ao corpo 2 . As quantidades r 2 e q denotam respectivamente a posição do corpo 2 no eixo e a relação entre a massa do corpo mais leve e a massa total dos dois corpos. Finalmente, usamos a quantidade ε definida por ε  = ( q  / 3) 1/3 .

Apontar	Posição em relação ao centro de gravidade do sistema
L 1	r2+R(-ε+13ε2+19ε3+O(ε4)){\ displaystyle r_ {2} + R \ left (- \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} + {\ frac {1} {9}} \ varejpsilon ^ {3} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {4}) \ right)}
L 2	r2+R(ε+13ε2-19ε3+O(ε4)){\ displaystyle r_ {2} + R \ left (\ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varepsilon ^ {3} + { \ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {4}) \ right)}
L 3	-R+R(-512q+112720736q3+O(q4)){\ displaystyle -R + R \ left (- {\ frac {5} {12}} q + {\ frac {1127} {20736}} q ^ {3} + {\ mathcal {O}} (q ^ { 4}) \ direita)}

Na literatura, às vezes encontramos expressões um tanto diferentes, devido ao fato de que a origem do eixo é tomada em outro lugar que não o centro de gravidade, e que usamos como termo na base do desenvolvimento limitado a relação entre os dois. massas em vez da razão entre a massa menor e a massa total, ou seja, às vezes a quantidade q ' definida por . q′=m2M1=q1-q{\ displaystyle q '= {\ frac {m_ {2}} {M_ {1}}} = {\ frac {q} {1-q}}}

Detalhes de cálculo - Introdução Preliminares

Nós denotar por M 1 e m 2 a massa dos dois corpos, a massa do primeiro ser assumido como sendo maior do que ou igual ao do segundo. Os dois corpos são supostamente órbita circular, a sua separação ser R . Os dois corpos orbitam em torno de seu centro de gravidade comum. Nós denotar por r 1 e r 2 as distâncias algébrica dos dois corpos em relação a um eixo orientado a partir do corpo 1 ao corpo 2 (que equivale a dizer que R 1 será negativo e R 2 positivo). O centro de gravidade é definido pela equação

M1r1+m2r2=0{\ displaystyle M_ {1} r_ {1} + m_ {2} r_ {2} = 0},

com, por definição da distância R ,

r2-r1=R{\ displaystyle r_ {2} -r_ {1} = R}.

Essas duas equações têm por solução

r1=-m2MR{\ displaystyle r_ {1} = - {\ frac {m_ {2}} {M}} R}, r2=M1MR{\ displaystyle r_ {2} = {\ frac {M_ {1}} {M}} R},

onde denotamos M  =  M 1  +  m 2 a massa total do sistema.

Os dois corpos orbitam em torno um do outro a uma velocidade angular ω , cujo valor é dado pela terceira lei de Kepler  :

ω2=GMR3{\ displaystyle \ omega ^ {2} = {\ frac {GM} {R ^ {3}}}},

G sendo a constante gravitacional .

Se nos colocarmos na moldura giratória com os dois corpos, isto é, à velocidade angular ω , um corpo estacionário estará sujeito, além das forças gravitacionais dos dois corpos, à força centrífuga . Se denotarmos por r o raio vetorial deste corpo, a força centrífuga por unidade de massa f c à qual ele será submetido é escrita

fvs=rω2{\ displaystyle {\ boldsymbol {f}} _ {\ rm {c}} = {\ boldsymbol {r}} \; \ omega ^ {2}}.Equação fundamental

A definição de um ponto de Lagrange é que a soma das forças gravitacionais e inerciais desaparece nesses pontos. Ao denotar r o vetor de raio do (s) ponto (s) em questão, temos, portanto,

-GM1(r-r1)||r-r1||3-Gm2(r-r2)||r-r2||3+rω2=0{\ displaystyle - {\ frac {GM_ {1} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {Gm_ {2} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ boldsymbol {r}} \; \ omega ^ {2} = 0},

as barras duplas indicam que se leva a norma dos vetores considerados. A velocidade angular ω é então substituída por seu valor resultante da terceira lei de Kepler, que dá

-GM1(r-r1)||r-r1||3-Gm2(r-r2)||r-r2||3+GMrR3=0{\ displaystyle - {\ frac {GM_ {1} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {Gm_ {2} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ frac {GM {\ boldsymbol {r}}} {R ^ {3}}} = 0},

que simplificamos imediatamente pela constante gravitacional

-M1r-r1||r-r1||3-m2r-r2||r-r2||3+MrR3=0{\ displaystyle -M_ {1} {\ frac {{\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} - m_ {2} {\ frac {{\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2}} {|| {\ boldsymbol {r} } - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + M {\ frac {\ boldsymbol {r}} {R ^ {3}}} = 0}.

É a resolução desta equação que dá os vários pontos de Lagrange.

Os dois casos a considerar

A projeção desta equação perpendicular ao plano da órbita, cujo normal é dado por um vetor observado, dá imediatamente z^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {z}}}}

r⋅z^=0{\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} \ cdot {\ hat {\ boldsymbol {z}}} = 0},

o que implica que o conjunto de pontos de Lagrange está localizado no plano da órbita. A equação é, portanto, resolvida no plano orbital. Dois casos devem ser considerados:

• aquele onde procuramos um ponto ao longo do eixo formado pelos dois corpos,
• aquele onde procuramos um ponto fora deste eixo.

O segundo caso acaba sendo o mais fácil de estudar.   Detalhes de cálculo - Pontos L 4 e L 5 Caso dos pontos L 4 e L 5

Assume-se que o vetor raio r não é paralelo ao eixo que passa pelos dois corpos. Portanto, projetamos a equação fundamental perpendicular a este eixo, uma direção que supomos ser definida por um vetor anotado . Por definição, sendo esta direção perpendicular ao eixo que conecta os dois corpos, temos y^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {y}}}}

y^⋅r1=y^⋅r2=0{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1} = {\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ { 2} = 0}.

A equação fundamental é, portanto, reescrita

-M1y^⋅r||r-r1||3-m2y^⋅r||r-r2||3+My^⋅rR3=0{\ displaystyle -M_ {1} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r} } _ {1} || ^ {3}}} - m_ {2} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {|| {\ boldsymbol { r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + M {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {R ^ {3}}} = 0}.

Os termos são simplificados, o que dá y^⋅r{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}}

-M1||r-r1||3-m2||r-r2||3+MR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {m_ { 2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ frac {M} {R ^ {3}}} = 0 }.

Agora definimos a direção como perpendicular a r . Como r não é colinear com r 1 e r 2 , as quantidades não são zero. Ao projetar a equação fundamental ao longo de s, obtemos s^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {s}}}}s^⋅r1,2{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1,2}}

M1s^⋅r1||r-r1||3+m2s^⋅r2||r-r2||3=0{\ displaystyle M_ {1} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} + m_ {2} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} = 0}.

No entanto, de acordo com o teorema de Thales , as projecções de R 1 e R 2 juntamente estão na mesma proporção que as projecções destes vectores ao longo do eixo de ligação entre os dois corpos. Segue-se que a equação anterior pode ser reescrita s^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {s}}}}

M1r1||r-r1||3+m2r2||r-r2||3=0{\ displaystyle M_ {1} {\ frac {r_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} + m_ {2 } {\ frac {r_ {2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} = 0}.

O baricentro dos dois corpos implica, como visto anteriormente, que

M1r1+m2r2=0{\ displaystyle M_ {1} r_ {1} + m_ {2} r_ {2} = 0}.

A combinação desta equação com a que a precede implica, portanto, que as duas distâncias e são idênticas, sendo o seu valor anotado R ': ||r-r1||{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} ||}||r-r2||{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} ||}

||r-r1||=||r-r2||≡R′{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || = || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || \ equiv R '}.

Ao injetar esse resultado na projeção ao longo de r , chega-se então

-M1R′3-m2R′3+MR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {R '^ {3}}} - {\ frac {m_ {2}} {R' ^ {3}}} + {\ frac {M} {R ^ {3}}} = 0}.

