Lógica modal

Na lógica matemática , uma lógica modal é um tipo de lógica formal que estende a lógica proposicional , a lógica de primeira ordem ou lógica de ordem superior com modalidades . Uma modalidade especifica qualidades da verdade . Por exemplo, uma proposição como "está chovendo" pode ser precedida por uma modalidade:

• É necessário que chova;
• Amanhã choverá;
• Cristóvão Colombo acha que está chovendo;
• É mostrado que está chovendo;
• É obrigatório que chova.

Há uma variedade de lógicas modais, como lógica temporal , lógica epistêmica (lógica do conhecimento). Na ciência da computação , a lógica modal é usada por sua expressividade e aspectos algorítmicos. Por exemplo, a lógica de tempo é usada para especificar programas e depois verificá-los .

Lógica modal Alética

Na lógica modal alética (ou aristotélica, ou clássica), identificamos quatro modalidades:

• necessário (o que não pode ser verdade), anotado ;◻{\ displaystyle \ Box}
• contingente (que pode estar errado), anotado ;¬◻{\ displaystyle \ neg \ Box}
• possível (o que pode ser verdade), anotado ;◊{\ displaystyle \ Diamond}
• impossível (o que não pode estar errado), observou.¬◊{\ displaystyle \ neg \ Diamond}

Essas 4 modalidades estão interligadas, bastando uma para definir as outras três.

A interpretação intuitiva (não compartilhada por toda a comunidade lógico-filosófica) é a seguinte:

• Necessário ≡ impossível, não;
• Quota ≡ não necessária ≡ não é possível;
• Possível ≡ não impossível.
• Impossível = impossível.

Portanto, distinguimos dois conectores duais unários um do outro:

• O necessário  ;◻{\ displaystyle \ Box}
• O possível .◊{\ displaystyle \ Diamond}

◻{\ displaystyle \ Box}p significa que p é necessariamente verdadeiro, enquanto p significa que p é possivelmente verdadeiro, ou seja, compatível com o conhecimento atual. ◊{\ displaystyle \ Diamond}

Exemplos:

• ¬◻{\ displaystyle \ neg \ Box} trabalho: não é necessário que os alunos trabalhem;
• ¬◊{\ displaystyle \ neg \ Diamond} trabalho: não é possível que os alunos trabalhem;
• ◻¬{\ displaystyle \ Box \ neg} trav: é necessário que os alunos não trabalhem;
• ◊¬{\ displaystyle \ Diamond \ neg} trav: é possível que os alunos não trabalhem.

Na lógica modal alética (ou aristotélica, ou clássica), podemos expressar os quatro operadores usando apenas um (aqui a necessidade) e a negação. Então :

• Impossível é  ;◻¬{\ displaystyle \ square \ neg}
• Possível é .¬◻¬{\ displaystyle \ neg \ square \ neg}

Uma proposição necessária não pode ser falsa sem implicar uma contradição , um contrario de uma proposição contingente que pode ser falsa sem implicar uma contradição.

Lógicas modais diferentes

Outros tipos de lógica modal também são usados, os modos dos quais são:

• epistêmica (relacionada ao conhecimento):
  • conhecido do agente , observoueu{\ displaystyle i}VSeu{\ displaystyle C_ {i}}
  • questionável
  • excluído
  • plausível
  • conhecimento comum do grupo de agentes, observouG{\ displaystyle G}VSKG{\ displaystyle CK_ {G}}
  • conhecimento compartilhado do grupo de agentes, observado (todos sabem)G{\ displaystyle G}EKG{\ displaystyle EK_ {G}}
• deôntica (moral):
  • obrigatório , observado O
  • proibido , observei eu
  • licença , observou P
  • opcional , denotado por F
• temporal  :
  • sempre , notado ou G◻{\ displaystyle \ Box}
  • um dia , notado , ou às vezes F◊{\ displaystyle \ Diamond}
  • nunca notado¬◊{\ displaystyle \ neg \ Diamond}
  • amanhã , observou X
  • até , operador binário denotado por U
  • sempre no passado , notou H
  • um dia se passou , observou P
• doxástico (em crenças):
  • cru , notado B
  • crença comum do grupo de agentes, observouG{\ displaystyle G}VSBG{\ displaystyle CB_ {G}}
• contrafatuais  :
  • Se A fosse verdadeiro , onde sabemos que A não é verdadeiro.
• dinâmica (efeito das ações, observado a , nas proposições):
  • Existe uma execução de a tal que após a , p for verdadeiro , notado⟨no⟩p{\ displaystyle \ langle a \ rangle p}
  • p é verdadeiro após qualquer execução de a , notado .[no]p{\ displaystyle [a] p}

