Morfologia matemática

A morfologia matemática é uma teoria e análise técnica matemática e computacional estrutural que está ligada à álgebra , à teoria da rede , à topologia e às probabilidades .

O desenvolvimento da morfologia matemática é inspirado em problemas de processamento de imagens , um campo que constitui seu principal campo de aplicação. Em particular, fornece ferramentas para filtragem, segmentação , quantificação e modelagem de imagens. Também pode ser usado no processamento de sinais , por exemplo, para filtrar as variações de uma medição (física, biológica) ao longo do tempo.

Visão geral

Uma das ideias básicas da morfologia matemática é estudar ou tratar um conjunto usando outro conjunto, denominado elemento estruturante , que serve como sonda. Em cada posição do elemento estruturante, vemos se ele toca ou se está incluído no conjunto inicial. Dependendo da resposta, construímos um conjunto de saída. Assim, obtemos operadores básicos relativamente intuitivos.

As propriedades frequentemente encontradas em operadores morfológicos são:

a não linearidade ;
a não invertibilidade ;
a idempotência .

Isso implica, em particular, uma perda de informações; quando usados corretamente, esses operadores permitem eliminar estruturas que não atendem a determinados critérios, como largura ou volume.

A morfologia matemática também está interessada em conjuntos e funções aleatórias.

O principal campo de aplicação da morfologia matemática é o processamento de imagens. Fornece, em particular, ferramentas de filtragem, segmentação e quantificação. Desde o seu aparecimento em 1964, tem tido um sucesso crescente e agora contribui para encher a caixa de ferramentas de qualquer fornecedor de imagens.

Breve história

A morfologia matemática foi inventada em 1964 por Georges Matheron e Jean Serra nos laboratórios da École des Mines de Paris . Seu desenvolvimento sempre foi fortemente motivado por aplicações industriais. Inicialmente, tratava-se de responder a problemas no domínio da mineração, mas muito rapidamente os seus campos de aplicação diversificaram-se: biologia, imagiologia médica, ciências dos materiais, visão industrial, multimédia, teledetecção e geofísica são alguns exemplos de domínios em que a matemática a morfologia deu uma contribuição importante.

A morfologia matemática continua sendo um campo ativo de pesquisa. Isso é evidenciado pelas inúmeras publicações científicas sobre o assunto, bem como pelos simpósios internacionais de morfologia matemática que acontecem a cada dois ou três anos.

Alguns exemplos de temas de pesquisa atuais:

linha divisória: paralelização, abordagem topológica, hierarquia;
extensão a espaços não euclidianos, a funções vetoriais (imagens coloridas, imagens multiespectrais, etc.) e a imagens não convencionais;
vínculos com aprendizagem profunda (redes morfológicas; pré-processamento e pós-processamento);
abordagens estocásticas para segmentação e filtragem;
arquiteturas eletrônicas eficientes para a implementação de operadores morfológicos;
desenvolvimento de algoritmos rápidos;
processamento de nuvem de pontos;
modelação de estruturas físicas, em particular no domínio das ciências dos materiais.

Operadores básicos

A morfologia matemática pode ser desenvolvida dentro da estrutura abstrata da teoria da rede . No entanto, uma apresentação mais prática, voltada para um potencial usuário de ferramentas de processamento de imagem, ao invés de um matemático, é adotada aqui.

Definir caso

Consideremos in , muitas vezes usado como modelo de suporte de imagens binárias bidimensionais, mesmo que tudo o que é apresentado nesta seção permaneça válido em , onde é um inteiro estritamente positivo. Let Ser um subconjunto de , chamado de elemento estruturante . Se for um elemento de , denotamos o conjunto traduzido de : $E = \ Z ^ 2$ $\ mathbb {R} ^ {d}$ $d$ $B$ $E$ $x$ $E$ $B_x$ $B$ $x$ $B_x = \ {b + x \ mid b \ in B \}$

O elemento estruturante desempenha de certa forma o papel de modelo local, ou sonda. Ele é transportado para todo o lado na imagem a ser processada, e a cada posição estudamos sua relação com a imagem binária, considerada um conjunto. Essas relações podem ser do tipo “está incluído no conjunto” ou “afeta o conjunto”, por exemplo.

Na telha quadrada , os elementos estruturantes mais convencionalmente utilizados são a cruz, formada pela origem e os quatro pontos mais próximos, e o quadrado, formada pela origem e os oito pontos mais próximos. Esses dois elementos estruturantes correspondem, respectivamente, a duas definições possíveis da vizinhança de um pixel ou do tipo de conectividade da imagem. Na telha hexagonal , o elemento básico é o hexágono centrado.

Também introduzimos a simetria de um conjunto, observado : $\ breve {B}$ $\ breve {B} = \ {- b \ mid b \ in B \}$

Se for simétrico, temos . $B$ $\ breve {B} = B$

Expansão e erosão

Let Ser um subconjunto de . A dilatação morfológica com o elemento estruturante é definida como a soma de Minkowski : $X$ $E$ $B$ $\ delta_B (X) = X \ oplus B = \ {x + b \ mid b \ in B, x \ in X \} = \ cup_ {x \ in X} B_x$

Outra formulação mais intuitiva é: $\ delta_B (X) = \ {x \ mid \ breve {B} _x \ cap {X} \ neq \ vazio \}$

A dilatação morfológica geralmente não é reversível. A operação que de certa forma tenta produzir o reverso da dilatação é a erosão morfológica : $\ epsilon_B (X) = X \ ominus B = \ {x \ mid B_x \ subconjunto X \}$

Dilatação e erosão são os operadores básicos da morfologia matemática. Quase todos os outros podem ser definidos usando estes, usando composições de funções e operações de conjunto.

Imagem original (em preto: o objeto; em branco: o fundo).
Expansão por um quadrado 3x3: os pixels pretos e cinzas fazem parte do conjunto resultante.
Erosão por um quadrado 3x3: apenas pixels pretos fazem parte do conjunto resultante.

Propriedades algébricas de expansão e erosão

A dilatação é uma transformação extensa se B contiver a origem: ${\ displaystyle X \ subseteq \ delta _ {B} (X)}$ A erosão é anti-extensa se B contiver a origem: ${\ displaystyle \ epsilon _ {B} (X) \ subseteq X}$ Expansão e erosão são transformações crescentes (como união e interseção): ${\ displaystyle X \ subseteq Y \ Rightarrow \ delta _ {B} (X) \ subseteq \ delta _ {B} (Y)}$ ${\ displaystyle X \ subseteq Y \ Rightarrow \ epsilon _ {B} (X) \ subseteq \ epsilon _ {B} (Y)}$ Expansão e erosão não são transformações idempotentes: ${\ displaystyle \ delta _ {B} (\ delta _ {B} (X)) \ neq \ delta _ {B} (X)}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {B} (\ epsilon _ {B} (X)) \ neq \ epsilon _ {B} (X)}$ Por outro lado, dilatação e erosão verificam a propriedade de iteratividade que permite construir dilatações ou erosões com elementos estruturantes homotéticos: ${\ displaystyle \ delta _ {3B} (X) = \ delta _ {1B} (\ delta _ {1B} (\ delta _ {1B} (X)))}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {3B} (X) = \ epsilon _ {1B} (\ epsilon _ {1B} (\ epsilon _ {1B} (X)))}$ A dilatação é uma transformação contínua e a erosão é um processamento semicontínuo superior . Esta propriedade segue diretamente da propriedade da interseção na subtração de Minkowski.

A dilatação é distributiva em relação à união e a erosão em relação à intersecção : ${\ displaystyle \ delta _ {B \ cup B '} (X) = \ delta _ {B} (X) \ cup \ delta _ {B'} (X)}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {B \ cap B '} (X) = \ epsilon _ {B} (X) \ cap \ delta _ {B'} (X)}$ Deixe ser uma família de elementos estruturantes homotéticos e homotetia de relação . A compatibilidade de dilatação e erosão com dilatação é escrita: $\ lambda$ ${\ displaystyle \ delta _ {1B} (X) = {\ frac {1} {\ lambda}} \ delta _ {\ lambda B} (\ lambda X)}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {1B} (X) = {\ frac {1} {\ lambda}} \ epsilon _ {\ lambda B} (\ lambda X)}$

A dilatação, como a união, preserva a conexão . A dilatação não é uma transformação que preserva a homotopia . Na verdade, ele conecta elementos desconexos e preenche buracos. A erosão não é uma transformação que preserva a homotopia . Isso ocorre porque ele separa as partes relacionadas e remove os elementos quando eles são pequenos. A erosão, como a intersecção, não preserva a conexão .

Abrindo e fechando

A composição de uma dilatação morfológica com erosão pelo mesmo elemento estruturante não produz, em geral, a identidade, mas dois outros operadores morfológicos, a abertura morfológica: $\ gamma_B (X) = X \ circ B = \ delta_B (\ epsilon_B (X))$ e fechamento morfológico: $\ phi_B (X) = X \ bullet B = \ epsilon_B (\ delta_B (X))$ A abertura pode ser caracterizada geometricamente: dá a união de todos os incluídos em . Assim, a forma do elemento estruturante permite escolher as estruturas que o podem conter. $B_x$ $X$

O fecho é o dual da abertura: o fecho do complemento de um conjunto é igual ao complemento da abertura deste conjunto.

Note-se que se o elemento estruturante não for simétrico, deverá ser utilizado o elemento simétrico para o segundo operador (dilatação no caso da abertura e erosão no caso do fecho). $B$ ${\ displaystyle {\ breve {B}}}$

Abrindo e fechando propriedades

O fechamento e a abertura são operações crescentes e idempotentes , duas propriedades que definem os filtros morfológicos .
O fechamento é extenso ( ), e a abertura é antiextensiva ( ). $X \ subset \ phi (X)$ $\ gamma (X) \ subconjunto X$
A abertura e o fechamento são operadores semicontínuos superiores . É a erosão que impõe esta propriedade, sendo a expansão contínua.
Do ponto de vista topológico , a abertura não preserva a conectividade enquanto o fechamento a preserva. A abertura e o fechamento não são transformações homotópicas .

Imagem original
Fechamento com um quadrado 3 × 3: os pixels pretos e cinza fazem parte do conjunto resultante
Abrindo com um quadrado 3 × 3: apenas pixels pretos fazem parte do conjunto resultante

Transformação tudo ou nada

Também podemos pegar dois elementos estruturantes e definir transformações. Se pedirmos em cada ponto para estar fora do conjunto e dentro, obteremos a transformação tudo ou nada ( transformação hit ou miss em inglês): $NO$ $B$ $x$ $NO$ $B$ $\ eta (X) = \ {x \ mid A_x \ subconjunto X ^ c; B_x \ subset X \}$ onde designa o complemento do conjunto . Esta transformação permite detectar certas configurações precisas de pixels. Entre as configurações mais utilizadas teremos: $X ^ c$ $X$

Os pontos extremos e os pontos triplos do esqueleto obtidos por desbaste .
As configurações correspondentes aos diferentes números de conectividade .

