Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan, por volta de 1916 Data chave

Aniversário	22 de dezembro de 1887 Erode ( Raj britânico )
Morte	26 de abril de 1920 Kumbakonam , perto de Madras ( British Raj )
Casa	Tamil Nadu Raj britânico
Nacionalidade	indiano
Áreas	Matemática
Reconhecido por	Cadernos Ramanujan Conjectura Ramanujan Partição de um inteiro

Assinatura

Srinivasa Ramanujan ( Tamil : சீனிவாச இராமானுஜன் ; ), nascido em22 de dezembro de 1887para Erode e morreu em26 de abril de 1920em Kumbakonam , é um matemático indiano .

Vindo de uma família modesta de brâmanes ortodoxos, ele é autodidata , sempre mostrando um pensamento independente e original. Ele aprende matemática por conta própria com dois livros que obteve antes dos dezesseis anos, obras que lhe permitem estabelecer uma grande quantidade de resultados na teoria dos números , em frações contínuas e em séries divergentes , enquanto seu próprio sistema de notações é criado . Julgando seu séquito acadêmico antiquado, ele publicou vários artigos em revistas matemáticas indianas e tentou atrair o interesse dos matemáticos europeus para seu trabalho, enviando-lhes cartas.

Uma dessas cartas, enviada em Janeiro de 1913para Godfrey Harold Hardy , contém uma longa lista de fórmulas e teoremas sem prova. Hardy primeiro considera essa postagem incomum como uma farsa, depois a discute longamente com John Littlewood para chegar à convicção de que seu autor é certamente um "gênio" , um qualificador muito usado hoje em dia. Hardy responde convidando Ramanujan para ir para a Inglaterra; uma colaboração frutífera, junto com Littlewood, resulta.

Afetado toda a sua vida por problemas de saúde, Ramanujan viu seu estado piorar durante sua estada na Inglaterra; ele retornou à Índia em 1919, onde morreu pouco depois em Kumbakonam com a idade de trinta e dois anos. Ele deixa inteira de livros de resultados não comprovados (chamados cadernos de Ramanujan ) que, no início do XXI th século, continuam a ser estudado.

Ramanujan trabalhou principalmente em funções elípticas e na teoria analítica dos números ; ele ficou famoso por seus resultados computacionais envolvendo constantes como $π$ e $e$ , números primos ou mesmo a função de partição de um inteiro , que estudou com Hardy. Grande criador de fórmulas matemáticas, ele inventou vários milhares delas que praticamente todas se mostraram exatas, mas algumas das quais não puderam ser demonstradas até depois de 1980; Sobre alguns deles, Hardy, espantado com sua originalidade, disse que "um olhar foi suficiente para perceber que só poderiam ser pensados por um matemático de ponta". Tinham que ser verdadeiros, porque se fossem falsos ninguém teria imaginação suficiente para inventá-los ” .

Biografia

Juventude

Ramanujan ( lit. “irmão mais novo de Rāma ”) nasceu em22 de dezembro de 1887em Erode , no atual estado de Tamil Nadu, na Índia , na residência de seus avós maternos. Seu pai, K. Srinivasa Iyengar, nascido em Thanjavur , trabalha como balconista em uma loja de sari . Sua mãe, Komalathammal, é dona de casa, enquanto ganha algum dinheiro cantando no templo. Ele terá vários irmãos, dos quais apenas dois sobreviverão à infância: Lakshmi Narasimhan (1898-1946) e Thirunarayanan (1905-1978).

Quando tinha um ano de idade, veio morar com seu pai em uma casa tradicional na rua Sarangapani em Kumbakonam (em 2003, esta casa foi transformada em um museu em homenagem ao seu trabalho); ele passou a maior parte dos próximos vinte anos lá. DentroDezembro de 1889, Ramanujan contraiu varíola , que o deixou cicatrizado por toda a vida. Ele então se mudou para a casa de seus avós maternos, que desde então se estabeleceram em Kanchipuram , não muito longe de Madras .

O 1 ° de outubro de 1892, Ramanujan entra na escola primária; nos dois anos seguintes, sua escolaridade foi caótica. Tendo sua avó perdido o emprego como oficial do tribunal em Kanchipuram, ele e sua mãe estão voltando para Kumbakonam, onde ele está matriculado na Escola Primária Kangayan. Com a morte de seu avô paterno, ele foi enviado de volta para seus avós maternos, que então se mudaram para Madras. Não apoiando a escola de Madras, ele mata a escola , o que leva sua família a chamar a polícia para ter certeza de que ele realmente vai. Seis meses depois, Ramanujan voltou a Kumbakonam.

A partir daí, com o pai de Ramanujan monopolizado pelo trabalho, é sua mãe quem cuida de sua educação. Ela o ensina em particular a tradição Brahmin e o purana , bem como canções religiosas, para que ele possa assistir pujas . Retornado à Escola Primária Kangayan, Ramanujan se torna um aluno brilhante lá. DentroNovembro de 1897, pouco antes de seu décimo aniversário, ele terminou em primeiro lugar em seu bairro nos exames finais da escola primária (em inglês, tâmil, geografia e aritmética). Naquele mesmo ano, Ramanujan encontrou matemática “abstrata” pela primeira vez durante sua educação secundária.

