Processo gradualmente mensurável

Em matemática , um processo mensurável progressivamente é um tipo de processo estocástico . Este tipo de processo permite demonstrar que um processo interrompido é mensurável .

Definição

Ser

$(\ Omega, \ mathcal {F}, \ mathbb {P})$ um espaço de probabilidade ;
${\ displaystyle (\ mathbb {X}, {\ mathcal {A}})}$ um espaço mensurável , o espaço de estados ;
${\ displaystyle \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ mid t \ geq 0 \}}$ filtração de σ-álgebra ; ${\ mathcal {F}}$
${\ displaystyle X: [0, \ infty) \ times \ Omega \ to \ mathbb {X}}$ um processo estocástico (o conjunto de índices pode ser ou em vez de ) $[0, T]$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}$ ${\ displaystyle [0, \ infty)}$
${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ([0, t])}$ a σ-álgebra de Borel diante . $[0, t]$

Diz-se que o processo é progressivamente mensurável se, para cada um , a aplicação definida por for - mensurável . Isso implica que é - adequado. $X$ $t$ ${\ displaystyle [0, t] \ times \ Omega \ to \ mathbb {X}}$ ${\ displaystyle (s, \ omega) \ mapsto X_ {s} (\ omega)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ([0, t]) \ otimes {\ mathcal {F}} _ {t}}$ $X$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$

Referências

(in) Andrea Pascucci , PDE and Martingale Methods in Option Pricing , Milão / Nova York, Berlim: Springer,2011, 719 p. ( ISBN 978-88-470-1781-8 , leia online )
(em) Ioannis Karatzas e Steven Shreve , Movimento Browniano e Cálculo Estocástico , Nova York / Berlim / Paris etc., Springer,1991, 2 nd ed. , 4-5 p. ( ISBN 0-387-97655-8 , leia online )