Engrossando e desbastando

Ao adicionar o resultado da transformação ao conjunto inicial, obtemos um espessamento : $\ operatorname {ep} (X) = X \ cup \ eta (X)$ removendo o resultado do conjunto inicial, obtemos um desbaste : $\ operatorname {aminc} (X) = X - \ eta (X)$

Aplicações: esqueleto, esqueleto, envelope convexo

Ao usar suítes de desbaste, podemos reduzir gradualmente o conjunto inicial (como se estivéssemos descascando). Desta forma, podemos calcular diferentes tipos de esqueletos , incluindo esqueletos homotópicos.
Engrossamentos homotópicos também permitem construir Skiz (esqueletos por área de influência).
Com outra configuração, os envoltórios convexos podem ser obtidos por espessamento.

Extensão para funções

Uma imagem em tons de cinza pode ser modelada em função de em . Let ser uma função pertencente a este conjunto. Então temos: $\ mathbb {Z} ^ {2}$ $\ mathbb {Z}$ $f$

\ delta_B (f) = \ sup \ {f_b \ mid b \ in B \}

\ epsilon_B (f) = \ inf \ {f_b \ mid b \ in B \}

A abertura e o fechamento das funções são obtidos como no caso definido:

\ gamma_B (f) = \ delta_B \, \ epsilon_B (f)

\ phi_B (f) = \ epsilon_B \, \ delta_B (f)

A abertura e o fechamento morfológico já são ferramentas interessantes para filtrar imagens. No entanto, eles podem modificar o contorno dos objetos, uma propriedade que pode ser indesejável. Os operadores por reconstrução e mais geralmente o nivelamento, introduzidos posteriormente, permitem contornar este inconveniente.

O espessamento e o desbaste não são, em geral, operadores crescentes. Portanto, sua aplicação a funções (na prática, a imagens em tons de cinza) não é trivial. Várias extensões foram propostas na literatura.

Exemplo de uso: detecção de contorno

A detecção de bordas é uma tarefa importante no processamento de imagens. A morfologia matemática oferece ferramentas de detecção de bordas não lineares, como gradiente morfológico e Laplaciano.

O gradiente morfológico , também chamado de gradiente de Beucher devido ao nome de seu inventor, é definido por:

\ operatorname {grad} _B (X) = \ delta_B (X) - \ epsilon_B (X)

Corresponde, de certa forma, à versão morfológica do módulo do gradiente euclidiano.

O Laplaciano morfológico é construído de forma semelhante:

\ operatorname {lap} _B (X) = \ delta_B (X) + \ epsilon_B (X) - 2 \ operatorname {id} (X)

onde está o operador de identidade. $\ operatorname {id}$

Operadores relacionados, nivelamentos

Todos os operadores definidos nas secções anteriores foram definidos num quadro euclidiano, nomeadamente que o espaço de definição da imagem serve de referência para os operadores. Nesta seção, tomaremos novamente os dois operadores básicos que são a erosão e a dilatação, mas permanecendo em um subespaço de , denominado espaço de referência . As transformações euclidianas se tornarão, portanto, transformações geodésicas (também chamadas de transformações condicionais). $X$ ${\ displaystyle \ mathbb {E}}$

Geodésia é a ciência de medir a forma e as dimensões da Terra. Assim, uma distância geodésica corresponde ao caminho mais curto para ir de um ponto a outro, permanecendo na superfície do globo. O comprimento deste caminho, ao contrário da distância euclidiana, não corresponde a um segmento reto, mas ao de um arco geodésico . A definição de arco geodésico implica a noção de conexão por arco . Diz-se que um espaço topológico está conectado por arcos se algum par de pontos de for conectado por um caminho cujo suporte está incluído em . ${\ displaystyle \ mathbb {E}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E}}$

De euclidiano a geodésico para conjuntos

Distância euclidiana e distância geodésica

A distância geodésica usa os mesmos axiomas da distância euclidiana, mas o caminho é diferente.

Ou quatro pontos . ${\ displaystyle \ left \ {x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4} \ right \} \ in X}$

Na parte esquerda da imagem, estão representados os segmentos direitos associados às diferentes distâncias euclidianas. No lado direito, os três arcos geodésicos conectando e são mostrados . Observe que o ponto não tem caminho geodésico porque pertence a um componente separado daquele que contém os outros três pontos. ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {3}}$ ${\ displaystyle x_ {4}}$

A distância geodésica satisfaz os axiomas de uma distância. Temos, de fato: ${\ displaystyle d_ {X} (x_ {1}, x_ {2}) = d_ {X} (x_ {2}, x_ {1})}$ ${\ displaystyle x_ {1} = x_ {2} \ Rightarrow d_ {X} (x_ {1}, x_ {2}) = 0}$ ${\ displaystyle d_ {X} (x_ {1}, x_ {3}) \ leq d_ {X} (x_ {1}, x_ {2}) + d_ {X} (x_ {2}, x_ {3} )}$

A esses axiomas devemos adicionar um quarto. Quando não há caminho geodésico, temos: ${\ displaystyle d_ {X} (x_ {1}, x_ {4}) = \ infty}$ Para os mesmos pontos, é possível comparar as distâncias geodésicas em relação às distâncias euclidianas. Teremos sempre uma distância geodésica maior ou igual à distância euclidiana com a possibilidade de ter uma distância euclidiana finita e uma distância geodésica infinita: $X$ ${\ displaystyle d_ {X} (x_ {1}, x_ {2}) \ geq d (x_ {1}, x_ {2})}$ Note-se de passagem que, para conectar dois pontos, pode haver vários arcos geodésicos equivalentes, enquanto o caminho euclidiano é único.

Elemento de estruturação geodésica

No elemento estruturante isotrópico centrado em e de tamanho está o disco fechado , definido por: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $x$ $\ lambda$ ${\ displaystyle \ lambda B}$ ${\ displaystyle \ lambda B_ {x} = \ left \ {y: d (x, y) \ leq \ lambda \ right \}}$ O disco geodésico é definido em relação à referência definida substituindo a distância euclidiana pela distância geodésica em relação a . Então temos: ${\ displaystyle \ lambda B_ {X}}$ $X$ $X$ ${\ displaystyle (\ lambda B_ {X}) _ {x} = \ left \ {y: d_ {X} (x, y) \ leq \ lambda \ right \}}$

A figura ao lado ilustra a diferença entre um elemento estruturante euclidiano e um elemento estruturante geodésico. Nesta figura, o disco foi colocado em posições diferentes . O disco euclidiano permanece o mesmo independentemente da posição x. Por outro lado, o disco geodésico muda de forma ou pode desaparecer dependendo de sua posição. Do disco inicial, apenas o que resta para verificar a distância geodésica. Assim, os pontos do disco que não são comuns são ignorados (posições ). Se o centro do disco não pertencer a , o disco geodésico não existe ( ). $B$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}}$ $X$ ${\ textstyle x_ {3}, x_ {4}}$ $X$ ${\ displaystyle x_ {5}}$

Transformações geodésicas básicas para montagens

Além do conjunto a ser transformado que chamaremos (para marcador), deve ser introduzido o conjunto de referência geodésica . $M$ $X$

Expansão geodésica

Partimos da definição euclidiana de dilatação substituindo a bola euclidiana pela bola geodésica. Podemos então escrever: ${\ displaystyle \ delta _ {X, B} (M) = \ left \ {z: (B_ {X}) _ {z} \ Uparrow M \ right \} = \ left \ {z: (B_ {X} ) _ {z} \ cap M \ neq \ emptyset \ right \}}$ Em seguida, repetimos este tempo de operação elementar : $\ lambda$ ${\ displaystyle \ delta _ {X, nB} (M) = \ delta _ {X, 1B} (... \ delta _ {X, 1B} (\ delta _ {X, 1B} (M)) .. .)}$ As figuras a seguir ilustram o efeito de uma expansão geodésica por hexágono. Um componente conectado do conjunto só pode ser dilatado se houver interseção , caso contrário, ele desaparece. A dilatação para quando os limites de são atingidos. $M$ $X$ ${\ displaystyle X}$

Conjunto de referência X (amarelo e vermelho) e marcador M (vermelho e azul)
Expansão geodésica (tamanho do hexágono 15) de M para X
Expansão geodésica (tamanho do hexágono 40) de M para X

O todo se comporta como uma máscara na qual podemos modificar e se comporta como um marcador que permite invadir um componente conectado de . $X$ $M$ ${\ displaystyle M}$ $X$

Erosão geodésica

Da mesma forma, introduzimos a erosão geodésica ao substituir a bola euclidiana pela bola geodésica na expressão que define a erosão. Podemos, portanto, escrever: ${\ displaystyle \ epsilon _ {X, B} (M) = \ left \ {z: (B_ {X}) _ {z} \ subseteq M \ right \}}$ Como o elemento estruturante utilizado é simétrico, existe uma dualidade entre erosão e dilatação geodésica. Essa dualidade se expressa de uma forma ligeiramente diferente do que no caso euclidiano porque é a complementar com relação a que deve ser levada em consideração. Essa relação de dualidade é então escrita com o operador de diferença simétrica : $X$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {X, B} (M) = X / \ delta _ {X, B} (X / M)}$ As figuras ilustram o efeito da erosão geodésica em uma montagem versus o uso de um elemento estrutural hexagonal. $M$ $X$

Conjunto de referência X (amarelo e vermelho) e marcador M (vermelho)
Erosão geodésica (tamanho do hexágono 15) de M a X

Notamos que as partes de , totalmente incluídas e sem fronteiras comuns, se desgastam como no caso euclidiano. Quando existem fronteiras comuns, estas não são afetadas pela erosão. $M$ $X$

Reconstrução para grupos

Definição de reconstrução

A reconstrução de um conjunto a partir de outro é uma das principais aplicações da expansão geodésica. Portanto, partimos de dois conjuntos; o primeiro é chamado de conjunto de marcadores observados , o segundo é o conjunto de referência ou máscara . Por definição, a reconstrução é uma expansão geodésica infinita, com relação a marcadores . Está escrito: $M$ $X$ $X$ $M$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {Rec} (M: X) = \ delta _ {X, \ infty B} (M)}$ Quando todos os componentes conectados contendo marcadores são invadidos, a imagem não pode mais ser modificada. Isso constitui o teste para interromper o procedimento . As figuras a seguir ilustram a reconstrução dos marcadores . $X$ $M$

Conjunto de referência X (amarelo e vermelho) e marcador M (vermelho)
Reconstrução de X a partir de marcadores M

Propriedades de reconstrução Propriedades relativas ao conjunto de referência

A reconstrução é idempotente : a reconstrução pára quando nada mais se modifica, verifica esta propriedade.

A reconstrução é anti-extensiva em relação a : apenas os componentes conectados que contêm um marcador são reconstruídos. $X$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {Rec} (M: X) \ subseteq X}$
A reconstrução está aumentando : ${\ displaystyle X_ {1} \ subset X_ {2} \ Rightarrow \ gamma ^ {Rec} (M: X_ {1}) \ subset \ gamma ^ {Rec} (M: X_ {2})}$ A reconstrução corresponde, portanto, a uma abertura algébrica do conjunto de referência .