Multiplicando o todo por R ' 3 e lembrando que M é a soma das duas massas, finalmente obtemos

M(R′3R3-1)=0{\ displaystyle M \ left ({\ frac {R '^ {3}} {R ^ {3}}} - 1 \ right) = 0},

que no final das contas dá

||r-r1||=||r-r2||=R{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || = || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || = R},

ou seja, os pontos buscados formam um triângulo equilátero com os dois corpos do sistema. Esses triângulos também estão incluídos no plano orbital, o que dá dois pontos possíveis, denotados como anunciados L 4 e L 5 , estando localizados em cada lado do eixo que conecta os dois corpos.

Usando o teorema de Pitágoras , a distância D desses dois pontos de Lagrange do centro de gravidade do sistema é escrita

D2=(-|r1|+R/2)2+(3R/2)2{\ displaystyle D ^ {2} = (- | r_ {1} | + R / 2) ^ {2} + ({\ sqrt {3}} R / 2) ^ {2}},

Qual dar

D2=r12+14R2-R|r1|+34R2{\ displaystyle D ^ {2} = r_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {4}} R ^ {2} -R | r_ {1} | + {\ frac {3} {4 }} R ^ {2}},

Qual dar

D2=R2+r12-R|r1|{\ displaystyle D ^ {2} = R ^ {2} + r_ {1} ^ {2} -R | r_ {1} |}.

Usando o fato de que ele vem R=|r1|+r2{\ displaystyle R = | r_ {1} | + r_ {2}}

D2=r22+|r1|R=r12+r2R{\ displaystyle D ^ {2} = r_ {2} ^ {2} + | r_ {1} | R = r_ {1} ^ {2} + r_ {2} R}. A distância é, portanto, maior do que as distâncias de cada um dos dois corpos do centro de gravidade do sistema. Esses pontos de Lagrange estão, portanto, além da órbita do corpo menos massivo e não estão estritamente localizados nele, embora isso seja quase o caso no limite em que a massa do corpo mais leve torna-se insignificante em comparação com a de seu companheiro.   Detalhes de cálculo - Pontos L 1 a L 3 Caso dos pontos L 1 a L 3

Se considerarmos os pontos de Lagrange localizados no eixo que conecta os dois corpos, três subcasos devem ser considerados:

1. O caso em que o (s) ponto (s) estão entre os campos 1 e 2  ;
2. O caso em que o (s) ponto (s) são opostos ao corpo 2 em relação ao corpo 1  ;
3. O caso em que o (s) ponto (s) são opostos ao corpo 1 em relação ao corpo 2 .

Nestes três casos, a equação fundamental é reescrita da seguinte forma:

• Caso 1: a projeção das duas forças no eixo tem sinais opostos (a projeção da força exercida pelo corpo 1 é negativa, a da força exercida pelo corpo 2 é positiva), o que dá -M1(r-r1)2+m2(r-r2)2+MrR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} + {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2 }}} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

com r1<r<r2{\ displaystyle r_ {1} <r <r_ {2}}.

• Caso 2: a projeção das duas forças no eixo é negativa, o que dá -M1(r-r1)2-m2(r-r2)2+MrR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} - {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2 }}} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

com r1<r2<r{\ displaystyle r_ {1} <r_ {2} <r}.

• Caso 3: a projeção das duas forças no eixo é positiva, o que dá M1(r-r1)2+m2(r-r2)2+MrR3=0{\ displaystyle {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} + {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2} }} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

com r<r1<r2{\ displaystyle r <r_ {1} <r_ {2}}.

Cada uma dessas três equações pode ser reduzida a uma equação polinomial de quinto grau, para a qual não há solução analítica exata, exceto em casos particulares (como o de duas massas idênticas, por exemplo).

A singularidade das soluções em cada um dos três casos é deduzida do fato de que a equação a ser resolvida no equilíbrio de forças deriva de um potencial U , dado por

você=-M1||r-r1||-m2||r-r2||-12Mr2R3{\ displaystyle U = - {\ frac {M_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} ||}} - {\ frac {m_ {2} } {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} ||}} - {\ frac {1} {2}} {\ frac {Mr ^ {2}} {R ^ {3}}}}. Este potencial representa pólos em r 1 e r 2 , e corresponde fora desses valores à soma de três termos côncavos e é, portanto, localmente côncavo. Portanto, tem apenas um extremo local em cada um dos domínios em que é definido, ou seja, em cada um dos três casos mencionados acima.   Soluções para L 1 a L 3 no caso em que a razão entre as massas é baixa Forma e solução reduzidas no caso de a proporção de massa ser baixa

Quando a razão entre m 2 e M 1 (ou entre m 2 e M) é baixa, podemos encontrar uma solução aproximada para a posição de cada um dos pontos realizando uma expansão limitada a partir de uma solução aproximada fácil de encontrar. Para simplificar a notação, realizou-se uma mudança de escala, a fim de expressar todos os comprimentos em incrementos de separação R unidade de massa da massa total e M . Nós posamos assim

você=r/R{\ displaystyle u = r / R},

e

você1,2=r1,2/R{\ displaystyle u_ {1,2} = r_ {1,2} / R},

e definimos o pequeno parâmetro q por

q≡m2/M{\ displaystyle q \ equiv m_ {2} / M},

a partir do qual podemos expressar

M1/M=1-q{\ displaystyle M_ {1} / M = 1-q}, você1=-q{\ displaystyle u_ {1} = - q}, você2=1-q{\ displaystyle u_ {2} = 1-q}.

Neste caso, as três equações escritas acima assumem a forma mais simples

• Caso 1: -1-q(você+q)2+q(você-1+q)2+você=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

com -q<você<1-q{\ displaystyle -q <u <1-q}.

• Caso 2: a projeção das duas forças no eixo é negativa, o que dá -1-q(você+q)2-q(você-1+q)2+você=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} - {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

com 1-q<você{\ displaystyle 1-q <u}.

• Caso 3: a projeção das duas forças no eixo é positiva, o que dá 1-q(você+q)2+q(você-1+q)2+você=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

com você<-q{\ displaystyle u <-q}.Ponto L 1

Quando a massa do corpo 2 é desprezível, sua atração é desprezível, a menos que a partícula de teste esteja muito próxima. No entanto, quando a atracção do corpo 2 é insignificante, o equilíbrio entre a atracção do corpo 1 e a força centrífuga é tal que a distância do ponto de equilíbrio é na ordem de R . Quando o ponto de equilíbrio está localizado em frente ao corpo 2 , estamos no caso do ponto de Lagrange  L 3 , que está, portanto, grosso modo, oposto ao corpo 2 em relação ao corpo 1 . Caso contrário, assumiremos, portanto, que o ponto de equilíbrio é bastante próximo ao corpo 2 (e, portanto, novamente localizado na distância R do corpo 1 ), mas, no entanto, longe o suficiente para que a atração do corpo 2 exercida na partícula de teste permaneça pequena em comparação com o corpo 1 . Portanto, posamos da forma reduzida

você=você2+ε′=1-q+ε{\ displaystyle u = u_ {2} + \ varepsilon '= 1-q + \ varepsilon},

onde aqui ε ' é uma quantidade pequena e negativa (assumimos aqui que o ponto está entre os dois campos). A equação reduzida então se transforma em

-1-q(1+ε′)2+qε′2+1-q+ε′=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon ') ^ {2}}} + {\ frac {q} {\ varepsilon' ^ {2}}} + 1-q + \ varejpsilon '= 0}.

Realizamos um desenvolvimento limitado à primeira ordem da atração produzida pelo corpo 1  :

-(1-q)(1-2ε′)+qε′2+1-q+ε′=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon ') + {\ frac {q} {\ varejpsilon' ^ {2}}} + 1-q + \ varejpsilon '= 0}.

Os termos em 1 -  q são simplificados e permanecem

(3-2q)ε′+qε′2=0{\ displaystyle (3-2q) \ varepsilon '+ {\ frac {q} {\ varepsilon' ^ {2}}} = 0}.

Ainda mantendo apenas os termos de ordem mais baixa em q , vem

ε′=-(q3)13{\ displaystyle \ varepsilon '= - \ left ({\ frac {q} {3}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}}}.

Podemos então continuar o cálculo, desenvolvendo o desvio do ponto no corpo 2 em potências de ε ' . Nós posamos assim

você=1-q+ε′+xε′2+O(ε′3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon '^ {3})}.

A equação fundamental reduzida, então, dá

-1-q(1+ε′+xε′2)2+q(ε′+xε′2)2+1-q+ε′+xε′2=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2}) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(\ varejpsilon '+ x \ varejpsilon '^ {2}) ^ {2}}} + 1-q + \ varejpsilon' + x \ varejpsilon '^ {2} = 0}.

