Superfície (geometria analítica)

Na geometria analítica , representam-se as superfícies , ou seja, os conjuntos de pontos nos quais é possível localizar-se localmente a partir de duas coordenadas reais, por relações entre as coordenadas de seus pontos, a que se denomina equações da superfície ou por parâmetros paramétricos. representações.

Este artigo estuda as propriedades das superfícies que essa abordagem (freqüentemente chamada de extrínseca ) permite descrever. Para resultados mais aprofundados, consulte Geometria diferencial de superfícies .

Propriedades afins

Presume-se ao longo deste artigo que fornecemos espaço com um sistema de coordenadas , no qual todas as coordenadas são expressas.

Representação paramétrica

Uma toalha de mesa parametrizada são os dados de três funções de duas variáveis ​​(definidas em um disco aberto, um retângulo ou mais geralmente um aberto de ) R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}

x=f(você,v),y=g(você,v)z=h(você,v){\ displaystyle x = f (u, v), \, y = g (u, v) \, z = h (u, v)}.

que representam as coordenadas de um ponto M em relação a um sistema de coordenadas(O,eu→,j→,k→){\ displaystyle (O, {\ overrightarrow {i}}, {\ overrightarrow {j}}, {\ overrightarrow {k}})}

Queremos dizer que uma superfície é a imagem de uma toalha de mesa parametrizada. Mas alguns cuidados são necessários: se tomarmos f ( u , v ) = u , g ( u , v ) = h ( u , v ) = 0 , temos uma toalha de mesa parametrizada cuja imagem é uma linha reta.

No caso em que é injetivo, qualquer ponto M de S admite um único par ( u , v ) como antecedente. F→=(f,g,h){\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = (f, g, h)}

Um caso particular importante de camada parametrizada é o gráfico de uma função de duas variáveis: quando . Obtemos então uma superfície representada pela equação cartesiana . x=você,y=v,z=h(você,v){\ displaystyle x = u, y = v, z = h (u, v)} z=h(x,y){\ displaystyle z = h (x, y)}

Equação de uma superfície

Dada uma função H de três variáveis, o conjunto de pontos M cujas coordenadas, no referencial que nos demos, verifica-se que H (x, y, z) = 0 é uma superfície. Quando na vizinhança de um ponto de S , a equação pode ser resolvida em z , somos trazidos de volta, nesta vizinhança, à equação cartesiana . Este é o caso quando . (x0,y0,z0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}H(x,y,z)=0{\ displaystyle H (x, y, z) = 0}z=h(x,y){\ displaystyle z = h (x, y)}∂H∂z(x0,y0,z0)≠0{\ displaystyle {\ frac {\ partial H} {\ partial z}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) \ not = 0}

Mais detalhes

Se estivermos satisfeitos com os pontos de vista que precedem, obteremos exemplos que seria melhor excluir (cf a toalha de mesa ). Além disso, passar da parametrização a uma equação ou vice-versa não é fácil. (você,v)↦(você,0,0){\ displaystyle (u, v) \ mapsto (u, 0,0)}

Uma toalha de mesa parametrizada é regular se F→=(f,g,h){\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = (f, g, h)}

1. F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}é classeVS1{\ displaystyle C ^ {1}}
2. os vetores e são linearmente independentes em todos os lugares.∂F→∂você{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ overrightarrow {F}}} {\ partial u}}}∂F→∂v{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ overrightarrow {F}}} {\ partial v}}}

Exemplos

• A toalha de mesa parametrizada associada a uma superfície da equação cartesiana z = h ( x , y ) é regular (se h for )VS1{\ displaystyle C ^ {1}}

• Se F é , e se suas derivadas parciais não se cancelam simultaneamente em , então é localmente um gráfico, de acordo com o teorema da função implícita.VS1{\ displaystyle C ^ {1}}F-1(0){\ displaystyle F ^ {- 1} (0)}F-1(0){\ displaystyle F ^ {- 1} (0)}

Na verdade, um caso especial do teorema da função implícita é o seguinte resultado.

Teorema  -  Para uma parte, as duas propriedades a seguir são equivalentes: S⊂R3{\ displaystyle S \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}

• Para tudo existe um U aberto de tal que é a imagem de uma toalha de mesa regular parametrizada.M∈S{\ displaystyle M \ in S}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}você∩S{\ displaystyle U \ cap S}
• Para existe um aberta V de como ambos (após a troca de coordenadas se necessário) o gráfico de uma função .M∈S{\ displaystyle M \ in S}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}V∩S{\ displaystyle V \ cap S}VS1{\ displaystyle C ^ {1}}

Na prática, as superfícies estudadas são, na maioria das vezes, encontros de imagens de camadas regulares. Quando este não é o caso, analisamos caso a caso.