Propriedades em relação aos marcadores

A reconstrução é idempotente

A reconstrução é extensa em comparação com : $M$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {Rec} (M: X) \ supseteq M}$
A reconstrução está aumentando : ${\ displaystyle M_ {1} \ subset M_ {2} \ Rightarrow \ gamma ^ {Rec} (M_ {1}: X) \ subset \ gamma ^ {Rec} (M_ {2}: X)}$

A reconstrução corresponde, portanto, a um fechamento algébrico dos marcadores .

Aplicativos de reconstrução para montagens

Mencionaremos apenas o mais importante aqui.

Reconstrução de erosão

Na erosão-reconstrução , os marcadores serão as erosões euclidianas de e a dilatação euclidiana será substituída pela dilatação geodésica dos marcadores em relação ao todo . Está escrito: $M$ $X$ $X$ ${\ displaystyle \ gamma _ {\ lambda B} ^ {Rec} (X) = \ gamma ^ {Rec} (\ epsilon _ {\ lambda B} (X): X)}$ Esta reconstrução de erosão é ilustrada pelas figuras a seguir e comparada com a abertura geodésica usando o mesmo elemento estruturante.

Definir X1 (amarelo e vermelho) e tamanho de erosão hexagonal 11 (M1 = vermelho)
Reconstrução de X1 de M1
Abertura geodésica de X1 (vermelho: hexágono tamanho 11)

Eliminação de componentes conectados que cruzam a borda do campo da imagem

Para algumas aplicações analíticas, é necessário eliminar os componentes conectados que cruzam a borda do campo de visão . Para fazer isso, eles devem ser isolados reconstruindo-os a partir de um marcador feito de todos os pixels da borda do campo , anotados e subtraídos . O procedimento será, portanto, o seguinte: $X$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle M = \ parcial Z}$ $X$ ${\ displaystyle Y = X / \ gamma ^ {Rec} (\ partial Z: X)}$ O conjunto contém apenas componentes conectados totalmente incluídos em . Isso é ilustrado pelas seguintes figuras. $Y$ ${\ displaystyle Z}$

Definir X2 (amarelo) e borda do campo dZ (vermelho)
Componentes relacionados de X2 reconstruídos, cruzando a borda do campo (vermelho)
Componentes relacionados de X2 totalmente incluídos no campo Z

Tampagem de buracos

A reconstrução é usada em uma operação frequentemente usada no processamento de imagens: o tamponamento de orifícios . Como no aplicativo anterior, o marcador é . O algoritmo é o seguinte: ${\ displaystyle M = \ parcial Z}$ ${\ displaystyle Y = \ left (\ gamma ^ {Rec} (\ partial Z: X ^ {C}) \ right) ^ {C}}$ As figuras a seguir ilustram a seqüência de operações.

Definir X3 (amarelo) e borda do campo dZ (vermelho)
Complementar ao conjunto X3 (amarelo) e borda do campo dZ (vermelho)
Reconstrução do complemento de X3 de dZ
Tampagem de orifícios X3

O derradeiro erodido

Definição

Considere um conjunto apresentado na figura a seguir. As erosões finais aparecem durante uma sucessão de erosões por um elemento estruturante convexo. Eles são formados pela união de componentes conectados que desaparecem durante a erosão de um tamanho imediatamente maior. $X$ $X$ $B$

Seja uma erosão digital elementar e sua iteração de ordem i. A erosão final derivada de e observada é então definida como o "resíduo" entre as aberturas por reconstrução de cada erosão na anterior: ${\ displaystyle \ epsilon _ {1B}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {iB}}$ $\ epsilon$ ${\ displaystyle U_ {i} (X)}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {iB}}$ ${\ displaystyle U_ {i} (X) = \ epsilon _ {iB} (X) / \ gamma ^ {Rec} (\ epsilon _ {(i + 1) B} (X): \ epsilon _ {iB (X )})}$ As erosões finais correspondem à união de todas essas reconstruções, variando de 1 a imax quando não há mais nada pela erosão. ${\ displaystyle U (X) = \ bigcup _ {i} (U_ {i} (X))}$

Propriedades erodidas finais
- A erosão final é antiextensiva.
- Os elementos constituintes do conjunto erodido final são disjuntos.
- Uma erosão unitária na erosão final dá um conjunto vazio.
- A erosão final é idempotente.

Essas erosões finais também podem ser obtidas a partir dos máximos da função de distância usando um método geodésico para as funções mostradas abaixo. Enquanto permanece no domínio do conjunto, a erosão final serve para marcar as partes convexas dos objetos e pode ser usada para segmentar agregados de partículas convexas.

Transformações geodésicas para recursos

Já para o caso definido, teremos uma função de referência e uma função que será transformada . Os dois operadores básicos ainda são expansão geodésica e erosão geodésica. $f (x)$ ${\ displaystyle m (x)}$

Expansão geodésica para funções

A expansão geodésica elementar de sub é expressa de uma forma semelhante à usada para conjuntos. ${\ displaystyle m (x)}$ $f (x)$

No caso de funções, esses elementos serão elementos isotrópicos planos e convexos . Temos, de fato: ${\ displaystyle \ delta _ {f, 1B} (m (x)) = \ delta _ {1B} (m (x)) \ wedge f (x)}$ Para uma expansão geodésica de qualquer tamanho, também teremos: ${\ displaystyle \ delta _ {f, \ lambda B} (m (x)) = \ delta _ {f, 1B} (... \ delta _ {f, 1B} (m (x)) ...) }$

Interpretação em uma função f (x) definida em R1-R

Imagens em escala de cinza são funções definidas em . Para facilitar a visão do comportamento dos operadores, utilizaremos uma função definida em . Ou também uma função definida no mesmo espaço. Para o nosso exemplo, a única possibilidade é um “elemento estruturante plano” composto por um “segmento reto” de comprimento centralizado. $f (x)$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \ times \ mathbb {R}}$ $f (x)$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1} \ times \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle m (x)}$ $\ lambda$

As figuras a seguir ilustram o caso de uma expansão geodésica de tamanho . ${\ displaystyle \ lambda = 2n + 1}$

Função f (x) (amarelo e vermelho) e marcadores m1 (x) (vermelho)
Expansão de tamanho 20 dos marcadores m1 (x) (vermelho) sob a função f (x) (amarelo e vermelho)

Notamos que os marcadores dilatados sempre permanecem sob a função . Com um elemento estruturante plano , partes do qual permanecem inacessíveis para expansão. Eles são partes convexas incluindo máximos . $f (x)$ $f (x)$

Observe que os marcadores geralmente são escolhidos para que tenhamos: ${\ displaystyle m (x) <f (x)}$

Erosão geodésica para funções

Por definição, a erosão geodésica elementar é dada por: ${\ displaystyle \ epsilon _ {f, 1B} (m (x)) = \ epsilon _ {1B} (m (x)) \ vee f (x)}$ Quanto à dilatação geodésica, teremos por iteração: ${\ displaystyle \ epsilon _ {f, \ lambda B} (m (x)) = \ epsilon _ {f, 1B} (... \ epsilon _ {f, 1B} (m (x)) ...) }$ A erosão geodésica para as funções também é deduzida da expansão geodésica para as funções por dualidade. Chamemos "o nível máximo de cinza suportado pela imagem". Teremos então: $M$

${\ displaystyle \ epsilon _ {f, B} (m (x)) = M- \ delta _ {f, B} (Mm (x))}$

Esta expressão também é usada para construir qualquer erosão geodésica.

Interpretação em uma função definida em R1-R

As figuras ilustram o comportamento da erosão geodésica para uma função . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1} \ times \ mathbb {R}}$

Marcadores de função f (x) (amarelo) e m2 (x) (amarelo e vermelho)
Erosão de tamanho 15 de marcadores m2 (x) (amarelo e vermelho) na função f (x) (amarelo)

Observe que a função corroída retém resíduos nas partes côncavas da função . Este resultado é simétrico ao obtido pela expansão geodésica. $f (x)$

Reconstrução para funções

Como fizemos para os conjuntos, é possível reconstruir funções geodésicamente em relação a outra função. Dois casos devem ser considerados.

Reconstrução por expansão geodésica infinita (abertura) ${\ displaystyle m (x) subf (x)}$

${\ displaystyle \ gamma ^ {Rec} (m (x): f (x)) = \ delta _ {f, \ infty B} (m (x))}$

Reconstrução de erosão geodésica infinita (fechamento) ${\ displaystyle m (x) surfx)}$

${\ displaystyle \ varphi ^ {Rec} (m (x): f (x)) = \ epsilon _ {f, \ infty B} (m (x))}$

A primeira figura ilustra o resultado obtido no caso da reconstrução de sob a função e a segunda figura, a reconstrução de sob a função . ${\ displaystyle m1}$ $f$ ${\ displaystyle m2}$ $f$

Reconstrução dos marcadores m1 (x) (vermelho) sob a função f (x) (amarelo e vermelho)
Reconstrução de marcadores m2 (x) (amarelo e vermelho) na função f (x) (amarelo)

Aplicando reconstrução para funções Máximos de uma função

Os máximos regionais de uma imagem são os pontos da imagem a partir dos quais existem apenas caminhos descendentes. Ou uma imagem. A partir dessa imagem, construiremos uma imagem dos marcadores subtraindo um nível de cinza de . teremos, portanto: $f (x)$ ${\ displaystyle m (x)}$ $f (x)$ ${\ displaystyle m (x) = f (x) -1}$ Em seguida, realizamos uma reconstrução de under e por diferença com , obtemos os máximos regionais . Então nós temos : ${\ displaystyle m (x)}$ $f (x)$ $f (x)$ ${\ displaystyle Max (f (x)) = f (x) - \ gamma ^ {rec} (f (x) -1: f (x))}$

Mínimo de uma função

Para a busca de mínimos regionais de uma função, o mesmo princípio é aplicado. Primeiro, formamos a imagem dos marcadores: ${\ displaystyle m (x) = f (x) +1}$ Em seguida, realizamos uma reconstrução de sobre e por diferença com , obtemos os mínimos regionais . Então nós temos : ${\ displaystyle m (x)}$ $f (x)$ $f (x)$ ${\ displaystyle Max (f (x)) = f (x) - \ varphi ^ {rec} (f (x) +1: f (x))}$

Máximos e mínimos estendidos

Encontrar os máximos e mínimos de uma função fornece resultados muito bons se a imagem não tiver ruído. Na presença de ruído, a noção de máximos e mínimos estendidos , também chamados de Hmax e Hmin , permite extrair de uma imagem apenas os extremos significativos. O algoritmo é semelhante ao de máximos e mínimos. Apenas a construção dos marcadores é ligeiramente diferente. De fato, em vez de traduzir a imagem em um nível de cinza (menos ou mais), é realizada uma tradução de h mais ou menos níveis de cinza. O Hmax e o Hmin são então escritos da seguinte forma. ${\ displaystyle Hmax (f (x)) = f (x) - \ gamma ^ {rec} (f (x) -h: f (x))}$ ${\ displaystyle Hmin (f (x)) = f (x) - \ varphi ^ {rec} (f (x) + h: f (x))}$

As figuras a seguir ilustram a construção de Hmax no caso de uma função . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1} \ times \ mathbb {R}}$

Função f (x) (amarelo e vermelho) e marcadores m (-h) (vermelho)
Função (fx) (amarelo e vermelho) e Hmax de f (x) (vermelho)

A título de exemplo, o resultado é mostrado no caso da imagem de um ladrilho com nível de cinza barulhento. Os máximos regionais desta pavimentação são inutilizáveis por causa do ruído. Por outro lado, os Hmax permitem visualizar as placas de cada bloco.