Podemos fatorar o segundo termo com q  /  ε ' 2 , que podemos substituir por seu valor, que é -3  ε' . Nós então obtemos

-(1-q)(1+ε′+xε′2)-2-3ε′(1+xε′)-2+1-q+ε′+xε′2=0{\ displaystyle - (1-q) (1+ \ varejpsilon '+ x \ varejpsilon' ^ {2}) ^ {- 2} -3 \ varejpsilon '(1 + x \ varejpsilon') ^ {- 2} +1 -q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} = 0}.

Em seguida, realizamos uma expansão limitada dos primeiros dois termos, na segunda ordem para o primeiro e na primeira ordem para o seguinte, o que dá

-(1-q)(1-2ε′-2xε′2+3ε′2)-3ε′(1-2xε′)+1-q+ε′+xε′2=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varejpsilon '-2x \ varejpsilon' ^ {2} +3 \ varejpsilon '^ {2}) - 3 \ varepsilon' (1-2x \ varejpsilon ') +1 -q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} = 0},

a partir do qual deduzimos que x vale um terço, o que dá

você=1-q+ε′+13ε′2+O(ε3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ {\ frac {1} {3}} \ varepsilon' ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {3})}.

O desenvolvimento pode então continuar seguindo o mesmo procedimento. No próximo pedido, temos assim

você=1-q+ε′+13ε′2-19ε′3+O(ε′4){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ {\ frac {1} {3}} \ varepsilon' ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varepsilon '^ {3} + { \ mathcal {O}} (\ varepsilon '^ {4})}.Ponto L 2

O caso do ponto L 2 é resolvido exatamente como na seção anterior, exceto que o sinal do segundo termo da equação fundamental é negativo. Então pedimos

você=1-q+ε{\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon},

ε sendo desta vez assumido como pequeno e positivo e, portanto, temos

-1-q(1+ε)2-qε2+1-q+ε=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon) ^ {2}}} - {\ frac {q} {\ varepsilon ^ {2}}} + 1-q + \ varejpsilon = 0 }.

A resolução de pedido mais baixa dá

-(1-q)(1-2ε)-qε2+1-q+ε=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon) - {\ frac {q} {\ varejpsilon ^ {2}}} + 1-q + \ varejpsilon = 0},

que após o cancelamento dos termos dá

3ε=qε2{\ displaystyle 3 \ varepsilon = {\ frac {q} {\ varepsilon ^ {2}}}},

isso é

ε=(q3)13=-ε′{\ displaystyle \ varepsilon = \ left ({\ frac {q} {3}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}} = - \ varejpsilon '}.

Isso corresponde ao sinal mais próximo do mesmo resultado de antes. O desenvolvimento da solução é feito como antes. Nós começamos de

você=1-q+ε+xε2{\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2}},

e injetamos esse resultado na equação fundamental

-1-q(1+ε+xε2)2-q(ε+xε2)2+1-q+ε+xε2=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon + x \ varejpsilon ^ {2}) ^ {2}}} - {\ frac {q} {(\ varejpsilon + x \ varejpsilon ^ { 2}) ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2} = 0}.

Como antes, transformamos esta expressão de acordo com

-(1-q)(1-2ε-2xε2+3ε2)-3ε(1-2xε)+1-q+ε+xε2=0{\ displaystyle - (1-q) varej (1-2 \ varejpsilon -2x \ varejpsilon ^ {2} +3 \ varejpsilon ^ {2}) - 3 \ varejpsilon (1-2x \ varejpsilon) + 1-q + \ varepsilon + x \ varejpsilon ^ {2} = 0},

o que resolvemos em

x=13{\ displaystyle x = {\ frac {1} {3}}},

isso é

você=1-q+ε+13ε2+O(ε3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varejpsilon ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {3})}.

Esta expressão é idêntica à do primeiro ponto de Lagrange substituindo ε ' por ε , mas esses dois pontos são assimétricos: como o sinal de ε , ε' muda entre o ponto L 1 e o ponto L 2 , a correção de segunda ordem, sempre positiva , aproxima o ponto L 1 do corpo 2 enquanto mantém o ponto L 2  : os dois pontos não são equidistantes do corpo 2 . Para a Terra, a razão de massa é 1 ⁄ 300.000 , e ε é da ordem de 0,01, o que coloca os dois pontos em relação à Terra a uma distância de cerca de um centésimo da distância Terra-Sol, ou dentro de 1.500.000  quilômetros . O termo de segunda ordem é da ordem de um trigésimo milésimo da distância Terra-Sol, ou seja, dentro de 5.000  km . O ponto L 1 está, portanto, cerca de 10.000  km mais próximo da Terra do que L 2 .

Finalmente, podemos continuar o desenvolvimento para a ordem superior, o que dá, todos os cálculos feitos

você=1-q+ε+13ε2-19ε3+O(ε4){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varejpsilon ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varejpsilon ^ {3} + {\ mathcal { O}} (\ varepsilon ^ {4})}.Ponto L 3

No caso 3, que corresponderá ao ponto L 3 , a equação fundamental é escrita

1-q(você+q)2+q(você-1+q)2+você=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0}.

Como se presume que o ponto está além do corpo 1 em relação ao corpo 2 , ele está mais próximo do corpo mais maciço, cuja atração será preponderante em relação ao outro corpo. Na situação em que nos encontramos, o ponto procurado, portanto, tem sua posição aproximada por

1-q(você+q)2+você=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + u = 0}.

A solução aproximada para esta equação é, claro,

você≃-1{\ displaystyle u \ simeq -1}.

Para encontrar os desvios deste valor, escrevemos na equação fundamental

você=-1+v{\ displaystyle u = -1 + v},

e resolvemos a equação levando em consideração os primeiros termos em q . Assim obtemos

1-q(-1+v+q)2+q(-1-1+v+q)2-1+v=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(- 1 + v + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(- 1-1 + v + q) ^ {2}}} -1 + v = 0}.

As quantidades e q ser pequeno em frente de R , o primeiro termo é escrito v{\ displaystyle v}

1-q(-1+v+q)2=(1-q)(1-v-q)-2≃(1-q)+2(v+q){\ displaystyle {\ frac {1-q} {(- 1 + v + q) ^ {2}}} = (1-q) (1-vq) ^ {- 2} \ simeq (1-q) + 2 (v + q)}.

O segundo termo sendo desprezível em comparação com o anterior (é proporcional a q ), pode ser aproximado em

q(-1-1+v+q)2≃q4{\ displaystyle {\ frac {q} {(- 1-1 + v + q) ^ {2}}} \ simeq {\ frac {q} {4}}}.

Ao combinar todos esses termos, obtemos

1-q+2(v+q)+q4-1+v=0{\ displaystyle 1-q + 2 (v + q) + {\ frac {q} {4}} - 1 + v = 0},

Qual dar

54q+3v=0{\ displaystyle {\ frac {5} {4}} q + 3v = 0},

quer dizer

v=-512m2M+O(m22M2){\ displaystyle v = - {\ frac {5} {12}} {\ frac {m_ {2}} {M}} + {\ mathcal {O}} \ left ({\ frac {m_ {2} ^ { 2}} {M ^ {2}}} \ direita)}.

Pode-se, sem dificuldade, continuar este cálculo, colocando agora

você=-1-512q+C{\ displaystyle u = -1 - {\ frac {5} {12}} q + w},

C{\ displaystyle w}sendo este tempo proporcional a q 2 . A equação fundamental então se torna

1-q(-1-512q+C+q)2+q(-1-1-512q+C+q)2-1-512q+C=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {\ left (-1 - {\ frac {5} {12}} q + w + q \ right) ^ {2}}} + {\ frac {q} { \ left (-1-1 - {\ frac {5} {12}} q + w + q \ right) ^ {2}}} - 1 - {\ frac {5} {12}} q + w = 0},

quer dizer

1-q(1-712q-C)2+q(2-712q-C)2-1-512q+C=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {\ left (1 - {\ frac {7} {12}} qw \ right) ^ {2}}} + {\ frac {q} {\ left (2- {\ frac {7} {12}} qw \ right) ^ {2}}} - 1 - {\ frac {5} {12}} q + w = ​​0}.