Axiomas da lógica modal

Cada lógica modal é fornecida com uma série de axiomas que definem o funcionamento das modalidades.

Podemos, portanto, construir diferentes sistemas de acordo com os axiomas admitidos.

• O sistema K projetado por Kripke e denominado sistema normal ou Kripke. Ele admite os seguintes dois axiomas:
  • (K) (axioma de distribuição de Kripke);◻(NO→B)→(◻NO→◻B){\ displaystyle \ Box (A \ rightarrow B) \ rightarrow (\ Box A \ rightarrow \ Box B)}
  • (RN) (ou (N) ou (NEC) ) Se for um teorema, então também (regra de inferência de necessidade).NO{\ displaystyle A}◻NO{\ displaystyle \ Box A}

• O sistema D, projetado adicionando o axioma (D) ao sistema K:
  • (D ) (na lógica aristotélica, isso expressa que necessidade implica possibilidade ).◻P→◊P{\ displaystyle \ Box P \ rightarrow \ Diamond P}

• O sistema T projetado por Robert Feys em 1937, adicionando o axioma (T) ao sistema K:
  • (T) (ou (M) ): (na lógica aristotélica, isso expressa que o fato implica a possibilidade ).P→◊P{\ displaystyle P \ rightarrow \ Diamond P}

• Os sistemas S4 e S5 definidos por Clarence Irving Lewis .
  • Para construir S4, adicionamos ao sistema T o axioma (4)  :
    • (4) .◻p→◻◻p{\ displaystyle \ Box p \ rightarrow \ Box \ Box p}
  • Para construir S5, adicionamos ao sistema T o axioma (5)  :
    • (5) (ou (E) ) .◊p→◻◊p{\ displaystyle \ Diamond p \ rightarrow \ Box \ Diamond p}

• O sistema B (ou Brouwérien), projetado por Oskar Becker em 1930, adicionando o axioma (B) ao sistema T.
  • (B)  : .p→◻◊p{\ displaystyle p \ rightarrow \ Box \ Diamond p}

Dizemos que um sistema é mais fraco do que outro quando tudo o que é demonstrado no primeiro sistema é demonstrado no segundo, mas não vice-versa.

Isso prioriza, do mais fraco para o mais forte, os sistemas K, T, S4 e S5. Da mesma forma, K é mais fraco que D e T é mais fraco que B.

A série de sistemas K a S5 forma uma hierarquia aninhada que constitui o núcleo da lógica modal normal. O axioma (D) , por outro lado, é usado principalmente nas lógicas deôntica, doxástica e epistêmica.

Modelos lógicos modais

Os modelos de Kripke, ou modelos de mundos possíveis , dão semântica à lógica modal. Um modelo de Kripke são os dados:

• de um conjunto não vazio de mundos possíveis  ;C{\ displaystyle W}
• uma relação binária entre os mundos possíveis chamada relação de acessibilidade;R{\ displaystyle R}
• de uma avaliação que dá um valor de verdade a cada variável proposicional em cada mundo possível.V{\ displaystyle V}

A semântica de um operador modal é definida a partir de uma relação de acessibilidade da seguinte maneira: a fórmula é verdadeira em um mundo w se, e somente se a fórmula for verdadeira em todos os mundos acessíveis de w pela relação . ◻NO{\ displaystyle \ square A}NO{\ displaystyle A}R{\ displaystyle R}

Classificação de sistemas lógicos modais

Os sistemas lógicos modais são organizados de acordo com as regras de inferência e os axiomas que os caracterizam.