Imagem (em tons de cinza) de um ladrilho barulhento
Máximo de pavimentação barulhenta
Hmax (h = 30) da pavimentação ruidosa
Filtragem morfológica de Hmax por uma abertura de tamanho 1 seguida por um fechamento de tamanho 10.

A busca por máximos significativos pode ser melhorada filtrando a imagem binária resultante, conforme mostrado na figura a seguir. Os “Hmin” são obtidos e processados de forma análoga.

Segmentação

Segmentar uma imagem em tons de cinza consiste em produzir uma partição do meio da imagem, de forma que as regiões da partição correspondam aos objetos presentes na imagem.

Filtros morfológicos são uma ajuda valiosa em um processo de segmentação. Em particular, os nivelamentos permitem filtrar as imagens preservando os contornos importantes, o que simplifica a operação de segmentação real. Em alguns casos, a filtragem pesada pode, por si só, produzir uma pontuação relevante. Mas a ferramenta morfológica mais famosa na segmentação de imagens é a linha divisória .

Existem vários algoritmos de segmentação por bacias hidrográficas. A ideia básica é simular uma inundação da imagem, vista como um relevo topográfico onde o nível de cinza corresponde à altitude. Os limites entre as regiões da partição tendem a ser colocados nas linhas de cume. Normalmente, aplicamos este operador ao gradiente da imagem (norma do gradiente euclidiano, ou gradiente morfológico) que procuramos segmentar e, consequentemente, as bordas são colocadas de forma privilegiada nas linhas de gradiente alto.

Vários algoritmos de cálculo de divisão têm complexidade linear dependendo do número de pixels na imagem, o que os coloca entre os métodos de segmentação mais rápidos.

Quantificação: Parâmetros básicos

Originalmente, a morfologia matemática é projetada para processar e analisar imagens de materiais biológicos ou imagens para extrair informações quantificadas como parâmetros ou funções . Aqui, nos limitaremos a imagens 2D definidas no espaço e a subespaços. Neste caso, o espaço é representado por uma grade de pontos. Dois casos são considerados: a grade quadrada ( pavimentação quadrada ) e a grade triangular ( pavimentação hexagonal ). Em relação aos parâmetros, sabemos que podem ser obtidos a partir da característica Euler-Poincaré ou do número de conectividade dos diferentes espaços, anotados para o espaço . ${\ displaystyle E = \ mathbb {Z} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$ ${\ displaystyle N_ {n} (X)}$ $\ R ^ n$

Números de conectividade em espaço discreto

Pavimentação quadrada de um conjunto X
Defina X e a configuração de vizinhança para obter N1 (ladrilhos quadrados)
Defina as configurações de X e vizinhança para obter N2 (ladrilhos quadrados)

Espaço R 0 : N 0 ( X )

Este espaço corresponde à rede de pontos associados aos pixels.Na imagem binária, é igual ao número de pixels em 1. ${\ displaystyle N_ {0} (X)}$

Espaço R 1 : N 1 ( X )

As linhas que podem ser usadas correspondem a pixels alinhados. As extremidades dos segmentos dessas linhas de corte correspondem (na saída) às transições de pixel do tipo 1 0. A imagem binária associada é obtida por uma transformação tudo ou nada. Do ponto de vista prático, isso equivale a verificar, para cada pixel , a configuração da vizinhança . Os elementos 1 da configuração referem-se ao todo e os de 0 ao complementar. Teremos, portanto: $\Delta$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$ $X$ $Y$ $x$ ${\ displaystyle T (x)}$ $X$ Para o grupo: ${\ displaystyle Y = \ eta _ {T} (X)}$ Para a medição: ${\ displaystyle N_ {1} (X) = N_ {0} (Y)}$

Os elementos estruturantes nos diferentes pavimentos são:

Em azulejos hexagonal na direção 0: . ${\ displaystyle T (x) = {\ begin {bmatrix} &. &&. & \\. && 1 && 0 \\ &. &&. & \ end {bmatrix}}}$

(As outras orientações de 60 ° e 120 ° são obtidas girando a configuração.)

Na pavimentação quadrado na direção 0: . ${\ displaystyle T (x) = {\ begin {bmatrix}. &&. &&. \\. && 1 && 0 \\. &&. &&. \ end {bmatrix}}}$

(As outras orientações de 45 °, 90 °, 135 ° são obtidas girando a configuração.)

Espaço R 2 : N 2 ( X )

Lembre-se de que corresponde ao número de componentes conectados menos o número de orifícios que eles contêm. ${\ displaystyle N_ {2} (X)}$

Pavimentação hexagonal

Para determinar esse número com a telha triangular, usamos a relação de Euler : ${\ displaystyle \ chi = N_ {2} (X) = scf}$ Em tesselações hexagonais s representando o número de vértices (pixels em 1), c o número de lados do tipo 1-1 (até uma rotação) ef o número de triângulos tendo os 3 vértices em 1. Um cálculo elementar em todos os combinações dá o seguinte resultado:Para conjuntos: e ${\ displaystyle Y1 = \ eta _ {T1} (X)}$ ${\ displaystyle Y2 = \ eta _ {T2} (X)}$ Para a medição: ${\ displaystyle N_ {2} (X) = N_ {0} (Y1) -N_ {0} (Y2)}$

Os elementos estruturantes nos diferentes pavimentos são:

${\ displaystyle T1 (x) = {\ begin {bmatrix} &. && 0 & \\. && 1 && 0 \\ &. &&. & \ end {bmatrix}}}$ e . ${\ displaystyle T2 (x) = {\ begin {bmatrix} & 1 && 0 & \\. && 1 &&. \\ &. &&. & \ end {bmatrix}}}$

Na telha quadrada (8 conectividade) fazemos o mesmo raciocínio que dá os elementos estruturantes:

${\ displaystyle T1 (x) = {\ begin {bmatrix}. &&. &&. \\. && 1 && 0 \\. && 0 && 0 \ end {bmatrix}}}$ e . ${\ displaystyle T2 (x) = {\ begin {bmatrix}. &&. &&. \\. &&. && 1 \\. && 1 && 0 \ end {bmatrix}}}$

Os parâmetros métricos básicos associados

Quanto aos números de conectividade, os parâmetros métricos básicos devem verificar as condições de Hugo Hadwiger . O conjunto deve ser um conjunto aleatório estacionário que consiste em uma união finita de convexos. A medida deve ter as seguintes propriedades: ${X}$ $C$

Invariante por tradução de : ${\ vec {t}}$ ${\ displaystyle {W (X) = W ({X _ {\ vec {t}})}}}$
Compatível com homotetia (ampliação ): $\ lambda$ ${\ displaystyle {W (X) = {\ frac {W ({\ lambda} X)} {\ lambda ^ {k}}}}}$
Aditivo C: ${\ displaystyle {W (X) + W (Y) = W (X \ xícara Y) + W (X \ cap Y)}}$
Contínuo ou semicontínuo

Em R 1

O parâmetro métrico é o comprimento total do conjunto anotado e é calculado a partir do tamanho do pixel . Temos de fato: $X$ ${\ displaystyle L_ {1} (X)}$ ${\ displaystyle N_ {0} (X)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} D}$ ${\ displaystyle {L_ {1}} (X) = N_ {0} (X) \ times \ mathrm {d} D}$

Em R 2

Esses parâmetros métricos são:

A área do conjunto denotado $X$ ${\ displaystyle A (X)}$

É calculado a partir de e a área do pixel . Temos de fato: ${\ displaystyle N_ {0} (X)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} A}$ ${\ displaystyle {A} (X) = N_ {0} (X) \ times \ mathrm {d} A}$

O perímetro da montagem observada $X$ ${\ displaystyle L_ {2} (X)}$

Para obter este perímetro, usaremos a relação de Cauchy ( geometria integral ) que liga a variação diametral de um conjunto ao seu perímetro: ${\ displaystyle L_ {2} (X) = \ int _ {0} ^ {\ pi} D_ {2} (X, \ alpha) \ times \ mathrm {d} \ alpha = \ pi \ times \ mathbb {E } [{D (X)}] = \ pi \ times \ mathbb {E} [{N_ {1} (X)}] \ times \ mathrm {d} D}$ com tamanho de pixel. Note que a estimativa deste perímetro tem um aspecto estatístico. O número de conectividade deve ser estimado em várias direções. ${\ displaystyle \ mathrm {d} D}$ ${\ displaystyle N_ {1} (X, \ alpha)}$

Ilustração da relação Cauchy
Ilustração do relacionamento de Crofton
Ilustração do relacionamento de Meunier

Para espaçar R 3

A geometria integral também fornece acesso às configurações usando os números da conexão entre as áreas inferiores. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Assim, a superfície da borda observada é obtida a partir do número de conexões pela relação de Crofton: ${\ displaystyle \ partial X}$ ${\ displaystyle S (X)}$ ${\ displaystyle N_ {1} (X)}$ ${\ displaystyle S (X) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {4 \ pi} A (X ', \ omega) \ times \ mathrm {d} \ omega = 4 \ times \ mathbb {E} [A (X ')] = 4 \ times \ mathbb {E} [{N_ {1} (X)}] \ times \ mathrm {d} A}$ $X '$ é a projeção de no plano perpendicular à direção e à área associada à linha . $X$ $\ Pi$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} A}$ $\Delta$

A curvatura integral média é estimada a partir da variação diametral observada usando a relação de Meusnier : ${\ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle D_ {3} (X, \ omega)}$ ${\ displaystyle M (X) = 2 \ pi \ times {\ mathbb {E} [D_ {3} (X, \ omega)]}}$ Esta variação diametral está relacionada ao número de conectividade na relação: ${\ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle D_ {3} (X, \ omega) = N_ {2} (X, \ omega) \ times \ mathrm {d} D_ {3}}$ O que, em última análise, dá: ${\ displaystyle M (X) = 2 \ pi \ times {\ mathbb {E} [N_ {2} (X, \ omega)] \ times \ mathrm {d} D_ {3}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} D_ {3}}$ representa a distância entre 2 planos.

Da análise global à análise local (estereologia)

Imagens destinadas a estudos científicos muitas vezes são obtidas de um microscópio cujo campo é menor que o conjunto a ser analisado. Nesse caso, dizemos que a análise é local em oposição à análise global onde o todo é completamente visível.

Os parâmetros globais previamente definidos devem ser transformados em parâmetros locais reduzidos à unidade de espaço.