Expandindo esta expressão para a segunda ordem em q , encontramos

C=0+O(q3){\ displaystyle w = 0 + {\ mathcal {O}} (q ^ {3})},

quer dizer que está no máximo em q 3 . Ao refazer o cálculo neste contexto, finalmente encontramos C{\ displaystyle w}

C=112720736q3+O(q4){\ displaystyle w = {\ frac {1127} {20736}} q ^ {3} + {\ mathcal {O}} (q ^ {4})}. Raramente é útil levar o cálculo tão longe: em uma configuração Sol-Planeta, o último termo corretivo é na melhor das hipóteses da ordem de 10 -9 , uma vez que a maior razão de massa Planeta-Sol, no caso de Júpiter, é do ordem de um milésimo. O termo q 3 é, portanto, para Júpiter, da ordem de um bilionésimo, o que, dado o tamanho de sua órbita, corresponde a uma correção de cerca de cinquenta metros, dado que a fração fatorial de q 3 é da ordem de um vigésimo . Para o sistema Terra-Sol (distância de cerca de 150 milhões de quilômetros, razão de massa de cerca de 1 ⁄ 300.000 ), a última correção é uma fração de mícron.  

Estabilidade

O cálculo acima não indica nada se os pontos de Lagrange são estáveis. Além disso, a estabilidade ou não desses pontos não é muito intuitiva. No referencial girando com os dois corpos, uma partícula de teste pode ser vista como sujeita a um potencial que inclui a contribuição gravitacional e a da força centrífuga. Este potencial, observado Ω, é escrito como

Ω=-GM1|r-r1|-Gm2|r-r2|-12|r|2ω2{\ displaystyle \ Omega = - {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}} - {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} |}} - {\ frac {1} {2}} | {\ boldsymbol {r}} | ^ {2} \ omega ^ {2}}.

Todos os termos desse potencial são negativos e diminuem à medida que nos afastamos das massas (para os primeiros dois termos) ou do centro de gravidade do sistema (para o terceiro). Podemos assim mostrar que os pontos de Lagrange L 4 e L 5 são máximos locais do potencial Ω (ver abaixo) e que os outros três pontos são pontos de sela . Normalmente, uma posição de equilíbrio (determinada pelo cancelamento das derivadas do potencial) é estável apenas se estiver localizada em mínimos locais do potencial. No entanto, dado que estamos em um referencial rotativo, o referencial não é inercial . Um objeto que se move neste quadro de referência, por exemplo nas proximidades de uma posição de equilíbrio, será submetido à força de Coriolis , e seu movimento não depende apenas da forma do potencial. Para estudar a estabilidade dos pontos de Lagrange, é necessário levar em consideração a força de Coriolis.

Para calcular a estabilidade dos pontos de Lagrange, é necessário estudar a equação do movimento de um objeto localizado nas proximidades de um desses pontos. Observando δR o vetor de coordenadas δX e δY dando o desvio de tal objeto em um dos pontos de Lagrange (que se supõe confinado ao plano orbital), a equação do movimento é escrita

δR¨=-2ω∧δR˙+δf{\ displaystyle {\ ddot {\ boldsymbol {\ delta R}}} = - 2 {\ boldsymbol {\ omega}} \ wedge {\ dot {\ boldsymbol {\ delta R}}} + {\ boldsymbol {\ delta f }}},

onde δf representa a força por unidade de massa exercida sobre o objeto. Esta força é pequena devido ao fato de que no ponto de Lagrange a força (formada por um componente gravitacional e a força centrífuga) é zero e a pessoa se posiciona próximo a tal ponto. Essa força pode ser calculada em termos de um desenvolvimento limitado. Por exemplo, para o componente X , temos

δfX=fX(0)+∂fX∂XδX+∂fX∂YδY{\ displaystyle \ delta f_ {X} = f_ {X} (0) + {\ frac {\ parcial f_ {X}} {\ parcial X}} \ delta X + {\ frac {\ parcial f_ {X}} {\ parcial Y}} \ delta Y}.

O primeiro termo corresponde à força exercida no ponto de Lagrange, força que é zero por construção. Além disso, a força decorrente de um potencial, pode-se expressar as derivadas da força em termos de segundas derivadas do potencial:

δfX=-∂2Ω∂X2δX-∂2Ω∂X∂YδY{\ displaystyle \ delta f_ {X} = - {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Omega} {\ parcial X ^ {2}}} \ delta X - {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Omega } {\ parcial X \ parcial Y}} \ delta Y}.

Podemos, portanto, expressar a equação do movimento em termos dos componentes de acordo com

δX¨=2ωδY˙-∂2Ω∂X2δX-∂2Ω∂X∂YδY{\ displaystyle {\ ddot {\ delta X}} = 2 \ omega {\ dot {\ delta Y}} - {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Omega} {\ parcial X ^ {2}}} \ delta X - {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Omega} {\ parcial X \ parcial Y}} \ delta Y}, δY¨=-2ωδX˙-∂2Ω∂X∂YδX-∂2Ω∂Y2δY{\ displaystyle {\ ddot {\ delta Y}} = - 2 \ omega {\ dot {\ delta X}} - {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Omega} {\ parcial X \ parcial Y}} \ delta X - {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Omega} {\ parcial Y ^ {2}}} \ delta Y}.

Este grupo de equações pode ser colocado na forma de um sistema de quatro equações diferenciais de primeira ordem:

∂∂t(δXδYδX˙δY˙)=(00100001-Ω,xx-Ω,xy02ω-Ω,xy-Ω,yy-2ω0)(δXδYδX˙δY˙){\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ begin {array} {c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ dot {\ delta X}} \\ { \ dot {\ delta Y}} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ - \ Omega _ {, xx} & - \ Omega _ {, xy} & 0 & 2 \ omega \\ - \ Omega _ {, xy} & - \ Omega _ {, yy} & - 2 \ omega & 0 \ end { array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ dot {\ delta X}} \\ {\ dot {\ delta Y}} \ end {array}} \ right)},

onde as derivadas parciais do potencial Ω foram anotadas como um índice precedido por uma vírgula (por exemplo, Ω , xx corresponde a ). ∂2Ω/∂x2{\ displaystyle \ partial ^ {2} \ Omega / \ partial x ^ {2}}

A estabilidade do ponto de Lagrange considerado é obtida procurando as soluções desta equação. Para fazer isso, basta encontrar soluções do tipo exponencial , em . Teremos, assim, prosseguir para o diagonalizacao da matriz acima, que irá ser denotado Uma . Os autovalores encontrados corresponderão às quantidades Γ acima, sendo os desvios da posição de equilíbrio uma certa combinação de no máximo quatro exponenciais. A estabilidade do sistema é garantida pelo fato de que os exponenciais não aumentam com o tempo, ou seja, as quantidades Γ são negativas ou complexas com partes reais negativas. Na verdade, não é necessário diagonalizar completamente a matriz, basta encontrar os autovalores, ou seja, as soluções da equação. eΓt{\ displaystyle e ^ {\ Gamma t}}

det(PARA-λeu)=0{\ displaystyle \ det (A- \ lambda I) = 0}.

Este determinante está escrito

|-λ0100-λ01-Ω,xx-Ω,xy,-λ2ω-Ω,xy-Ωyy-2ω-λ|{\ displaystyle \ left | {\ begin {array} {cccc} - \ lambda & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \ lambda & 0 & 1 \\ - \ Omega _ {, xx} & - \ Omega _ {, xy}, & - \ lambda & 2 \ omega \\ - \ Omega _ {, xy} & - \ Omega _ {yy} & - 2 \ omega & - \ lambda \ end {array}} \ right |},

e vale a pena

λ4+(Ω,xx+Ω,yy+4ω2)λ2+Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2{\ displaystyle \ lambda ^ {4} + (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}) \ lambda ^ {2} + \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}}.

Esta equação pode ser reduzida a uma equação polinomial de segunda ordem em λ 2 . As soluções da equação inicial são, portanto, dois pares de números opostos dois a dois. Para que dois números opostos sejam negativos ou zero ou então tenham uma parte real negativa ou zero, eles devem ser necessariamente números imaginários puros, de forma que as soluções da equação em λ 2 sejam reais e negativas. Para que essas soluções sejam reais, o discriminante deve ser positivo, ou aqui

(Ω,xx+Ω,yy+4ω2)2-4(Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2)>0{\ displaystyle (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}) ^ {2} -4 (\ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2})> 0}.