Lógica modal clássica

Os sistemas de lógica modal clássica são aqueles que aceitam a seguinte regra de inferência:

(RE)NO↔B◻NO↔◻B{\ displaystyle (RE) {\ frac {A \ leftrightarrow B} {\ Box A \ leftrightarrow \ Box B}}}

É comum que esse sistema receba um nome canônico do tipo , em que são os nomes dos axiomas do sistema. Eξ1ξ2⋯ξnão{\ displaystyle E \ xi _ {1} \ xi _ {2} \ cdots \ xi _ {n}}ξeu{\ displaystyle \ xi _ {i}}

Lógicas modais monotônicas

Os sistemas lógicos modais monotônicos são aqueles que aceitam a regra de inferência RM:

(RM)NO→B◻NO→◻B{\ displaystyle (RM) {\ frac {A \ to B} {\ Box A \ to \ Box B}}}

O conjunto de sistemas monotônicos está incluído no conjunto de sistemas convencionais.

Lógicas modais regulares

Os sistemas lógicos modais regulares são aqueles que aceitam a regra de inferência RR:

(RR)(NO∧B)→VS(◻NO∧◻B)→◻VS{\ displaystyle (RR) {\ frac {(A \ wedge B) \ to C} {(\ Box A \ wedge \ Box B) \ to \ Box C}}}

O conjunto de sistemas regulares está incluído no conjunto de sistemas monotônicos.

Lógica modal normal

Os sistemas lógicos modais normais são aqueles que aceitam a regra de inferência RK:

(RK)(NO1∧⋯NOnão)→B(◻NO1∧⋯◻NOnão)→◻B{\ displaystyle (RK) {\ frac {(A_ {1} \ wedge \ cdots A_ {n}) \ to B} {(\ Box A_ {1} \ wedge \ cdots \ Box A_ {n}) \ to \ Caixa B}}}

O conjunto de sistemas normais está incluído no conjunto de sistemas regulares.

Uma definição equivalente e mais comum de sistemas normais é a seguinte: um sistema lógico modal é dito normal se tem o axioma (K) e aceita a regra de necessidade (RN) como regra de inferência:

(K)◻(NO→B)→(◻NO→◻B){\ displaystyle (K) \ Box (A \ to B) \ to (\ Box A \ to \ Box B)}

(RNÃO)NO◻NO{\ displaystyle (RN) {\ frac {A} {\ Box A}}}

Os sistemas normais são os mais utilizados, pois são os que correspondem à semântica de Kripke . No entanto, é possível encontrar semânticas para lógicas clássicas não normais, mas geralmente elas têm propriedades mais pobres.

Link com outras lógicas

A lógica intuicionista pode ser construída na lógica alética como uma lógica modal. A lógica modal é um fragmento da lógica de primeira ordem.

Notas e referências

1. Jacques Paul Dubucs "não convencional Logic", em Encyclopaedia Universalis , Volume 13, Paris, 1990, p. 977-992.

Veja também

Artigos relacionados

• Contingente
• Dilema
• Ficcionalismo modal
• Fórmula Sahlqvist
• Lógica de provabilidade
• Lógica deôntica
• Lógicas de múltiplos valores
• Prova ontológica de Gödel
• Semântica de Kripke
• Teorema de Löb
• Teoria Dezert-Smarandache

links externos

• (pt) James Garson, Modal Logic , The Stanford Encyclopedia of Philosophy , Edward N. Zalta (ed.), 2007.
• (en) Provador S4 pelo método Tableaux , provador S4
• (en) Ross Kirsling, Modal Logic Playground

Bibliografia

• Patrick Blackburn, Maarten de Rijke e Yde Venema, Modal Logic , Cambridge University Press, 2001
• (pt) Brian F. Chellas, Modal logic, uma introdução , Cambridge University Press,1980[ detalhe da edição ]
• L. Fontaine, Modal logics and anthropology. Das regras à palavra entre os índios Yucuna da Amazônia colombiana . L'Homme , n.184, 2007, 131-153.
• P. Gochet, P. Gribomont, A. Thayse, Logique, Vol. 3: methods for artificial intelligence, Paris, Hermès-Lavoisier, 2000, 394p. (Resumo muito completo em francês das principais lógicas modais).

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