Parâmetros locais do espaço R 0

O único parâmetro é a fração de pontos : ${\ displaystyle {N_ {P} (X) = {\ frac {N_ {0} (X \ cap Z_ {0})} {N_ {0} (Z_ {0})}}}}$

Parâmetros locais do espaço R 1

Fração linear : ${\ displaystyle {L_ {L} (X) = {\ frac {L_ {1} (X \ cap Z_ {1})} {L (Z_ {1})}}}}$ Neste contexto estatístico, é facilmente demonstrado que a estimativa da fração linear é igual à fração de pontos: ${\ displaystyle {L_ {L} (X) = N_ {P} (X)}}$

Número de conectividade por unidade de comprimento: ${\ displaystyle {N_ {L} (X) = {\ frac {N_ {1} (X \ cap Z_ {1})} {L (Z_ {1})}}}}$

Parâmetros locais do espaço R 2

Fração de área : ${\ displaystyle {A_ {A} (X) = {\ frac {A (X \ cap Z_ {2})} {A (Z_ {2})}}}}$ Nos tambem temos: ${\ displaystyle {A_ {A} (X) = N_ {P} (X)}}$

Escopo específico : ${\ displaystyle {L_ {A} (X) = {\ frac {L_ {2} (X \ cap Z_ {2})} {A (Z_ {2})}}}}$ Usando a relação de Cauchy, obtemos: ${\ displaystyle {L_ {A} (X) = \ pi \ times N_ {L} (X)}}$

Número de conectividade por unidade de área : ${\ displaystyle {N_ {A} (X) = {\ frac {N_ {2} (X \ cap Z_ {2})} {A (Z_ {2})}}}}$

Parâmetros locais do espaço R 3

Fração de volume : ${\ displaystyle {V_ {V} (X) = {\ frac {V (X \ cap Z_ {3})} {V (Z_ {3})}}}}$ Aqui, novamente, temos: ${\ displaystyle {V_ {V} (X) = N_ {P} (X)}}$

Superfície específica : ${\ displaystyle {S_ {V} (X) = {\ frac {S (X \ cap Z_ {3})} {V (Z_ {3})}}}}$ Usando a relação de Crofton, temos: ${\ displaystyle {S_ {V} (X) = 4 \ vezes N_ {L} (X)}}$

Integral de curvatura média por unidade de volume : ${\ displaystyle {M_ {V} (X) = {\ frac {M_ {3} (X \ cap Z_ {3})} {V (Z_ {3})}}}}$ A integral de curvatura média pode ser estimada a partir do número de conexão de acordo com a relação Meusnier: ${\ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {M_ {V} (X) = 2 \ pi \ times N_ {A} (X)}}$

Número de conectividade por volume de unidade : ${\ displaystyle {N_ {V} (X) = {\ frac {N_ {3} (X \ cap Z_ {3})} {V (Z_ {3})}}}}$ Este parâmetro topológico não é acessível a partir de espaços dimensionais inferiores.

Quantificação 2: Granulometria e dispersão

Os parâmetros estereológicos são parâmetros médios. Além disso, não existem muitos deles. É fácil ver que eles são insuficientes para fornecer uma descrição bastante completa da estrutura. Se aceitarmos perder o aspecto estereológico, a morfologia matemática permite obter muitas informações quantitativas adicionais. Essa quantificação geralmente depende de um parâmetro de tamanho associado às transformações de imagem. A quantificação levará a uma operação de classificação , cuja contagem ou medição levará a uma função de tamanho de partícula . A dispersão de um conjunto dentro de outro também é importante saber. A estereologia fornece apenas um parâmetro derivado que fica aquém de responder à pergunta. $\ lambda$ ${\ displaystyle \ Psi _ {\ lambda} (X)}$

Análise de tamanho de partícula

Axiomas de análise de tamanho de partícula (Georges Matheron)

O método de classificação deve verificar as seguintes regras:

O método de classificação deve verificar a propriedade de crescimento ${\ displaystyle X \ subset Y \ Rightarrow \ Psi _ {\ lambda} (X) \ subset \ Psi _ {\ lambda} (Y)}$
O método de classificação é anti-extenso ${\ displaystyle \ Psi _ {\ lambda} (X) \ subset X}$

No caso de duas classificações sucessivas, o maior parâmetro vence. O resultado é independente da ordem dos operadores . Está escrito: ${\ displaystyle \ Psi _ {\ lambda 2} (\ Psi _ {\ lambda 1} (X)) = \ Psi _ {\ lambda 1} (\ Psi _ {\ lambda 2} (X)) = \ Psi _ {sup (\ lambda 2, \ lambda 1)} (X)}$ Esta última condição reduzirá consideravelmente o número de candidatos a operadores.

Funções de tamanho de partícula

Distinguimos tamanhos em número e tamanhos possíveis .

Se a classificação do tamanho de partícula consiste em manter apenas tudo o que é menor que , então a função de distribuição de tamanho de partícula numérica será definida por: ${\ displaystyle \ Psi _ {\ lambda} (X)}$ $\ lambda$ ${\ displaystyle F (X, \ lambda) = {\ frac {Nb (X) -Nb (\ Psi _ {\ lambda} (X))} {Nb (X)}}}$

Em vez de contar os objetos, podemos relatar uma medição associada a eles (a massa em uma peneira). Em seguida, obtemos uma função de distribuição de tamanho de partícula na medição definida por: ${\ displaystyle G (X, \ lambda) = {\ frac {Mes (X) -Mes (\ Psi _ {\ lambda} (X))} {Mes (X)}}}$ Na análise de imagens, a medida é o volume , a área e o comprimento . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$

Análise de tamanho de partícula individual

Este tipo de análise só é possível se o conjunto a ser analisado for um conjunto de objetos totalmente disjuntos. Cada objeto é isolado e medido de acordo com um critério de tamanho (área, perímetro, diâmetro de Féret, etc.). O resultado da medição permite colocar este objeto em uma classe de tamanho.

Os problemas da máscara de medição

Para fazer as medições mencionadas, é necessário que o objeto esteja totalmente incluído no campo de medição. Devemos, portanto, eliminar aqueles que cortam a borda do campo. Vimos que isso é facilmente alcançado pela morfologia matemática. No entanto, quanto maior o tamanho de um objeto, maior a probabilidade de eliminá-lo. Isso introduzirá um viés na análise do tamanho das partículas. Para resolver este problema, é necessário saber a probabilidade de um objeto ser incluído no campo . No entanto, vimos que dá o conjunto de pontos onde está totalmente incluído . ${\ displaystyle X_ {i}}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {B} (X)}$ $X$ $B$ $X$

Esse raciocínio pode ser transcrito para resolver nosso problema, procurando desgastar a máscara retangular por . É fácil ver que obteremos exatamente o mesmo resultado se substituirmos pelo retângulo circunscrito mínimo com a mesma orientação de . A probabilidade de inclusão é então facilmente calculada: ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ ${\ displaystyle R_ {i}}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle \ Pr (X)}$ ${\ displaystyle \ Pr (X_ {i}) = {\ frac {A (\ epsilon _ {R_ {i}} (Z))} {A (Z)}} = {\ frac {(a_ {Z} - a_ {R}) \ vezes (b_ {Z} -b_ {R})} {a_ {Z} \ vezes b_ {Z}}}}$ Nesta expressão, representa o lado horizontal e o lado vertical do campo (índice Z) ou retângulo (índice R). A tendência será então corrigida aumentando a classe de tamanho não em 1, mas em . Este método corretivo foi proposto por Lantuéjoul . $no$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle 1 / \ Pr (X_ {i})}$

Análise de tamanho de partícula abrindo com um elemento estruturante bidimensional

O meio complementar dos objetos da figura 1 não pode ser tratado por este método porque a noção de objeto individual não tem mais qualquer significado. No entanto, os axiomas de Matheron são verdadeiros quando a abertura é feita com um elemento estruturante convexo . Com efeito, um elemento estruturante convexo torna possível construir uma família da mesma natureza, todos os membros da qual são deduzidos do elemento de tamanho 1 por uma razão de homotetia de tamanho . Este tipo de granulometria é uma granulometria em medida porque a abertura não tem boas propriedades topológicas (um objeto pode ser dividido em dois pela abertura). Para uma imagem definida em , a única medida usada é a área do conjunto aberto. $\ lambda$ $\ mathbb {R} ^ {2}$

Conjunto booleano de discos circulares (X = BD)
Abertura hexagonal de tamanho 5 pixels no BD e máscara erodida (ciano)
Abertura hexagonal de tamanho 20 pixels no BD e máscara erodida (ciano)

Na análise local, a máscara de medição deve ser levada em consideração e, portanto, trabalhar em uma máscara erodida, portanto, temos: ${\ displaystyle G (X, \ lambda B) = {\ frac {A_ {A} (X \ cap \ epsilon _ {2 \ lambda B} (Z)) - A_ {A} (\ gamma _ {\ lambda B } (X) \ cap \ epsilon _ {2 \ lambda B} (Z))} {A_ {A} (X \ cap \ epsilon _ {2 \ lambda B} (Z)}}}$ Há um caso especial em que o tamanho da partícula pode ser estabelecido por número. É quando o conjunto consiste em objetos convexos disjuntos. Nesse caso, teremos: ${\ displaystyle {\ hat {X}}}$ ${\ displaystyle F ({\ hat {X}}, \ lambda B) = {\ frac {N_ {A} ({\ hat {X}} \ cap \ epsilon _ {2 \ lambda B} (Z)) - N_ {A} (\ gamma _ {\ lambda B} ({\ hat {X}}) \ cap \ epsilon _ {2 \ lambda B} (Z))} {N_ {A} ({\ hat {X} } \ cap \ epsilon _ {2 \ lambda B} (Z)}}}$

Análise do tamanho de partícula abrindo com um elemento de estruturação linear

O elemento de estruturação linear é tradicionalmente observado . As regras se aplicam da mesma forma que para a abertura bidimensional, mas aqui as granulometrias em medida e em número podem sempre ser calculadas, uma vez que a intersecção de um conjunto por uma linha sempre dá segmentos de linhas convexos por definição. Os tamanhos de grão correspondentes são dados pelas seguintes expressões para os tamanhos de grão em medida e os tamanhos de grão em número: ${\ displaystyle \ ell}$ $X$ $\Delta$

Granulometrias em medição ${\ displaystyle G (X, \ ell) = {\ frac {L_ {L} (X \ cap \ epsilon _ {2 \ ell} (Z)) - L_ {L} (\ gamma _ {\ ell} (X ) \ cap \ epsilon _ {2 \ ell} (Z))} {L_ {L} (X \ cap \ epsilon _ {2 \ ell} (Z)}}}$

Granulometrias em número

${\ displaystyle F (X, \ ell) = {\ frac {N_ {L} (X \ cap \ epsilon _ {2 \ ell} (Z)) - N_ {L} (\ gamma _ {\ ell} (X ) \ cap \ epsilon _ {2 \ ell} (Z))} {N_ {L} (X \ cap \ epsilon _ {2 \ ell} (Z)}}}$

A função P ( l )

Na verdade, não é necessário passar pela abertura para obter esses tamanhos de grãos, mas isso pode-se parar na erosão que lhe dá a função . Esta função é definida por: ${\ displaystyle P (\ ell)}$ ${\ displaystyle P (\ ell) = {\ frac {A (\ epsilon _ {\ ell} (X) \ cap \ epsilon _ {\ ell} (Z))} {A (\ epsilon _ {\ ell} ( Z))}}}$