Exemplos

• A esfera com centro O e raio 1 tem a equação . Também podemos considerar a toalha de mesa parametrizadax2+y2+z2=1{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1}

(você,v)↦(cos⁡vocêcos⁡v,pecado⁡vocêcos⁡v,pecado⁡v){\ displaystyle (u, v) \ mapsto (\ cos u \ cos v, \ sin u \ cos v, \ sin v)}

que é regular e injetiva, mas não sobrejetiva. Os números de u e v correspondem à longitude e latitude de geographers. Mas a regularidade está perdida . Em qualquer caso, é impossível realizar a esfera inteira com uma camada injetiva regular: tal camada daria um homeomorfismo da esfera com um plano aberto. [0,2π[×]-π2,π2[{\ displaystyle [0,2 \ pi [\ times] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} [}v=±π2{\ displaystyle v = \ pm {\ frac {\ pi} {2}}}

• a equação representa o cone de revolução com o eixo Oz e ângulo .z2=x2+y2{\ displaystyle z ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}}π4{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}

Esta é a imagem da toalha de mesa parametrizada

(r,θ)↦(rcos⁡θ,rpecado⁡θ,r){\ displaystyle (r, \ theta) \ mapsto (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta, r)}

que é regular embora . r≠0{\ displaystyle r \ not = 0}

• uma superfície de revolução com eixo Oz pode ser produzida por uma equação da forma (com ) ou uma folha parametrizada .F(r,z)=0{\ displaystyle F (r, z) = 0}r=x2+y2{\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}(r,θ)↦(rcos⁡θ,rpecado⁡θ,f(r)){\ displaystyle (r, \ theta) \ mapsto \ left (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta, f (r) \ right)}

Curvas coordenadas

Seja S a superfície definida por com (constante), essa superfície de equação é chamada de curva de coordenadas . OM→=F→(você,v){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u, v)}v=v0{\ displaystyle v = v_ {0}}OM→=F→(você,v0){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u, v_ {0})}VSv0{\ displaystyle C_ {v_ {0}}}

Quando através de todos os valores aceitáveis , a reunião das curvas é a superfície S . v0{\ displaystyle v_ {0}}v0,v1,v2,...vnão{\ displaystyle v_ {0}, v_ {1}, v_ {2}, ... v_ {n}}VSv0,VSv1,VSv2,...VSvnão,{\ displaystyle C_ {v_ {0}}, C_ {v_ {1}}, C_ {v_ {2}}, ... C_ {v_ {n}},}

O mesmo processo é válido para a definição das curvas das equações . VSvocê0{\ displaystyle C_ {u_ {0}}}OM→=F→(você0,v){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u_ {0}, v)}

Curva desenhada em uma superfície

É definido por uma aplicação e é composto por todos os pontos M da equação: t↦f(você,v){\ displaystyle t \ mapsto f (u, v)}

OM→=F→(você(t),v(t)){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u (t), v (t))}Contido em S e o referido desenhada em S .

Tangentes e tangentes planas a uma superfície

Chamamos tangente a uma superfície S no ponto qualquer tangente a uma curva desenhada em S contendo . M0{\ displaystyle M_ {0}}M0{\ displaystyle M_ {0}}

Seja uma função e, na vizinhança de , o vetor e as derivadas parciais contínuas em . f{\ displaystyle f}(você,v)↦OM→(você,v){\ displaystyle (u, v) \ mapsto {\ overrightarrow {OM}} (u, v)}você0,v0{\ displaystyle u_ {0}, v_ {0}}∂M→∂você{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial u}}}∂M→∂v{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial v}}}você0,v0{\ displaystyle u_ {0}, v_ {0}}

Se os vetores e forem independentes (não colineares), todos os vetores tangentes às curvas desenhadas e que passam por este ponto estão no plano que passa e contém esses dois vetores. É por definição o plano tangente ao ponto . ∂M→∂você{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial u}}}∂M→∂v{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial v}}}M0{\ displaystyle M_ {0}}S{\ displaystyle S}M0{\ displaystyle M_ {0}}S{\ displaystyle S}M0{\ displaystyle M_ {0}}

Seja um plano tangente definido pelo ponto e dois vetores não colineares: M0(x0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}