Uma vez que isto seja obtido, as duas soluções reais devem ser negativas, o que implica que simultaneamente sua soma é negativa e seu produto positivo, o que implica

Ω,xx+Ω,yy+4ω2>0{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}> 0}, Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2>0{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}> 0}.

A estabilidade de um ponto de Lagrange está sujeita à realização dessas três restrições. Dentre essas restrições, a última tem uma interpretação simples: o sinal da quantidade determina se a posição considerada é um extremo local ou um ponto de sela. Nesse caso, a positividade dessa grandeza implica que ela deve ser um extremo local, condição necessária, mas não suficiente para a estabilidade do ponto de Lagrange. Quando esta quantidade é negativa, temos um ponto de sela e o ponto de Lagrange é instável. Por outro lado, o mais surpreendente, um ponto de Lagrange pode ser estável se corresponder a um máximo local do potencial, ou seja , Ω , xx  + Ω , yy pode ser negativo, desde que esta quantidade não ultrapasse o valor crítico de -4  ω 2 . Na prática, é o que ocorre em certos casos para os pontos de Lagrange L 4 e L 5 . A interpretação física desta situação é que a estabilidade é então fornecida pela força de Coriolis. Um objeto ligeiramente deslocado de tal ponto se afastará inicialmente radialmente, antes de ver sua trajetória curvada pela força de Coriolis. Se o potencial está diminuindo em toda parte ao redor do ponto, então é possível que a força de Coriolis force o objeto a girar em torno do ponto de Lagrange, como as nuvens em uma depressão que não apontam para o centro da depressão, mas são forçadas a um caminho circular em torno dele. Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}}

Cálculo adicional Preliminares

Para estudar a estabilidade dos pontos de Lagrange, será necessário calcular as derivadas sucessivas do potencial. Esse potencial envolve distância | r  -  r 1 |. Portanto, é necessário conhecer as derivadas das diferentes potências de tal quantidade. Em coordenadas cartesianas , esta quantidade é escrita

|r-r1|=(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2{\ displaystyle | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | = {\ sqrt {(x-x_ {1}) ^ {2} + (y-y_ {1}) ^ {2} + (z-z_ {1}) ^ {2}}}}.

Sua derivada em relação a uma das coordenadas x , y , z , coletivamente observada x i é, portanto, escrita

∂eu|r-r1|=122(xeu-x1eu)(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2=xeu-x1eu|r-r1|{\ displaystyle \ partial _ {i} | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | = {\ frac {1} {2}} {\ frac {2 (x_ {i } -x_ {1 \; i})} {\ sqrt {(x-x_ {1}) ^ {2} + (y-y_ {1}) ^ {2} + (z-z_ {1}) ^ {2}}}} = {\ frac {x_ {i} -x_ {1 \; i}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}}}.

A derivada de qualquer potência p desta quantidade é, portanto,

∂eu(|r-r1|p)=p(xeu-x1eu)|r-r1|p-2{\ displaystyle \ partial _ {i} (| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {p}) = p (x_ {i} -x_ {1 \; i }) | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {p-2}}.

Ao adaptar este resultado às segundas derivadas das quantidades intervenientes no potencial, temos

∂euj(1|r-r1|)=-δeuj|r-r1|3+3(xeu-x1eu)(xj-x1j)|r-r1|5{\ displaystyle \ partial _ {ij} \ left ({\ frac {1} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}} \ right) = - {\ frac {\ delta _ {ij}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3}}} + 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ { 1 \; i}) (x_ {j} -x_ {1 \; j})} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {5}}}},

que, para todo o potencial, dá

∂eujΩ=δeujGM1|r-r1|3-3(xeu-x1eu)(xj-x1j)GM1|r-r1|5+δeujGm2|r-r2|3-3(xeu-x2eu)(xj-x2j)Gm2|r-r2|5-ω2δeuj{\ displaystyle \ partial _ {ij} \ Omega = \ delta _ {ij} {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3}}} - 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ {1 \; i}) (x_ {j} -x_ {1 \; j}) GM_ {1}} {| {\ boldsymbol { r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {5}}} + \ delta _ {ij} {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3}}} - 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ {2 \; i}) (x_ {j} -x_ {2 \; j}) Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {5}}} - \ omega ^ {2} \ delta _ {ij}},

onde δ ij representa o símbolo de Kronecker . É o valor dessas derivadas parciais que é necessário calcular para determinar a estabilidade dos vários pontos de Lagrange. É para os pontos de Lagrange L 4 e L 5 que este cálculo é o mais simples.

Caso dos pontos de Lagrange L 4 e L 5

Esses pontos são caracterizados pelo fato de que sua distância dos dois corpos é idêntica e igual a R  :

|r-r1|=|r-r2|=R{\ displaystyle | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | = | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | = R}.

Além disso, pode-se usar a terceira lei de Kepler para passar quantidades do tipo G M  /  R 3 para ω , e saber-se as coordenadas exatas dos pontos de Lagrange. Ao avaliar as derivadas do potencial nos pontos de Lagrange L 4 ou L 5 , temos

xeu-x1eu=(12R,±32R){\ displaystyle x_ {i} -x_ {1 \; i} = \ left ({\ frac {1} {2}} R, \ pm {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} R \ right )},

e

xeu-x2eu=(-12R,±32R){\ displaystyle x_ {i} -x_ {2 \; i} = \ left (- {\ frac {1} {2}} R, \ pm {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} R \ certo)},

o sinal + aplicando para L 5 e o sinal - para L 4 . Finalmente, a matriz desejada tem por componentes

∂eujΩ=ω2(-34∓334(1-2q)∓334(1-2q)-94){\ displaystyle \ partial _ {ij} \ Omega = \ omega ^ {2} \ left ({\ begin {array} {cc} - {\ frac {3} {4}} & \ mp {\ frac {3 { \ sqrt {3}}} {4}} (1-2q) \\\ mp {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {4}} (1-2q) & - {\ frac {9} {4}} \ end {array}} \ right)}.

O determinante desta matriz é

det(∂eujΩ)=Ω,xxΩ,xy-Ω,xy2=2716(1-(1-2q)2)ω2=274ω2q(1-q){\ displaystyle \ det (\ partial _ {ij} \ Omega) = \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, xy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} = {\ frac {27} { 16}} \ left (1- (1-2q) ^ {2} \ right) \ omega ^ {2} = {\ frac {27} {4}} \ omega ^ {2} q (1-q)},

que é sempre positivo, uma vez que q está confinado entre 0 e 1. Esta primeira condição de estabilidade é estabelecida. A segunda condição de estabilidade é escrita

Ω,xx+Ω,yy+4ω2=ω2(-34-94+4)=+ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2} = \ omega ^ {2} \ left (- {\ frac {3} {4}} - {\ frac {9} {4}} + 4 \ direita) = + \ omega ^ {2}},

quantidade novamente positiva. Finalmente, o discriminante dá

(Ω,xx+Ω,yy+4ω2)2-4(Ω,xxΩ,xy-Ω,xy2)=ω2(1-27q(1-q))=ω2(27q2-27q+1){\ displaystyle \ left (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2} \ right) ^ {2} -4 \ left (\ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, xy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} \ right) = \ omega ^ {2} \ left (1-27q (1-q) \ right) = \ omega ^ {2} (27q ^ {2} -27q + 1)}.

A estabilidade do cólon é, em última análise, determinada pela positividade da quantidade . Os zeros q a , q b deste polinômio são dados pela fórmula usual, que aqui indica 27q2-27q+1{\ displaystyle 27q ^ {2} -27q + 1}

qPara,b=12±122327{\ displaystyle q_ {a, b} = {\ frac {1} {2}} \ pm {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}}}.

Este polinômio, portanto, tem valores negativos ao longo do intervalo . Assim, a estabilidade destes dois pontos de Lagrange é garantida apenas se a menor massa não ultrapassar 3,852% da massa total, ou, de forma equivalente, que a relação das duas massas não ultrapasse 4,006%. q∈]12-122327,12+122327[≃]0,03852,0,96148[{\ displaystyle q \ in \ left] {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}}, {\ frac {1 } {2}} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}} \ right [\ simeq] 0, \! 03852,0, \! 96148 [}

Esta condição é verificada para todas as configurações do tipo Sol-Planeta (onde q não excede aproximadamente um milésimo para Júpiter) ou para o sistema Terra-Lua (onde q é da ordem de 1/80, ou seja, 1, 25%).