Esta função possui uma série de propriedades notáveis:

O valor na origem nada mais é do que o conteúdo da fase. ${\ displaystyle P (0) = A_ {A} (X)}$

A função diminui monotonamente. ${\ displaystyle P (\ ell)}$
A derivada na origem, na direção , é igual, até o sinal, ao número de conectividade específica para essa mesma direção. $\alfa$ ${\ displaystyle P '(0, \ alpha) = {\ frac {d (P (0, \ alpha))} {d \ ell}} = - N_ {L} (X, \ alpha)}$

A função tem propriedades de tamanho de partícula. ${\ displaystyle P (\ ell)}$

Conjunto booleano com grãos de peixe (X = BP)
Erosão linear de tamanho 10 pixels no BP e máscara erodida (ciano)]
Erosão linear de tamanho 20 pixels no BP e máscara erodida (ciano)

De acordo com as relações anteriores, temos imediatamente: ${\ displaystyle F (X, \ ell, \ alpha) = {\ frac {P '(0) -P' (\ ell, \ alpha)} {P '(0)}}}$ e ${\ displaystyle G (X, \ ell, \ alpha) = {\ frac {P (0) -P (\ ell, \ alpha) + \ ell \ times P '(\ ell, \ alpha)} {P (0 )}}}$

A função possui uma propriedade estereológica com a '' 'noção de estrela' ''. ${\ displaystyle P (\ ell)}$

Estrela bidimensional e tridimensional

Suponha que o conjunto seja transparente e o complemento opaco. De um ponto pertencente a , podemos definir um domínio , consistindo em todos os pontos visíveis y de x. será chamada '' 'a estrela de dimensão 2' '' associada ao ponto x. $X$ $x$ $X$ ${\ displaystyle Y_ {x}}$ ${\ displaystyle Y_ {x}}$

Repetindo a mesma operação para todos os pontos de , podemos definir em uma estrela média caracterizada por sua área. Está escrito: $X$ ${\ displaystyle / R ^ {2}}$ ${\ displaystyle St_ {2} (X) = {\ frac {\ int _ {X} ^ {} {A (Y_ {x}) dx}} {A (X)}}}$ Considere o elemento de superfície orientado ao longo . Este elemento pertence à estrela e terá como probabilidade condicional a razão: ${\ displaystyle \ ell \ times d \ ell}$ $\alfa$ ${\ displaystyle Y_ {x}}$ ${\ displaystyle P (\ ell, \ alpha) / P (0)}$ Usando a definição e assumindo o meio isotrópico, temos: ${\ displaystyle St_ {2} (X) = {\ frac {2 \ pi} {P (0)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ ell \ times P (\ ell) d \ ell }}$ O mesmo raciocínio pode ser feito . A estrela em é definida por: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle St_ {3} (X) = {\ frac {\ int _ {X} ^ {} {V (Y_ {x}) dx}} {V (X)}}}$ O que dá no caso isotrópico: ${\ displaystyle St_ {3} (X) = {\ frac {4} {P (0)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ ell ^ {2} \ times P (\ ell) d \ Ell}}$ A estrela em define um volume médio em medida e em , uma área média em medida. Se for uma união de convexos disjuntos, a estrela representa um conjunto convexo médio. Uma vez que é mensurável a partir de , a estrela tem propriedades estereológicas. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $X$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$

Análise de dispersão

O estudo da dispersão supõe pelo menos um conjunto e seu complemento, ambos não vazios. Os parâmetros estereológicos que foram definidos referem-se a apenas um conjunto, a análise do tamanho de partícula também. Na morfologia matemática, existe uma função que efetivamente permite testar o estado de dispersão de um conjunto em outro. Esta função é chamada de '' 'função de covariância' ''. Corresponde à medida da erosão por um elemento estruturante constituído por dois pontos distantes de h. Como a erosão é construída a partir da subtração de Minkowski, é fácil obter o resultado da erosão por h, pois esse elemento estruturante contém apenas 2 pontos distantes de h. Para fazer isso, basta traduzir a imagem e fazer a interseção com a traduzida.

Teremos, portanto: ${\ displaystyle \ epsilon _ {h} (X) = X \ cap X _ {\ vec {h}}}$

Covariância simples

A covariância é usada principalmente no caso local. Neste caso, definimos a função de covariância em uma máscara de medição Z por: ${\ displaystyle C (X, h) = {\ frac {A (\ epsilon _ {h} (X) \ cap \ epsilon _ {h} (Z))} {A (\ epsilon _ {h} (Z) )}}}$

Propriedades de covariância

Como a função , a função possui várias propriedades. Assim, temos: ${\ displaystyle P (\ ell)}$ ${\ displaystyle C (h)}$

O valor na origem nada mais é do que o conteúdo da fase. ${\ displaystyle C (0) = P (0) = A_ {A} (X)}$
A derivada originalmente. ${\ displaystyle C '(0) = P' (0) = - N_ {L} (X)}$
Entre a origem e o infinito, a covariância é sempre menor que o valor na origem. As variações nesta área dependem do estado de dispersão. Em particular, a presença de periodicidade resulta em oscilações da covariância e estágios intermediários. Patamares intermediários aparecem para sobreposições de estruturas em diferentes escalas. Exemplos são fornecidos na próxima seção.
No caso de um conjunto aleatório estacionário, o valor no infinito corresponde à probabilidade de que 2 pontos independentes caiam . É, portanto, igual ao quadrado do conteúdo: $X$ ${\ displaystyle C (\ infty) = (A_ {A} (X)) ^ {2}}$ Este valor é alcançado assintoticamente.
Como a covariância tem caráter direcional, ela fornece informações sobre a anisotropia do conjunto . $X$

Exemplos

Como exemplo, tomamos casos limítrofes:

Um conjunto isotrópico 2D (diagrama Booleano).

No exemplo escolhido, a diminuição da covariância continua até o valor assintótico. Como a análise foi realizada apenas em campo, a concordância entre a assíntota teórica e a assíntota experimental não é perfeita. A leve passagem por um mínimo mostra um pequeno efeito de repulsão entre os discos.

Conjunto anisotrópico formado por lamelas irregulares (imagem de um eutético metálico).

O aspecto periódico da estrutura resulta em oscilações da curva de covariância. O primeiro mínimo corresponde à espessura média de uma lamela e o primeiro máximo à espessura média do par lamela complementar.

Um conjunto formado por clusters.

A covariância é mais complexa de interpretar, mas podemos estimar minha distância média entre os clusters.

Erosão por h (10 pixels) em um conjunto booleano de discos (X: amarelo e vermelho, erosão por h: vermelho, erosão da máscara: ciano)
Covariância no conjunto booleano de discos
Erosão por h (24 pixels) em um conjunto lamelar (X: amarelo e vermelho, erosão por h: vermelho, erosão da máscara: ciano)
Covariância na montagem lamelar
Erosão por h (24 pixels) em um conjunto de aglomerados (X: amarelo e vermelho, erosão por h: vermelho, erosão da máscara: ciano)
Covariância no conjunto de clusters

Modelos probabilísticos (conjuntos aleatórios)

Os parâmetros estereológicos são poucos e a caracterização do tamanho por funções de tamanho de partícula tem caráter estereológico apenas para tamanhos de partícula lineares. O mesmo raciocínio pode ser realizado para a função de covariância.

Se aceitamos ficar no espaço, as outras granulometrias, o estudo da forma e a anisotropia permitem completar as informações morfológicas. Com esses métodos, nos encontramos em posse de um grande número de parâmetros e várias distribuições, mas por outro lado, a legibilidade da caracterização não é mais óbvia. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Outra abordagem muito mais sintética são os modelos probabilísticos. Eles são projetados para caracterizar conjuntos aleatórios. Claro, nem todos os conjuntos reais podem ser descritos por esses modelos. Em primeiro lugar, esses conjuntos devem ser estacionários espacialmente para serem facilmente modelados.

Informações gerais sobre modelos probabilísticos

Para que possamos observar uma morfologia, é necessário que um conjunto não preencha todo o espaço. Teremos, portanto, pelo menos um meio com dois componentes: o todo e seu complemento . Os objetos que constituem este conjunto podem ser pontos, bem como linhas retas ou quaisquer subconjuntos. O conjunto assim obtido será, portanto, um conjunto aleatório topologicamente fechado denominado RACS (Conjunto Fechado RAndom) e bem descrito nos livros de Matheron, Serra, Stoyan e Jeulin . Esta restrição é importante para manter boas propriedades, mas não é muito problemática na prática. Assim, um RACS permanecerá um RACS após uma operação de dilatação e erosão ... A escolha de um modelo depende de um certo conhecimento a priori . No caso de materiais ou sistemas, o número de fases morfologicamente discerníveis é o primeiro elemento. Teremos, portanto, duas categorias principais: $X$ $X$ ${\ displaystyle X ^ {C}}$ $X$

Materiais ou sistemas monofásicos descritos de uma partição do espaço.
Materiais polifásicos ou sistemas descritos a partir de RACS polifásicos.

Capacidade de Choquet

Um RACS pode ser caracterizado por uma probabilidade de eventos correspondendo a medidas morfológicas, como a probabilidade de inclusão de um compacto em um conjunto ou seu complemento. Este é o papel atribuído à capacidade de Choquet definida por: $K$ ${\ displaystyle T (K)}$

${\ displaystyle T (K) = Pr (X \ cap K \ neq \ emptyset)}$

Também podemos definir a partir da probabilidade de que a interseção entre e esteja vazia: ${\ displaystyle T (K)}$ ${\ displaystyle Q (K)}$ $X$ $K$

${\ displaystyle Q (K) = 1-T (K) = Pr (X \ cap K = \ conjunto vazio) = Pr (K \ subconjunto X ^ {C})}$

Da mesma forma que uma função de distribuição define uma variável aleatória, o conhecimento da capacidade de Choquet para qualquer compacto torna possível definir completamente um modelo probabilístico. Obviamente, nem todos os compactos possíveis podem ser testados. Ficaremos satisfeitos com o mais simples. $K$

Propriedades de RACS

O RACS pode ou não verificar várias propriedades.

