Seio cardinal

Em matemática , a função seno cardinal é uma função especial definida a partir da função seno trigonométrica que ocorre freqüentemente em problemas de física de ondas .

Definições

A função seno cardinal é definida por: $\ operatorname {sinc} (x) = {\ frac {\ sin (x)} {x}}$ (definição 1) onde $sin$ denota a função seno .

Existe outra definição comumente usada: $\ operatorname {sinc} (x) = {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}}$ (definição 2).

Quando a confusão for possível, iremos subseqüentemente denotar por $sinc 1$ (resp. $Sinc π$ ) a primeira (e respectivamente a segunda) versão da função. O segundo é às vezes chamado de seio cardinal normalizado .

Propriedades

Propriedades elementares

O valor em zero parece à primeira vista indefinido, mas o cálculo do limite é possível: reconhece-se em ${\ frac {\ sin x} {x}} = {\ frac {\ sin x- \ sin 0} {x-0}}$ uma taxa de aumento para a função seno, cujo limite em 0 é o número derivado do seno em 0, igual a $cos (0) = 1$ , que permite definir a função definindo $sinc (0) = 1$ , operando assim um extensão por continuidade .

Os zeros da função são alcançados em (primeira definição) ou (segunda definição) $x = k \ pi, \ k \ in \ mathbb {Z} ^ {*}$ $x = k, \ k \ in \ mathbb {Z} ^ {*}$

Abscissas e valores dos extremos

$x$	$x / π$	$sinc ( x )$	$sinc 2 ( x )$	$20 log \| sinc ( x ) \|$
0	0	1	1	0
4,493409	1.430297	-0,217234	0,047190	-13,26
7,725252	2,459024	0,128375	0,016480	-17,83
10.904122	3.470890	-0,091325	0,008340	-20,79
14.066194	4,477409	0,070913	0,005029	-22,99
17.220755	5,481537	-0,057972	0,003361	-24,74
20.371303	6,484387	0,049030	0,002404	-26,19
23.519452	7,486474	-0,042480	0,001805	-27,44
26,666054	8,488069	0,037475	0,001404	-28,53
29.811599	9,489327	-0,033525	0,001124	-29,49
32.956389	10.490344	0,030329	0,000920	-30,36
36.100622	11,491185	-0,027690	0,000767	-31,15
39,244432	12,491891	0,025473	0,000649	-31,88
42,387914	13,492492	-0,023585	0,000556	-32,55

O valor em que o quadrado de $sinc 1 ( x )$ é $igual$ a 0,5 é atingido para $x = \pm 1,39156$ aproximadamente (o que permite definir a largura da banda passante a −3 dB em potência, da função).

Resultados do cálculo infinitesimal

A função pode ser desenvolvida em séries completas na linha real: ${\ frac {\ sin x} {x}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{+ \ infty}} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {{2n}} } {(2n + 1)!}}$ e também é escrito como uma integral paramétrica : ${\ displaystyle {\ frac {\ sin x} {x}} = \ int _ {0} ^ {1} \ cos (tx) \, \ mathrm {d} t}$ .

De uma ou outra dessas duas fórmulas, deduzimos que o seno cardinal é indefinidamente diferenciável e pode até mesmo ser estendido em uma função holomórfica em todo o plano complexo. $\ mathbb {R}$

As primitivas da função seno cardinal não podem ser calculadas usando funções elementares. É comum definir uma função especial , a função seno integral como a primitiva do seno cardinal zero em 0: $\ operatorname {Si} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sin t} {t}} \, {\ mathrm d} t.$

Provamos que a integral converge. Trata-se da integral de Dirichlet , valendo $π / 2$ . No entanto, a função seno cardinal não é integrável no no sentido de Lebesgue (é, por outro lado, no sentido da integral de calibre ), porque a convergência não é absoluta; em outras palavras, nós temos $\ int _ {0} ^ {{+ \ infty}} {\ frac {\ sin x} x} \, {\ mathrm d} x$ $\ R_ +$ $\ int _ {0} ^ {{+ \ infty}} {\ frac {| \ sin t |} {t}} \, {\ mathrm d} t = + \ infty.$

transformada de Fourier

A transformada de Plancherel do seno cardinal $sinc π$ é a função de porta $Π$ , uma função indicadora do intervalo real $[-1/2, 1/2]$ .

Na verdade, a transformada de Fourier de $Π$ é: ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ Pi) (f) = \ int _ {- 1/2} ^ {1/2} {\ rm {e}} ^ {- 2 \ pi \ mathrm {i } ft} \, \ mathrm {d} t = \ operatorname {sinc} _ {\ pi} (f).}$

Links com funções especiais

O seno cardinal aparece na expressão das funções esféricas de Bessel de primeiro tipo , em particular,

{\ displaystyle \ operatorname {sinc} _ {1} (x) = j_ {0} (x)}

O seno cardinal normalizado é expresso como um produto infinito :

{\ displaystyle \ operatorname {sinc} _ {\ pi} (x) = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {n ^ {2 }}} \ direito)}

e aparece na fórmula do suplemento , que pode ser reescrita:

{\ displaystyle \ Gamma (1 + x) \ Gamma (1-x) = {\ frac {1} {\ operatorname {sinc} _ {\ pi} (x)}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ sin z} {z}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ cos {\ frac {z} {2 ^ {n}}}}

Uso e aplicativos

ET Whittaker mostrou que a função seno cardinal desempenha um papel central na teoria da interpolação em uma rede de pontos equidistantes.
Dado que a transformada de Fourier da função de porta é muito comumente usada, o seno cardinal está necessariamente muito presente, especialmente na física das ondas (porque os fenômenos de difração de Fraunhofer são processados pela transformada de Fourier), bem como no processamento digital do sinal . Mais precisamente, na teoria da informação , a função seno cardinal permite a síntese exata de sinais com espectro de suporte finito ( fórmula de Shannon , 1949). Em particular, o seno cardinal é frequentemente encontrado na teoria da antena , acústica , radar , para difração por um slot , etc.
A mesma ideia é a base da aproximação do sigma de Cornelius Lanczos .
Também costumamos usar o quadrado do seno cardinal, porque dá a intensidade ou a potência do sinal cuja amplitude está no seno cardinal. Freqüentemente, será feita uma tentativa de reduzir a influência dos máximos secundários do módulo (que dá origem a lobos secundários indesejáveis).
Como os valores diminuem rapidamente, o quadrado da função seno cardinal é frequentemente traçado em uma escala logarítmica .

Notas e referências

Para uma demonstração, veja por exemplo este exercício corrigido na Wikiversidade .
Cf. (en) Edmund Taylor Whittaker , “ Sobre as funções que são representadas pelas expansões da teoria de interpolação ” , Proc. Roy. Soc. Edimburgo , n o 35,1915, p. 181-194e (en) John Macnaghten Whittaker , Teoria da Função Interpolatória , Londres, Cambridge University Press , col. "Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics",1935.

Veja também

(en) Eric W. Weisstein , “ Sinc Function ” , no MathWorld