Caso dos pontos de Lagrange L 1 a L 3

Os três pontos de Lagrange L 1 a L 3 estão localizados no eixo que conecta os dois corpos. Na fórmula que dá as segundas derivadas, as quantidades y i  -  y 1 i são zero, enquanto seus análogos em x são identificados com as distâncias entre um dos corpos e o ponto de Lagrange considerado. Consequentemente, a matriz de derivadas secundárias é escrita

∂eujΩ=(-2GM1|r-r1|3-2Gm2|r-r2|3-ω200GM1|r-r1|3+Gm2|r-r2|3-ω2){\ displaystyle \ partial _ {ij} \ Omega = \ left ({\ begin {array} {cc} -2 {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} | ^ {3}}} - 2 {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3} }} - \ omega ^ {2} & 0 \\ 0 & {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3} }} + {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3}}} - \ omega ^ {2} \ end { array}} \ right)}.

O termo Ω , xx é claramente negativo. O sinal do determinante da matriz é determinado por Ω , yy  : se o último for positivo, então o ponto de Lagrange é um ponto de sela e é instável. Podemos reescrever este termo usando a terceira lei de Kepler:

Ω,yy=ω2((1-q)R3|r-r1|3+qR3|r-r2|3-1){\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ left ((1-q) {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} | ^ {3}}} + q {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3 }}} - 1 \ direita)}. O caso de L 1

O ponto Lagrange  L 1 está localizado entre os dois corpos. Sua distância para eles, | r  -  r 1 | e | r  -  r 2 | Portanto, cada tempo estritamente inferior a R . Portanto, temos

Ω,yy|A1=ω2((1-q)R3|r-r1|3+qR3|r-r2|3-1)>ω2((1-q)+q-1)=0{\ displaystyle \ left. \ Omega _ {, yy} \ right | _ {L_ {1}} = \ omega ^ {2} \ left ((1-q) {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3}}} + q {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3}}} - 1 \ right)> \ omega ^ {2} \ left ((1-q) + q-1 \ right) = 0}.

Esta quantidade é, portanto, estritamente positiva, o que garante que o determinante seja negativo, ou seja, L 1 é um ponto de sela, o que o torna um ponto instável.

O caso de L 2 e L 3

Posamos, para simplificar as notações,

você1=|r-r1|R{\ displaystyle u_ {1} = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |} {R}}}, você2=|r-r2|R{\ displaystyle u_ {2} = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} |} {R}}}.

Estamos, portanto, interessados ​​no sinal da quantidade

Ω,yyω2=(1-q)1você13+q1você23-1{\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = (1-q) {\ frac {1} {u_ {1} ^ {3}}} + q { \ frac {1} {u_ {2} ^ {3}}} - 1},

isso é

Ω,yyω2=(1-q)(1você13-1)+q(1você23-1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = (1-q) \ left ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {3}}} -1 \ direita) + q \ esquerda ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {3}}} - 1 \ direita)},

sabendo que u 1 e u 2 estão ligados entre si pelo fato de que sua diferença é igual a 1 e que eles definem um ponto de Lagrange, ou seja, a relação

-(1-q)1você12-q1você22+|r|R=0{\ displaystyle - (1-q) {\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - q {\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} + {\ frac { | {\ boldsymbol {r}} |} {R}} = 0}.

A distância do ponto de Lagrange ao centro de gravidade do sistema pode ser escrita, para o ponto L 2 ,

|r|R=você2+(1-q)=você1-q{\ displaystyle {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} |} {R}} = u_ {2} + (1-q) = u_ {1} -q},

relações que podem ser combinadas em

|r|R=qvocê2+(1-q)você1{\ displaystyle {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} |} {R}} = qu_ {2} + (1-q) u_ {1}}.

A posição do ponto L 2 é, portanto, dada por

-(1-q)(1você12-você1)-q(1você22-você2)=0{\ displaystyle - (1-q) \ left ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ right) -q \ left ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ direita) = 0}.

Nós então perguntamos

PARA=(1-q)(1você12-você1){\ displaystyle A = (1-q) \ left ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ right)}, B=q(1você22-você2){\ displaystyle B = q \ left ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ right)}.

Portanto, temos, por um lado

PARA+B=0{\ displaystyle A + B = 0},

E por outro lado

Ω,yyω2=PARAvocê1+Bvocê2{\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = {\ frac {A} {u_ {1}}} + {\ frac {B} {u_ {2} }}}.

Em outras palavras,

Ω,yyω2=PARAvocê1+Bvocê1+B(1você2-1você1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = {\ frac {A} {u_ {1}}} + {\ frac {B} {u_ {1} }} + B \ esquerda ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} {u_ {1}}} \ direita)}.

O primeiro termo do lado direito é zero em virtude da relação A  +  B  = 0. Portanto, permanece

Ω,yyω2=B(1você2-1você1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = B \ left ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} { u_ {1}}} \ right)}.

No entanto, para o ponto L 2 , estamos localizados mais próximos do corpo 2 do que do corpo 1 . Portanto, u 2 é menor que u 1 e, portanto, é positivo. O sinal da segunda derivada corresponde portanto ao de B , que por sua vez é determinado pelo valor de u 2  : se esta quantidade for maior que 1, então B é negativo, enquanto, caso contrário, B é positivo, o que implica que o ponto é instável. O ponto Lagrange L 2 está localizado além do corpo 2 . A força total (gravitacional mais centrífuga) exercida nesta região é primeiro dirigida para o corpo 2 quando se está próximo a este, então é cancelada em L 2 e é então dirigida em direção a L 2 . No ponto em que u 2 é igual a 1, a componente desta força, ao longo do eixo que liga os dois corpos, é dada (até uma constante multiplicativa positiva) por (1você2-1você1){\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} {u_ {1}}} \ right)} 

δf∝-(1-q)(1você12-você1)-q(1você22-você2){\ displaystyle \ delta f \ propto - (1-q) \ left ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ right) -q \ left ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ right)},

com, aqui,

você2=1{\ displaystyle u_ {2} = 1}, você1=2{\ displaystyle u_ {1} = 2},

isso é

δf|você2=1∝74(1-q){\ displaystyle \ left. \ delta f \ right | _ {u_ {2} = 1} \ propto {\ frac {7} {4}} (1-q)}. Sendo esta quantidade estritamente positiva, o ponto u 2  = 1 do eixo está localizado além do ponto L 2 . Conseqüentemente, no ponto L 2 , u 2 é menor que 1, portanto B é positivo, portanto o ponto é sim um ponto de sela, o que garante sua instabilidade. Uma demonstração estritamente análoga pode ser feita para o ponto L 3 , que completa a demonstração de sua instabilidade devido ao seu caráter de ponta de sela.  

Tempos característicos em L 1 e L 2 para sistemas com grande heterogeneidade de massa

Uma das aplicações mais importantes da instabilidade dos pontos de Lagrange, L 1 e L 2 , é que satélites artificiais podem ser enviados a esses pontos do sistema Terra-Sol (veja abaixo). Para tais satélites, correções de curso regulares devem ser aplicadas a fim de manter o satélite nas proximidades do ponto. Este tempo característico pode ser avaliado no caso em que a relação de massa dos dois corpos do sistema é alta. Neste caso, o tempo de instabilidade característico γ -1 é dado por

1γ=T2π1+27{\ displaystyle {\ frac {1} {\ gamma}} = {\ frac {T} {2 \ pi {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}}}},

onde T é o período orbital do sistema. No caso do sistema Terra-Sol, onde T é ligeiramente maior que 365 dias, o tempo característico de instabilidade é então de 23 dias e 4 horas.

Além disso, o componente estável da trajetória ocorre na pulsação

ωTrParaj=ω27-1{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {Traj}} = \ omega {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}},

ou, de forma equivalente, com o período

TTrParaj=T27-1{\ displaystyle T _ {\ rm {Traj}} = {\ frac {T} {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}}},

o que, no mesmo caso acima, dá um prazo de 176 dias.