∂M→∂você0=(∂x∂você0,∂y∂você0,∂z∂você0){\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial u_ {0}}} = \ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial u_ {0}}}, {\ frac { \ parcial y} {\ parcial u_ {0}}}, {\ frac {\ parcial z} {\ parcial u_ {0}}} \ direita)}, e ∂M→∂v0=(∂x∂v0,∂y∂v0,∂z∂v0){\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial v_ {0}}} = \ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial v_ {0}}}, {\ frac { \ parcial y} {\ parcial v_ {0}}}, {\ frac {\ parcial z} {\ parcial v_ {0}}} \ direita)}

Sua equação é:

|x-x0∂x∂você0∂x∂v0y-y0∂y∂você0∂y∂v0z-z0∂z∂você0∂z∂v0|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {0} & {\ frac {\ parcial x} {\ parcial u_ {0}}} & {\ frac {\ parcial x} {\ parcial v_ {0}} } \\ y-y_ {0} & {\ frac {\ parcial y} {\ parcial u_ {0}}} & {\ frac {\ parcial y} {\ parcial v_ {0}}} \\ z-z_ {0} & {\ frac {\ parcial z} {\ parcial u_ {0}}} & {\ frac {\ parcial z} {\ parcial v_ {0}}} \ end {vmatrix}} = 0 \,}

Por exemplo se a equação de é da forma , por posar e temos: S{\ displaystyle S \,}z=h(x,y){\ displaystyle z = h (x, y) \,}p=hx′(x0,y0),{\ displaystyle p = h_ {x} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}),}q=hy′(x0,y0),{\ displaystyle q = h_ {y} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}),}

z-z0=p(x-x0)+q(y-y0){\ displaystyle z-z_ {0} = p (x-x_ {0}) + q (y-y_ {0}) \,}

Se a equação estiver na forma implícita e se uma derivada parcial de f in não for zero, podemos reduzir ao caso acima com o teorema da função implícita. Por exemplo , se , podemos escrever , e temos S{\ displaystyle S \,}f(x,y,z)=0{\ displaystyle f (x, y, z) = 0 \,}(x0,y0,z0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}fz′(x0,y0,z0)≠0{\ displaystyle f_ {z} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) \ not = 0}z=h(x,y){\ displaystyle z = h (x, y) \,}

hx′(x0,y0)=-fx′(x0,y0,z0)fz′(x0,y0,z0) et hy′(x0,y0)=-fy′(x0,y0,z0)fz′(x0,y0,z0){\ displaystyle h_ {x} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ frac {f '_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0} )} {f '_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} \ \ mathrm {and} \ h_ {y} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ frac {f '_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})} {f' _ {z} (x_ {0}, y_ {0} , z_ {0})}} \,}.

A equação do plano tangente é então escrita

(x-x0)fx′(x0,y0,z0)+(y-y0)fy′(x0,y0,z0)+(z-z0)fz′(x0,y0,z0)=0{\ displaystyle (x-x_ {0}) f '_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) + (y-y_ {0}) f' _ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) + (z-z_ {0}) f '_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) = 0},

ou, em forma de vetor,

M0M→⋅grParad f(M0)=0{\ displaystyle {\ overrightarrow {M_ {0} M}} \ cdot \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}) = 0}.

Propriedades métricas

Normal a uma superfície

O plano tangente à superfície no ponto é gerado pelos vetores e . S{\ displaystyle S \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}∂M→∂você0{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ parcial M}} {\ parcial u_ {0}}}}∂M→∂v0{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial v_ {0}}}}

Chama-se normal à superfície no ponto o normal ao plano tangente: admite-se assim direcionar o vetor . S{\ displaystyle S \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}∂M→∂você0∧∂M→∂v0{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial u_ {0}}} \ wedge {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial v_ {0}}}}

Suas equações são:

x-x0∂(y,z)∂(você0,v0)=y-y0∂(z,x)∂(você0,v0)=z-z0∂(x,y)∂(você0,v0){\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {\ frac {\ partial (y, z)} {\ partial (u_ {0}, v_ {0})}}} = {\ frac {y- y_ {0}} {\ frac {\ parcial (z, x)} {\ parcial (u_ {0}, v_ {0})}}} = {\ frac {z-z_ {0}} {\ frac { \ parcial (x, y)} {\ parcial (u_ {0}, v_ {0})}}}},

com, por exemplo, o Jacobiano igual a . ∂(y,z)∂(você0,v0){\ displaystyle {\ frac {\ partial (y, z)} {\ partial (u_ {0}, v_ {0})}}}|∂y∂você0∂y∂v0∂z∂você0∂z∂v0|{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} {\ frac {\ parcial y} {\ parcial u_ {0}}} & {\ frac {\ parcial y} {\ parcial v_ {0}}} \\ {\ frac { \ parcial z} {\ parcial u_ {0}}} & {\ frac {\ parcial z} {\ parcial v_ {0}}} \ end {vmatriz}}}