Divisibilidade infinita

Um RACS é infinitamente divisível se for equivalente à união de n RACS independentes da mesma natureza. A interseção de um modelo infinitamente divisível por um subespaço preserva a natureza do modelo gerado. Isso constitui uma característica de natureza estereológica. Para tal RACS e um determinado compacto , a capacidade Choquet é uma expressão da forma: $X$ $X$ $K$

${\ displaystyle Q (K) = 1-T (K) = \ exp (- \ Psi (K))}$ com: ${\ displaystyle \ Psi (\ emptyset) = 0}$

Estabilidade

Um RACS infinitamente divisível é estável por união se a função satisfizer a equação: $X$ ${\ displaystyle \ Psi (\ lambda K)}$

${\ displaystyle \ Psi (\ lambda K) = \ lambda ^ {\ alpha} \ times \ Psi (K)}$ com ${\ displaystyle (\ lambda> 0, \ alpha> 0)}$

Calculabilidade

Um RACS tem a propriedade de computabilidade se, para certos compactos , as capacidades de Choquet tiverem fórmulas explícitas. Isso permitirá verificar se uma estrutura real pode corresponder à realização de um RACS sem realizar uma simulação. Quando a capacidade Choquet não pode ser calculada, pode-se usar grandezas características vinculadas aos parâmetros do modelo. $K$

O processo do ponto de Poisson

O ponto de partida de todos os modelos probabilísticos é um processo de ponto aleatório. Deve haver um processo em que o número de pontos que caem em um subconjunto seja independente do número que caem . O processo de distribuição de Poisson satisfaz essa condição. A probabilidade de que n pontos de um processo de densidade de Poisson pertençam a um conjunto é dada por: ${\ displaystyle Z1}$ ${\ displaystyle Z2}$ $\ theta$ ${\ displaystyle Z}$

${\ displaystyle \ Pr (Z) = {\ frac {(\ theta \ times mes (Z)) ^ {n}} {n!}} \ times \ exp (- \ theta \ times mes (Z))}$

Modelos de conjuntos básicos

As partições do espaço

Modelos de partição aleatória são conjuntos que dividem o espaço em vários subconjuntos fechados e limitados chamados classes. A união de todos os seus subconjuntos preenche todo o espaço . Os principais modelos de pontuação são: a pontuação de Voronoi , a pontuação de Johnson Mehl , o mosaico de Poisson e as folhas mortas . Se todos esses modelos se originam de um processo de Poisson pontual, sua construção e suas propriedades são muito diferentes. O último será apresentado após o modelo de Boole Matheron que é um modelo polifásico. $\ R ^ n$ $\ R ^ n$

Pontuação de Voronoi

Para construir uma partição ou diagrama de Voronoi , estabelecemos pontos de acordo com um processo que obedece à lei de densidade de Poisson . Cada ponto corresponde a uma zona de influência que é definida por: ${\ displaystyle p_ {i}}$ $\ theta$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $XI}$

${\ displaystyle X_ {i} = \ left \ {x: d (x, p_ {i}) <d (x, p_ {i \ neq j}) \ right \}}$ com a distância de para ${\ displaystyle d (x, p)}$ $x$ $p$

Esta zona de influência é um polígono convexo em e um poliedro convexo em . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

A simplicidade do modelo levou muitos autores a usá-lo para descrever estruturas celulares ou granulares. Mas, a pontuação de Voronoi não é infinitamente divisível, pois uma pontuação de Voronoi em não gera uma pontuação de Voronoi em . Além disso, não sabemos de uma expressão analítica da capacidade Choquet desta partição para os compactos usuais. Para comparar uma seção plana da estrutura real a um modelo de Voronoi em , temos algumas características resumidas por Miles, uma função da densidade de Poisson . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ theta$

Parâmetros estereológicos emR2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}} ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$
- Escopo específico: ${\ displaystyle L_ {A} (X) = 2 \ vezes {\ sqrt {\ theta _ {2}}}}$
- Número específico de células: ${\ displaystyle N_ {A} (X) = \ theta _ {2}}$
- Número específico de vértices: ${\ displaystyle P_ {A} (X) = 2 \ vezes \ theta _ {2}}$

Parâmetros médios associados a uma célula X′{\ displaystyle X '} $X '$
- Área média: ${\ displaystyle {\ bar {A}} (X ') = \ theta _ {2} ^ {- 1}}$
- Número médio de vértices: ${\ displaystyle {\ bar {P}} (X ') = 6}$

No caso de uma partição de Voronoi em , existem relações semelhantes usando a função e a densidade de Poisson . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\Gama$ ${\ displaystyle \ theta _ {3}}$

Parâmetros estereológicos em R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$
- Superfície específica: ${\ displaystyle S_ {V} (X) = 4 \ times (\ pi / 6) ^ {1/3} \ times \ Gamma (5/3) \ times \ theta _ {3} ^ {1/3}}$
- Comprimento específico das juntas triplas : ${\ displaystyle J_ {3}}$ ${\ displaystyle L_ {V} (J_ {3}) = (16/15) \ times (3/4) ^ {1/3} \ times \ pi ^ {5/3} \ times \ Gamma (4/3 ) \ vezes \ theta _ {3} ^ {2/3}}$
- Número específico de células: ${\ displaystyle N_ {V} (X) = \ theta _ {3}}$

Além disso, as densidades da partição e apresenta "estrela" , , e são conectados à densidade do processo de Poisson com as seguintes relações: ${\ displaystyle St_ {3}}$ ${\ displaystyle St_ {2}}$ ${\ displaystyle St_ {1}}$ $\ theta$

Densidade de partição em : ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {1} = 1,45 \ vezes \ theta _ {3} ^ {1/3}}$
Densidade de partição em : ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {2} = 1,46 \ vezes \ theta _ {3} ^ {2/3}}$
Estrela em : ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$ ${\ displaystyle St_ {1} (X) = 0,95 \ vezes \ theta _ {3} ^ {- 1/3}}$
Estrela em : ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle St_ {2} (X) = 1,04 \ vezes \ theta _ {3} ^ {- 2/3}}$
Estrela em : ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle St_ {3} (X) = 1,24 \ times \ theta _ {3} ^ {- 1}}$

Essas funções estrela são calculadas a partir dos momentos da função , (probabilidade de inclusão de um segmento em um grão). ${\ displaystyle P (\ ell)}$ ${\ displaystyle \ ell}$

Nós temos :

Partição densidade : , ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {1} = 1,45 \ vezes \ theta _ {3} ^ {1/3}}$
Partição densidade : , ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {2} = 1,46 \ vezes \ theta _ {3} ^ {2/3}}$
Estrelar : , ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$ ${\ displaystyle St_ {1} (X) = 0,95 \ vezes \ theta _ {3} ^ {- 1/3}}$
Estrelar : , ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle St_ {2} (X) = 1,04 \ vezes \ theta _ {3} ^ {- 2/3}}$
Estrelar : . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle St_ {3} (X) = 1,24 \ times \ theta _ {3} ^ {- 1}}$

Modelo de Johnson Mehl

O modelo Johnson-Mehl também é baseado em um processo de pontos de Poisson. Porém, o modelo é sequencial (função do tempo). Cada sequência é composta por dois processos elementares: $dt$

Criação de germes pontuais de acordo com um processo de densidade de Poisson ${\ displaystyle \ theta = \ mu \ times dt}$
Espessamento preservando a homotopia dos germes, de espessura , de acordo com uma velocidade . ${\ displaystyle v \ times dt}$ $v$

No entanto, nem todos os germes criados darão necessariamente origem a um "grão". Se o germe aparecer em um kernel já formado, ele desaparece. A construção pára quando o complemento dos grãos desaparece completamente. Os grãos que constituem a partição têm limites hiperbólicos em e limites hiperbolóides em . Portanto, nem sempre são convexos, mas conhecemos suas características, em particular a função de distribuição do número de vizinhos. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Construção do modelo de Johnson Mehl (algumas etapas)
Construção do modelo de Johnson Mehl (algumas etapas)
Construção do modelo de Johnson Mehl (algumas etapas)
Construção do modelo de Johnson Mehl (resultado final)

Como no caso da partição de Voronoi, o modelo Johnson-Mehl não possui propriedades estereológicas. No caso em que é constante, existem relações relacionadas à função : $\ mu$ ${\ displaystyle P (\ ell)}$

Partição densidade : , ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {1} = 1,28 \ times \ theta _ {3} ^ {1/3}}$
Partição densidade : , ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {2} = 1,22 \ vezes \ theta _ {3} ^ {2/3}}$
Estrelar : , ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$ ${\ displaystyle St_ {1} (X) = 1,10 \ vezes \ theta _ {3} ^ {- 1/3}}$
Estrelar : , ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle St_ {2} (X) = 1,50 \ vezes \ theta _ {3} ^ {- 2/3}}$
Estrelar : . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle St_ {3} (X) = 2,20 \ times \ theta _ {3} ^ {- 1}}$

Partição de Poisson

A partição do espaço de acordo com um processo de Poisson é feita por linhas de Poisson. As linhas de Poisson são construídas da seguinte maneira. Deixe uma linha de orientação estar entre e e passando pela origem do plano. Nesta linha, realizamos um processo de densidade de Poisson pontual . Em cada um desses pontos, configuramos uma linha de Poisson perpendicular a . No caso de um conjunto de dados de mosaico isotrópico, é constante e o valor de é escolhido de acordo com uma lei de probabilidade uniforme. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\Delta$ $\ómega$ ${\ displaystyle \ omega + d \ omega}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {2} \ times d \ omega}$ $\Delta$ $\ lambda$ $\ómega$

O espaço é então dividido em uma infinidade de polígonos aleatórios chamados polígonos de Poisson. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Uma construção semelhante no espaço levará a um espaço compartilhado em uma infinidade de poliedros de Poisson. O ângulo fica então entre 0 e steradians. As linhas de Poisson são substituídas por planos de Poisson perpendiculares de acordo com uma densidade . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ómega$ $2 \ ft$ $\Delta$ ${\ displaystyle \ lambda _ {2} \ times d \ lambda}$

Ao contrário do modelo de Voronoi, o mosaico de Poisson tem propriedades estereológicas. Em primeiro lugar, o modelo de parâmetros pode caracterizar o poliedro médio por seu volume médio, área média e integral de curvatura média . Na verdade, temos as relações: ${\ displaystyle \ lambda _ {3}}$ ${\ displaystyle X '}$ ${\ displaystyle {\ bar {V}} (X ')}$ ${\ displaystyle {\ bar {S}} (X ')}$ ${\ displaystyle {\ bar {M}} (X ')}$

${\ displaystyle {\ bar {V}} (X ') = 6 / (\ pi ^ {4} \ times \ lambda ^ {3})}$
${\ displaystyle {\ bar {S}} (X ') = 24 / (\ pi ^ {3} \ times \ lambda ^ {2})}$
${\ displaystyle {\ bar {M}} (X ') = 3 / \ lambda}$

Por outro lado, um mosaico de Poisson em , de parâmetro , interceptado por um plano, gera um mosaico de Poisson em parâmetro com: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ lambda _ {2}$

${\ displaystyle \ lambda _ {2} = \ pi \ times \ lambda _ {3} / 2}$

O conjunto de dados do mosaico de Poisson raramente é usado para modelar uma partição do espaço. Por outro lado, permite gerar grãos aleatórios para modelos polifásicos.

Um modo de partição final não será discutido nesta seção, é o modelo de folhas mortas que veremos com mais detalhes na próxima seção.

RACS multifásico

Um grupo muito importante são os conjuntos fechados aleatórios multifásicos. Eles podem ser classificados em três grupos.

O primeiro grupo é o '' modelo Boole Matheron ''. É a mais conhecida de todas assim como a pontuação de Voronoi na categoria anterior.
O segundo grupo é formado pelos “modelos de folhas mortas” que, como o “modelo Johnson Mehl”, são modelos sequenciais.
O terceiro grupo é uma extrapolação, no quadro polifásico, das partições do espaço. Estas são as partições multifásicas.