Demonstração

A equação que dá os autovalores do sistema é sempre

λ4+(Ω,xx+Ω,yy+4ω2)λ2+Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2=0{\ displaystyle \ lambda ^ {4} + (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}) \ lambda ^ {2} + \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} = 0},

com, para os pontos L 1 e L 2 ,

Ω,xy=0{\ displaystyle \ Omega _ {, xy} = 0}, Ω,xx=-2Ω,yy-3ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} = - 2 \ Omega _ {, yy} -3 \ omega ^ {2}}, Ω,yy=ω2(qvocê23+1-qvocê13-1){\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ left ({\ frac {q} {u_ {2} ^ {3}}} + {\ frac {1-q} {u_ {1 } ^ {3}}} - 1 \ direita)}.

restringindo-nos aos termos de ordem mais baixa em q , u 1 é 1 e u 2 é determinado pela relação dada pela primeira tabela desta página. Portanto, temos

Ω,yy=ω2(3+1-1)=3ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ left (3 + 1-1 \ right) = 3 \ omega ^ {2}}, Ω,xx=-9ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} = - 9 \ omega ^ {2}}.

A equação polinomial então se torna

λ4-2ω2λ2-27ω4=0{\ displaystyle \ lambda ^ {4} -2 \ omega ^ {2} \ lambda ^ {2} -27 \ omega ^ {4} = 0},

cujas soluções são

λ±2=(1±27)ω2{\ displaystyle \ lambda _ {\ pm} ^ {2} = \ left (1 \ pm 2 {\ sqrt {7}} \ right) \ omega ^ {2}}.

A solução positiva para esta equação indica que os desvios do ponto de equilíbrio crescem exponencialmente ao longo do tempo de acordo com a relação

δX∝eλ+t{\ displaystyle \ delta X \ propto e ^ {\ lambda _ {+} t}},

com

λ+=ω1+27=2πT1+27{\ displaystyle \ lambda _ {+} = \ omega {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}} = {\ frac {2 \ pi} {T}} {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}}.

O tempo característico associado é, portanto,

1γ=1λ+=T2π1+27≃0,0635T{\ displaystyle {\ frac {1} {\ gamma}} = {\ frac {1} {\ lambda _ {+}}} = {\ frac {T} {2 \ pi {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}}} \ simeq 0, \! 0635 \; T},

ou, conforme anunciado, um tempo característico da ordem de 23 dias para os pontos de Lagrange da Terra.

Da mesma forma, existem trajetórias periódicas cuja pulsação é dada pelas raízes complexas da equação, ou seja

ωTrParaj=ω27-1{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {Traj}} = \ omega {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}},

isto é, um período de

TTrParaj=T27-1≃0,4827T{\ displaystyle T _ {\ rm {Traj}} = {\ frac {T} {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}} \ simeq 0, \! 4827 \; T}, o que corresponde a um tempo de quase seis meses para os pontos de Lagrange da Terra.  

A estrutura das órbitas na presença de instabilidade

Uma vez que os autovalores de um ponto instável são conhecidos, uma trajetória na vizinhança de um ponto de Lagrange será uma combinação linear dos autovetores associados aos autovalores. Ao observar λ i um desses autovalores, o autovetor associado tem como componentes

Veu=(1μeuλeuλeuμeu){\ displaystyle V_ {i} = \ left ({\ begin {array} {c} 1 \\\ mu _ {i} \\\ lambda _ {i} \\\ lambda _ {i} \ mu _ {i } \ end {array}} \ right)},

com

μeu=-12ω(Ω,xxλ+λ){\ displaystyle \ mu _ {i} = - {\ frac {1} {2 \ omega}} \ left ({\ frac {\ Omega _ {, xx}} {\ lambda}} + \ lambda \ right)},

e uma trajetória é da forma

(δXδYδX˙δY˙)=∑euαeuVeu{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ dot {\ delta X}} \\ {\ dot {\ delta Y}} \ end {array} } \ right) = \ sum _ {i} \ alpha _ {i} V_ {i}},

onde as quantidades são quaisquer números determinados pelo valor de δX , δY e sua derivada em um determinado momento. No caso dos três pontos de Lagrange instáveis, o determinante da segunda matriz derivada é negativo, o que implica que o discriminante da equação quadrática em λ 2 tem raízes reais de sinais opostos, e que, ao final do os autovalores buscados são dois números imaginários puros opostos e dois números reais opostos. Uma trajetória genérica compreende, portanto, no plano orbital, um componente periódico (ligado às raízes puras imaginárias), um componente amortecido (ligado à raiz positiva real) e um componente instável. Para uma dada posição δX , δY , é sempre possível escolher uma velocidade tal que os dois autovetores nas raízes reais não contribuam para a solução correspondente. A trajetória obtida é então periódica, sendo o período dado pela raiz complexa. Essa solução, entretanto, não é estável. Um pequeno desvio da trajetória adicionará, na verdade, um componente instável à trajetória, que irá gradualmente mover a trajetória para longe de seu componente periódico. Dizemos que a trajetória obtida não é dinamicamente estável. Esta é uma generalização do fato de que um objeto localizado exatamente em um ponto instável de Lagrange está em situação instável: um pequeno desvio dessa posição de equilíbrio, gerado inevitavelmente pelos distúrbios causados ​​pelos demais corpos do sistema, acabará se afastando o objeto de sua posição inicial. O mesmo acontece para trajetórias localizadas em torno do ponto de equilíbrio instável. αeu{\ displaystyle \ alpha _ {i}}

Relevância do conceito

O cálculo acima se refere a uma configuração onde os dois corpos do sistema estão em uma órbita circular. No entanto, o conceito de ponto de Lagrange é válido para qualquer tipo de órbita, inclusive elíptica. Podemos, portanto, definir esses pontos em qualquer sistema com dois corpos gravitacionalmente ligados. Por outro lado, as trajetórias, estáveis ​​ou instáveis, em torno dos vários pontos de Lagrange dependem explicitamente da circularidade ou não da órbita dos dois corpos do sistema.

Use em missões espaciais

O estudo matemático dos pontos de Lagrange, bem como suas propriedades matemáticas, como as variedades invariantes associadas, foi explorado para projetar missões de sondas espaciais no sistema solar. Para missões como Rosetta , Voyager ou Galileo , a velocidade relativa da sonda em relação aos corpos considerados é alta o suficiente para a aproximação, considerando que as órbitas Keplerianas são apenas ligeiramente perturbadas pelos outros corpos dentro da esfera de influência, seja válido. No entanto, assim que considerarmos as velocidades baixas e os impulsos baixos, uma aproximação mais precisa é necessária. O teorema de Liapounov-Poincaré nos garante a existência de uma família de órbitas periódicas em torno desses pontos de equilíbrio. As órbitas planas periódicas são então chamadas de órbitas de Liapunov , enquanto no caso 3D, elas são chamadas de acordo com suas propriedades topológicas, ou órbitas de Halo ou órbitas de Lissajous. Pode-se notar que este tipo de órbita periódica em torno dos pontos de Lagrange já foi utilizado na construção de missões reais como a missão SoHO .

Dessas órbitas periódicas em torno dos pontos de Lagrange, surgem variedades invariantes ( tubos de Conley-McGee ) que são separadores da dinâmica e que, nesse sentido, podem ser considerados correntes gravitacionais . Cada vez mais, essas correntes são utilizadas para o desenho de missões, em particular com a Rede de Transporte Interplanetário (ITN) .

Os Pontos Lagrange são usados ​​para atender às necessidades específicas de certas missões espaciais:

• O ponto Lagrange  L 1 do sistema Terra-Sol, localizado entre a Terra e o Sol (embora muito mais próximo do nosso planeta), permite que o Sol seja observado sem interferência ou sombra da Terra e da Lua. Portanto, é possível medir a atividade solar (erupções, ciclos, vento solar) sem que seja afetada pela magnetosfera terrestre . Esta é a posição ideal para missões de clima espacial como a realizada pelo SoHO e ACE .
• O ponto Lagrange  L 2 do sistema Terra-Sol fornece grande estabilidade térmica, embora esteja localizado perto o suficiente da Terra (1,5 milhões de km) para que os dados coletados possam ser transferidos em alta taxa. É usado em particular pelos grandes observatórios astronômicos espaciais lançados nas últimas duas décadas: Planck , James-Webb , Gaia , Euclide . Este ponto Lagrange  L 2 foi usado pela primeira vez em 2018 como um intermediário Terra-Lua pelo satélite chinês Queqiao . Este satélite de telecomunicações pode, assim, retransmitir para a Terra os dados coletados pela sonda espacial Chang'e 4 , localizada do outro lado da lua.