No caso em que a superfície é definida por uma equação cartesiana , a equação da normal no ponto é dada por S{\ displaystyle S \,}z=h(x,y){\ displaystyle z = h (x, y)}S{\ displaystyle S \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}

x-x0p=y-y0q=z-z0-1{\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {p}} = {\ frac {y-y_ {0}} {q}} = {\ frac {z-z_ {0}} {- 1} } \,}

No caso em que a superfície é definida por uma equação implícita , a normal in no ponto tem como vetor direcionador o gradiente de in , e a equação é escrita S{\ displaystyle S \,}f(x,y,z){\ displaystyle f (x, y, z)}S{\ displaystyle S \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}f{\ displaystyle f \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}

(x-x0)fx′(x0,y0,z0)=(y-y0)fy′(x0,y0,z0)=(z-z0)fz′(x0,y0,z0){\ displaystyle {\ frac {(x-x_ {0})} {f_ {x} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} = {\ frac {( y-y_ {0})} {f_ {y} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} = {\ frac {(z-z_ {0})} {f_ {z} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} \,},

ou, em forma de vetor:

M0M→=ρ⋅grParad f(M0),ρ∈R{\ displaystyle {\ overrightarrow {M_ {0} M}} = \ rho \ cdot \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}), \ rho \ in \ mathbb {R}}.

Intersecção de duas superfícies

Let ser a curva , interseção de superfícies e cujas equações são: VS{\ displaystyle C \,}S1{\ displaystyle S_ {1} \,}S2{\ displaystyle S_ {2} \,}

S1↦f(x,y,z)=0{\ displaystyle S_ {1} \ mapsto f (x, y, z) = 0}, e .S2↦g(x,y,z)=0{\ displaystyle S_ {2} \ mapsto g (x, y, z) = 0}

Cada uma dessas duas superfícies admite um plano tangente em , respectivamente notado e . M0(x0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}P1{\ displaystyle P_ {1} \,}P2{\ displaystyle P_ {2} \,}

A linha resultante da interseção dos planos e é a tangente em . P1{\ displaystyle P_ {1} \,}P2{\ displaystyle P_ {2} \,}M0{\ displaystyle M_ {0}}VS{\ displaystyle C \,}

Admite como seu vetor norteador:

C→=grParad f(M0)∧grParad g(M0){\ displaystyle {\ overrightarrow {W}} = \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}) \ wedge \ mathbf {grad} ~ g (M_ {0})}

Deixe a equação ser:

x-x0∂(f,g)∂(y0,z0)=y-y0∂(f,g)∂(z0,x0)=z-z0∂(f,g)∂(x0,y0){\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {\ frac {\ partial (f, g)} {\ partial (y_ {0}, z_ {0})}}} = {\ frac {y- y_ {0}} {\ frac {\ partial (f, g)} {\ partial (z_ {0}, x_ {0})}}} = {\ frac {z-z_ {0}} {\ frac { \ parcial (f, g)} {\ parcial (x_ {0}, y_ {0})}}}}

A equação do plano normal no plano é definida , VS{\ displaystyle C \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}M0,grParad f(M0),grParad g(M0){\ displaystyle M_ {0}, \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}), \ mathbf {grad} ~ g (M_ {0}) \,}

Sua equação é:

|x-x0∂f∂x(M0)∂g∂x(M0)y-y0∂f∂y(M0)∂g∂y(M0)z-z0∂f∂z(M0)∂g∂z(M0)|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {0} & {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (M_ {0}) & {\ frac {\ partial g} {\ partial x} } (M_ {0}) \\ y-y_ {0} & {\ frac {\ parcial f} {\ parcial y}} (M_ {0}) & {\ frac {\ parcial g} {\ parcial y} } (M_ {0}) \\ z-z_ {0} & {\ frac {\ parcial f} {\ parcial z}} (M_ {0}) & {\ frac {\ parcial g} {\ parcial z} } (M_ {0}) \ end {vmatrix}} = 0 \,}

Veja também

Bibliografia

• Michèle Audin , Geometria (cap. 8), Belin 2008, ( ISBN  2-7011-2130-2 )

Artigos relacionados

• Superfície de revolução , superfície regulada , superfície revelável e superfície mínima
• Derivada de vetor
• Propriedades métricas de linhas e planos
• Gradiente
• Integral de superfície
• Geometria diferencial de superfícies

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