Teorema

Em matemática e lógica , um teorema (do grego teorema , um objeto digno de estudo) é uma afirmação que é provada , ou seja, estabelecida como verdadeira a partir de outras afirmações já demonstradas (teoremas ou outras formas de 'afirmações ) ou afirmações aceitas como verdadeiros, chamados de axiomas . Um teorema é demonstrado em um sistema dedutivo e é uma consequência lógica de um sistema de axiomas . Nesse sentido, difere de uma lei científica , obtida por meio da experimentação .

Definição tradicional

Tradicionalmente , um teorema foi apresentado como uma estrutura que consiste nos seguintes elementos:

hipóteses: isto é, condições básicas que são listadas no teorema, além dos elementos já estabelecidos no âmbito da teoria;
uma tese também chamada de conclusão: isto é, uma declaração matemática ou lógica de que o teorema prova ser verdadeiro sob os pressupostos básicos.
a prova: como um teorema às vezes pode ser provado de várias maneiras muito diferentes (veja o exemplo das provas múltiplas do teorema de Pitágoras ), apenas o fato de a prova existir é constitutivo do teorema, mas não o detalhe dessa prova. Uma prova é uma sequência de inferências lógicas envolvendo os axiomas da teoria subjacente, as hipóteses do teorema e os resultados previamente estabelecidos no quadro desta teoria.

Terminologia

Em sentido amplo, qualquer afirmação efetivamente demonstrada pode receber o nome de teorema. Em trabalhos matemáticos, entretanto, é costume reservar este termo para afirmações consideradas novas ou particularmente interessantes ou importantes. Dependendo de sua importância ou utilidade, as outras afirmações podem ter nomes diferentes:

lema : asserção servindo como intermediária para provar um teorema mais importante;
corolário : resultado que segue diretamente de um teorema comprovado; também se encontra, nas obras antigas, o termo scholie .
proposição : resultado relativamente simples que não está associado a um teorema particular;
conjectura : proposição matemática cujo valor de verdade é desconhecido. Uma vez provada, uma conjectura se torna um teorema.

O conjunto de afirmações prováveis de um conjunto de axiomas é chamado de teoria. Uma proposição é considerada um teorema relativo à teoria dentro da qual é construída. Este pode ser falso, mas o estatuto do teorema da proposição em relação à teoria depende apenas da verdade da implicação entre a teoria e a proposição.

Um teorema é provado a partir de hipóteses básicas e regras de inferência .

A prova, embora necessária para a classificação da proposição como um "teorema", não é considerada parte do teorema.

Definição formal

Seja F uma fórmula e T uma teoria, dizemos que F é um teorema de T se:

Definição semântica:
- Todos os modelos de T são modelos de F, ou seja,
- para qualquer estrutura de interpretação m , se m é um modelo de T, então m é um modelo de F. Isso é observado:
- se m ⊨ T, então m ⊨ F, ou resumidamente:
- T ⊨ F
Definição sintática:

Existe uma prova de F a partir de T, que é denotada por T ⊢ F

Notas:

T pode ser a teoria vazia, ou seja, sem axiomas . Nesse caso, F é um teorema da lógica subjacente. Dizemos, neste caso, que F é uma tautologia dessa lógica.

T pode ser, por exemplo, a axiomática de Euclides para a geometria ou a aritmética de Peano . Mas, quando T não é especificado, geralmente a teoria subjacente é a teoria dos conjuntos com axioma de escolha , e a lógica subjacente é o cálculo de predicados clássicos de primeira ordem .

As definições sintáticas e semânticas acima coincidem para todas as lógicas que compreendem um teorema da completude , isto é, a maioria das lógicas usuais.

Como afirmado acima, um teorema requer raciocínio lógico baseado em axiomas. Consiste em uma série de axiomas fundamentais (ver sistema de axiomas ) e um processo de inferência que permite que os axiomas sejam derivados em novos teoremas e outros teoremas previamente demonstrados. Na lógica das proposições , qualquer afirmação comprovada é chamada de teorema.

Demonstração automática

Artes

A noção de teorema aparece em certas obras de arte.

O filme Teorema Zero
O romance O Teorema do Papagaio
O filme Teorema , de Pier Paolo Pasolini , lançado em 1968.

Notas e referências

(in) Elisha Scott Loomis, " The Pythagorean proposition: its demonstrations Analyzed and Classificados, e bibliografia de fontes para dados dos quatro tipos de provas " , Education Resources Information Center , Institute of Education Sciences do US Department of Education (acessado em 26 de setembro de 2010 ) , originalmente publicado em 1940 e reimpresso em 1968 pelo National Council of Teachers of Mathematics.
Larousse , dicionário enciclopédico ilustrado Le grand Larousse em 3 volumes e 1 CD-ROM , Larousse, impr. 2005 ( ISBN 2035202566 , OCLC 491621482 ).