Modelo de Boole Matheron

Esse modelo, também chamado de diagrama booleano, é construído da seguinte maneira. Em cada ponto de um processo de densidade de Poisson , colocamos um grão primário. O diagrama booleano é a união de todos esses grãos primários (figura à esquerda). $\ theta$

Conjunto de Boole Matheron (amarelo), (30 germes, tamanho 20 discos)
Conjunto de Boole Matheron (amarelo), (discos de tamanho variável)
Conjunto Poissonian Grain Boole Matheron (amarelo)

Para este conjunto, geramos um processo de ponto e substituímos cada ponto por um dodecágono de tamanho único (grão primário). A segunda figura representa um modelo de Boole Matheron construído com discos de tamanho variável. Para a última figura, os grãos primários do modelo são polígonos de Poisson, obtidos por sorteio de uma partição como fizemos na seção anterior.

Propriedades

O modelo Boole Matheron tem propriedades muito boas. É infinitamente divisível, estável e calculável. Na verdade, se é o grão primário do diagrama booleano, temos a relação: ${\ displaystyle X '}$

${\ displaystyle Q (K) = \ exp (- \ theta \ times E (Mes (\ delta _ {K} (X '))))}$

${\ displaystyle E (My (\ delta _ {K} (X '))}$ é a expectativa da medida de Lebesgue do conjunto dilatada pelo compacto . $X$ $K$

A capacidade de Choquet ainda pode ser escrita:

${\ displaystyle Q (K) = \ Pr (x \ in \ epsilon _ {K} (X ^ {C}))}$

${\ displaystyle \ epsilon _ {K} (X ^ {C})}$ é a erosão do complementar pelo compacto . Para testar um modelo de Boole Matheron pela capacidade de Choquet (ou o funcional complementar), é suficiente estimar o conteúdo de corroído por uma ou mais famílias de compactos . Cada família sendo definida pelo conjunto de compactos homotéticos. Um modelo de Boole Matheron será definido pela densidade de Poisson e o grão primário caracterizado por uma forma e uma distribuição de tamanho. $X$ $K$ $K$ $\ theta$

Se o grão primário é a geometria convexa e simples, o modelo booleano Matheron será calculável por parâmetros estereológicos de grão média : . No caso de grãos esféricos, os parâmetros estereológicos podem ser calculados a partir dos momentos 3, 2 e 1 da distribuição granulométrica . Temos, de fato, as relações: ${\ displaystyle X '}$ ${\ displaystyle {\ overline {V}} (X '), {\ overline {S}} (X'), {\ overline {M}} (X ')}$ ${\ displaystyle f (a)}$

${\ displaystyle {\ overline {V}} (X ') = {\ frac {\ pi} {6}} \ vezes E (a ^ {3})}$
${\ displaystyle {\ overline {S}} (X ') = \ pi \ times E (a ^ {2})}$
${\ displaystyle {\ overline {M}} (X ') = 2 \ pi \ times E (a)}$

Por fim, como a união de modelos de Boole Matheron é sempre um modelo de Boole Matheron, existem muitas soluções disponíveis para abordar a modelagem de uma estrutura real.

Alguns compactos são particularmente interessantes para testar um modelo de Boole Matheron. São os pontos , os segmentos , os hexágonos de tamanho r , o biponto e, para alguns modelos, o tripleto de pontos definidos pelos vértices de um triângulo equilátero. Para compactos convexos e chamando o conteúdo do conjunto complementar, temos as seguintes relações: ${\ displaystyle (K = P)}$ ${\ displaystyle (K = \ ell)}$ ${\ displaystyle (K = H (r))}$ ${\ displaystyle (K = h)}$ ${\ displaystyle (K = T (h))}$ $q$

${\ displaystyle Q (P) = q = \ exp (- \ theta \ times {\ overline {V}} (X '))}$
${\ displaystyle Q (\ ell) = q \ times \ exp (- \ theta \ times \ ell \ times {\ frac {{\ overline {S}} (X ')} {4}})}$
${\ displaystyle Q (H (r)) = q \ times \ exp (- \ theta [- {\ frac {3r} {4}} \ times {\ overline {S}} (X ') + {\ frac { 3 {\ sqrt {3}}} {8}} \ times r ^ {2} \ times {\ overline {M}} (X ')])}$

Para o biponto , usamos o covariograma de média geométrica em vez da covariância . O covariograma está relacionado à covariância pela expressão: ${\ displaystyle (K = h)}$ ${\ displaystyle K (h)}$ ${\ displaystyle Q (h)}$

${\ displaystyle {\ frac {K (h)} {K (0)}} = 2 - {\ frac {\ log Q (h)} {\ log (q)}}}$

No caso dos grãos de peixe, temos:

${\ displaystyle {\ frac {K (h)} {K (0)}} = {\ frac {K (h)} {V (X ')}} = \ exp (- \ pi \ times \ lambda \ times \ Ell)}$

Quando temos grãos esféricos, o covariograma geométrico é uma função da distribuição. Ao chamar o tamanho máximo do grão primário, temos: $no$

${\ displaystyle K (h) = {\ frac {\ pi} {6}} \ times \ left [\ int _ {h} ^ {\ infty} {a ^ {3} \ times f (a) \ times da } - {\ frac {3h} {2}} {\ int _ {h} ^ {\ infty} {a ^ {2} \ times f (a)} \ times da} + {\ frac {h ^ {3 }} {2}} {\ int _ {h} ^ {\ infty} {f (a)} \ times da} \ right]}$

O Padrão de Folhas Caídas

O padrão de folha caída é um esquema booleano sequencial. A versão monofásica do modelo é devido a Jeulin. A construção é a seguinte. Os grãos primários são gerados por um processo de densidade de Poisson . Ao contrário do esquema booleano, os grãos podem se sobrepor. Os mais antigos podem desaparecer sob os mais novos. O processo pode ser interrompido após um tempo t. Se a mídia não estiver totalmente coberta, o processo se parecerá um pouco com um esquema booleano. Você também pode continuar até estacionar. A partição então cobre completamente o suporte. ${\ displaystyle \ theta (t)}$

No caso de um modelo de “folha morta bifásica”, os grãos primários da fase 1 e da fase 2 aparecem sucessivamente com as respectivas densidades e . O processo é repetido até estacionar. Resta uma estrutura de duas fases, onde as duas fases estão aninhadas uma na outra. ${\ displaystyle \ theta _ {1} (t)}$ ${\ displaystyle \ theta _ {2} (t)}$

Construção de um modelo de folha caída de duas fases com discos azuis e amarelos
Construção concluída de um modelo de folha caída de duas fases com discos azuis e amarelos

Esses modelos são infinitamente divisíveis e, portanto, geram modelos equivalentes em subespaços. A computabilidade não é tão forte como no caso do esquema booleano. As capacidades de choquet só podem ser calculadas para o ponto bi distante de he para o tripleto de pontos distantes de h . Quando o ponto bi é testado, usamos a função definida por: ${\ displaystyle (K = h)}$ ${\ displaystyle (K = T (h))}$ ${\ displaystyle \ phi (h)}$

\Phi (h)={\frac {2-r_{1}(h)-r_{2}(h)}{2-p\times r_{1}(h)-q\times r_{2}(h)}}

com conteúdo da fase 1 e da fase 2 e $p$ $q$ ${\ displaystyle r_ {i} = {K_ {i} (h)} / {K_ {i} (0)}}$

A título de ilustração, apresentamos algumas realizações com discos circulares ou polígonos de Poisson como grãos primários.

Padrão de folha caída de duas fases com discos azuis e amarelos
Padrão de folha caída de duas fases com grãos de peixe azuis e amarelos

As partições multifásicas do espaço: a partição de Poisson

Para construir uma partição Poisson polifásica, devemos construir uma partição monofásica e atribuir as classes a uma dada fase de maneira aleatória. Os parâmetros do modelo (milhas) são o conteúdo de cada fase e que caracteriza a partição de Poisson. No caso da partição de Poisson bifásica, as propriedades do sistema monofásico são preservadas. $\ lambda$

Leis analíticas são conhecidas por , e ${\ displaystyle (K = h)}$ ${\ displaystyle (K = \ ell)}$ ${\ displaystyle (K = T (h))}$

${\ displaystyle P (\ ell) = p \ times \ exp (-q \ times \ pi \ times \ lambda \ times \ ell)}$
${\ displaystyle Q (\ ell) = q \ times \ exp (-p \ times \ pi \ times \ lambda \ times \ ell)}$
${\ displaystyle C (h) = p ^ {2} + p \ times q \ times \ exp (- \ pi \ times \ lambda \ times h)}$
${\ displaystyle Q (T (h)) = q ^ {3} -q \ times (1-3q + 2q ^ {2}) \ times \ exp (- {\ frac {3} {2}} \ times \ pi \ times \ lambda \ times h)}$

Modelo de Stienen

Em um modelo Boole Matheron ou em um modelo de folha morta, os núcleos primários podem se sobrepor. Para construir o modelo de Stienen, sempre partimos de um processo de Poisson de densidade de pontos . Mas cada ponto será substituído pela maior esfera contida na célula de Voronoi correspondente. Nessas condições, as esferas não se sobrepõem, mas podem se tocar (figura à esquerda). Foi generalizado reduzindo o tamanho das esferas por um fator (figura à direita). $\ theta$ ${\ displaystyle \ alpha [0,1]}$

Modelo de Stienen com alfa = 1 (vermelho) e partição Voronoi associada (borda azul)
Modelo de Stienen com alfa <1 e partição de Voronoi associada (borda azul)

No caso do modelo inicial ( ), o conteúdo das esferas é constante, pois temos: ${\ displaystyle \ alpha = 1}$

${\ displaystyle \ alpha = 2 \ times (V_ {V} (X)) ^ {{1} / {3}}}$

Além disso, a distribuição das esferas é conhecida por estar diretamente relacionada à distribuição das distâncias dos vizinhos mais próximos de um processo de Poisson. Temos de fato:

${\ displaystyle F (D) = 1- \ exp (- {\ frac {\ pi \ vezes \ theta} {6 \ vezes V_ {V} (X)}} \ vezes D ^ {3})}$

Pois , as esferas não estão mais em contato (figura 14). A função de correlação de um par de pontos em função da distância r pode ser calculada por integração numérica. Finalmente, para este modelo, temos apenas uma expressão complexa da covariância. ${\ displaystyle \ alpha \ neq 1}$

Notas

A dilatação também é frequentemente definida usando a simétrica do elemento estruturante: $\ delta_B (X) = X \ oplus \ breve {B}$ Então ganhamos a dualidade entre erosão e dilatação, mas perdemos a adição. É então necessário modificar as definições de abertura e fechamento morfológico de acordo. Quando o elemento estruturante é simétrico, essa distinção não importa.
estereologia trata de todos os métodos que permitem a exploração do espaço tridimensional a partir de medições em espaços inferiores.
Dizemos que uma montagem é estacionária quando os parâmetros médios que descrevem a montagem são independentes da posição do campo de medição.

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Em alemão

Hugo Hadwiger, Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie , Springer-Verlag, Berlin ua 1957, ( ISBN 3-540-02151-5 ) .

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