No sistema solar

Trojans

Os pontos L 4 e L 5 são geralmente estáveis, então existem muitos corpos naturais, chamados de trojans  :

• no sistema Sol- Júpiter , existem (em 2011) cerca de 5.000 asteróides nos pontos L 4 e L 5  ;
• no sistema Sol-Netuno , oito;
• no sistema Sol- Marte , quatro;
• no sistema Saturno - Tethys , os pontos L 4 e L 5 são ocupados por Telesto e Calypso , respectivamente;
• no sistema Saturno- Dione , Hélène e Pollux ocupam esses pontos.

Curiosamente, parece que o sistema Sol-Saturno não é capaz de acumular Trojans devido aos distúrbios de Júpiter .

No sistema Sol- Terra , sabemos desde1 st de Outubro de 2010um Trojan no ponto L 4 , o asteróide 2010 TK7 , que mede 300 metros de diâmetro. Alguns astrônomos apontam que este objeto pode representar um risco comparável aos NEOs. Esses autores também propõem que o impactador supostamente na origem da Lua ( Théia ) teria estacionado um tempo no ponto L 4 ou L 5 e acumulado massa antes de ser ejetado dele sob a ação dos outros planetas.

Formulários

Os pontos L 1 e L 2 são equilíbrios instáveis, o que os torna utilizáveis ​​no âmbito das missões espaciais: não existem corpos naturais, e um equilíbrio dinâmico pode ser mantido ali para um consumo de combustível razoável (o campo gravitacional é fraco na sua vizinhança )

Sistema Sol-Terra

As principais vantagens dessas posições, em comparação com as órbitas terrestres, são a distância da Terra e a exposição constante ao Sol ao longo do tempo. O ponto L 1 é particularmente adequado para observar o Sol e o vento solar . Este ponto foi ocupado pela primeira vez em 1978 pelo satélite ISEE-3 e atualmente é ocupado pelos satélites SoHO , DSCOVR , Advanced Composition Explorer e Lisa Pathfinder .

Por outro lado, o ponto L 2 é particularmente interessante para missões de observação do cosmos, que incorporam instrumentos altamente sensíveis que devem ser desviados da Terra e da Lua, e operando em temperaturas muito baixas. Atualmente é ocupado pelos satélites Herschel , Planck , WMAP , Gaia e também deve ser ocupado pelo JWST em 2021, Euclides em 2022 e o Nancy-Grace-Roman por volta de 2025.

Sistema Terra-Lua

Como parte da missão chinesa Chang'e 4 , uma sonda espacial lunar que pousou em 2019 na fase oculta da lua, um satélite relé Quequio foi colocado no ponto L 2 para garantir as comunicações entre a Terra e a sonda.

Por um tempo, considerou-se colocar um telescópio espacial no ponto L 4 ou L 5 do sistema Terra-Lua, mas essa opção foi abandonada depois que nuvens de poeira foram observadas lá.

Na ficção científica

Na ficção científica, devido à sua estabilidade, os pontos L 4 e L 5 do sistema Terra-Lua costumam abrigar colônias espaciais gigantescas. Os autores de ficção científica e história em quadrinhos gostam de colocar um ponto Anti-Terra L 3 . Essa ideia é anterior à física newtoniana, o que mostra que ela é bastante irreal. O ponto de Lagrange só interessa a um objeto de massa desprezível em comparação com os dois elementos do sistema, o que não é o caso de um planeta gêmeo.

Entre os autores que usaram esses pontos em seus relatos, John Varley prevê em vários de seus romances e contos a instalação de colônias em pontos de Lagrange do conjunto Terra-Lua, aproveitando o fato de um objeto de baixa massa n ' não precisaria de energia para manter sua posição em relação às duas estrelas. Este é particularmente o caso de sua série chamada Trilogia de Gaïa, onde certos personagens principais dos dois últimos volumes vêm de uma dessas colônias, "o Covent",

Eles também são encontrados, muitas vezes de forma secundária, nas histórias (romances e contos) que se inserem no contexto da série Les Huit Mondes . No romance Gens de la Lune em particular, o ponto L 5 é o local de montagem da espaçonave Robert Anson Heinlein que deveria embarcar em uma viagem interestelar, antes que o projeto fosse abandonado e a carcaça do navio armazenada em um aterro sanitário na Lua .

Nas várias obras dos universos Gundam , as colônias espaciais estão frequentemente localizadas em pontos de Lagrange, o que as torna importantes posições estratégicas nesses conflitos orbitais.

No filme 2010: The Year of First Contact de Peter Hyams (1984) (que se segue a 2001, A Space Odyssey ), o gigantesco monólito cuja natureza permanece misteriosa é apresentado como posicionado em um ponto de Lagrange entre Júpiter e uma de suas luas , Io.

Notas e referências

1. Ensaio sobre o problema dos três corpos [PDF] , ltas-vis.ulg.ac.be.
2. Geometria de Roche, Jean-Marie Hameury, Observatório de Estrasburgo [PDF] , astro.u-strasbg.fr.
3. Bernard Bonnard , Ludovic Faubourg e Emmanuel Trélat , Mecânica Celestial e Controle de Veículo Espacial , Berlin, Springer, col.  "Matemática e aplicações",2005, XIV -276  pág. ( ISBN  978-3-540-28373-7 , aviso BnF n o  FRBNF40153166 , leia online ), p.  73 ( lido online ) no Google Livros (acessado em 25 de julho de 2014).
4. http://www.esa.int/Enabling_Support/Operations/What_are_Lagrange_points
5. Se definirmos q como a razão entre a menor massa e o total, apenas valores de q menores que 0,5 fazem sentido, uma vez que os maiores valores correspondem à razão entre a maior massa e a massa total.
6. (em) Martin Connors et al. , "  Asteróide trojan da Terra  " , Nature , vol.  475, n o  7357,28 de julho de 2011, p.  481-483 ( DOI  10.1038 / nature10233 , Bibcode  2011Natur.475..481C , ler online [PDF] , acessado em 3 de dezembro de 2014 ) Os co-autores do artigo são, além de Martin Connors, Paul Wiegert e Christian Veillet.
   O artigo foi recebido pela revista Nature em11 de abril de 2011, aceito por seu comitê de leitura em 27 de maio de 2011 e postado em seu site em 27 de julho de 2011.
7. (em) Whitney Clavin e Trent J. Perrotto , "  Missão WISE da NASA encontra o primeiro asteróide de Tróia compartilhando a órbita da Terra  " na NASA , publicado em 27 de julho de 2011 (acessado em 3 de dezembro de 2014 ) .
8. Philippe Ribeau-Gésippe , "  Um novo satélite para a Terra: O primeiro satélite de Tróia da Terra foi descoberto  ", Pour la Science , n o  407,setembro de 2011, p.  6 ( ler online , consultado em 3 de dezembro de 2014 ) O artigo foi carregado em 8 de agosto de 2011, no site da revista.
9. (in) Os buracos gravitacionais abrigam assassinos planetários? , newscientist.com.
10. (em) "  A jornada do LISA Pathfinder através do espaço - anotada  " em sci.esa.int (acessado em 29 de fevereiro de 2016 ) .
11. (in) "  Observatório Webb da NASA requer mais tempo para testes e avaliação; Novo Lançamento Janela Under Review  " em nasa.gov (acessado em 1 st abril 2018 ) .
12. (em) "  Lagrange Points  " , The Gundam Wiki ,12 de setembro de 2016( leia online , consultado em 14 de dezembro de 2016 ).

• Grégory Archambeau , Estudo da dinâmica em torno dos pontos de Lagrange , Orsay, Universidade de Paris XI ,2008, X -114  p., leia online [PDF] em [1]
• Maxime Chupin , Transferências interplanetárias com baixo consumo usando as propriedades do problema restrito de três corpos , Paris, Université Pierre-et-Marie-Curie ,2016, XXVIII -171  p., leia online [PDF] em [2]
• (en) Richard Fitzpatrick, Analytical Classical Dynamics , curso ministrado na Universidade do Texas em Austin Veja online (versões em pdf e html) .

Veja também

Artigos relacionados

• Lista de objetos do Sistema Solar localizados em um ponto de Lagrange
• Théia

links externos

• (em) Registros de autoridade  :
  • Biblioteca Nacional da França ( dados )
  Livraria do Congresso

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