Em 1898 (ele tinha onze anos), dois alunos do Government College em Kumbakonam (uma instituição de ensino superior) foram alojados com seus pais. Depois de extrair deles todos os seus conhecimentos matemáticos, obteve deles o empréstimo de livros, em particular Trigonometria Plano , de Sidney Luxton Loney. A partir dos treze anos, ele dominou o conhecimento deste livro e redescobriu alguns teoremas. Aos quatorze anos, ele recebeu o equivalente ao bacharelado francês e uma bolsa universitária.

Aos quinze anos, Ramanujan pegou emprestado da biblioteca do Government College a Synopsis of Pure Mathematics de George Shoobridge Carr , contendo vários milhares de resultados de análise e geometria, mas dando apenas algumas indicações sobre suas demonstrações (o que Hardy deplorará pela continuação, atribuindo a este trabalho é o estilo elíptico e não rigoroso de Ramanujan). No entanto, é este livro que traz Ramanujan para o universo da matemática. Aos dezessete, ele estudou os números de Bernoulli em profundidade e calculou a constante de Euler até 15 casas decimais; naquela época, seus camaradas afirmam "entendê-lo apenas raramente" .

Graduado na Escola Secundária Superior da Cidade em Kumbakonam em 1904, Ramanujan recebeu o Prêmio K. Ranganatha Rao de Matemática do diretor da escola, Sr. Krishnaswami Iyer. Foi este último quem o recomendou para o Government College , chamando-o de aluno excepcional. Mas por causa de seu foco apenas em matemática, Ramanujan perde sua bolsa de estudos e deixa a casa da família, emAgosto de 1905, para se estabelecer em Visakhapatnam . No início de 1906, matriculou-se no Pachaiyappa's College em Madras. Ainda excelente em matemática, mas pobre em outras disciplinas como biologia, Ramanujan falha no exame deDezembro de 1906e falha novamente no ano seguinte. A partir de 1908, ele não tentou mais seguir um curso convencional, mas continuou sua pesquisa pessoal em matemática, enquanto vivia em grande pobreza material; nessa época, por falta de papel, fazia seus cálculos e raciocínios na cabeça ou na lousa, anotando apenas os resultados finais em um caderno; ele manterá esse método de trabalho por toda a vida; além disso, seu isolamento o leva a construir um sistema de avaliação pessoal, que posteriormente tornará seu trabalho difícil de decifrar.

Primeiros trabalhos

Preocupada com seus fracassos que obscurecem seu futuro, a família de Ramanujan decide se casar com ele; a14 de julho de 1909, ele então se casa com Janaki Ammal (dez anos). Para sobreviver, ele prepara os alunos para os exames finais no Presidency College . Tendo surgido problemas de saúde no final dos anos 1900, ele pede a seu amigo Radakrishna Iyer que entregue em caso de infortúnio seus cadernos de matemática ao professor Singaravelu Mudaliar, do Pachaiyappa's College , ou ao professor britânico Edward B. Ross, do Christian College. .

Após sua recuperação, Ramanujan partiu de trem de Kumbakonam para Viluppuram , uma cidade sob controle francês na época, e lá conheceu V. Ramaswamy Aiyer , fundador da Sociedade Matemática Indiana . Ramanujan, que está considerando um emprego no departamento de receitas onde Ramaswamy trabalha, mostra a ele seus cadernos de matemática. Como Ramaswamy relataria mais tarde: “Fiquei impressionado com os resultados matemáticos extraordinários que eles continham. Não tive coragem de sufocar seu gênio dando-lhe um cargo de baixo escalão no Ministério do Orçamento. "

Ramaswamy envia Ramanujan a Madras, munido de cartas de recomendação, para amigos matemáticos, de quem obtém novas cartas de recomendação de R. Ramachandra Rao , secretário da Sociedade Matemática Indiana. Este último está impressionado com os resultados de Ramanujan, embora expresse dúvidas sobre sua autenticidade; só depois de ter discutido com esse jovem prodígio as integrais elípticas , as séries hipergeométricas e as séries divergentes , ele se convenceu de suas capacidades. Depois de pedir emprego e apoio financeiro a Ramachandra, Ramanujan é enviado a Madras , onde pode continuar sua pesquisa, enquanto Ramaswamy o ajuda a publicar seus resultados no Journal of the Indian Mathematical Society .

Uma de suas primeiras contribuições a este jornal é um problema que pede para determinar o valor de um radical aninhado infinito , um objeto certamente incomum, mas que não deve assustar um matemático. Porém, após seis meses, ainda sem ter recebido qualquer solução, publica a resposta, bem como algumas indicações sumárias para obtê-la.

Em 1911, Ramanujan escreveu para o Journal um artigo de dezessete páginas sobre os números de Bernoulli contendo vários teoremas e conjecturas. Nessa época, seu estilo de escrita ainda deixava muito a desejar. Como MT Narayana Iyengar, editor do Journal , escreveu : “Os métodos do Sr. Ramanujan eram tão lacônicos e inovadores, e sua apresentação tão obscura e imprecisa, que o leitor matemático comum, desacostumado a tal ginástica intelectual, dificilmente poderia segui-lo. "

Dentro Março de 1912, Ramanujan finalmente obtém uma posição permanente de contador com o Tesoureiro Geral de Madras, um trabalho que lhe deixa tempo livre suficiente para se dedicar totalmente à matemática.

Contato com matemáticos britânicos

No fim de 1912, Narayana, Ramachandra e Edgar William Middlemast tentam apresentar o trabalho de Ramanujan aos matemáticos britânicos. Micaiah John Muller Hill (da University College London ) achando os artigos de Ramanujan muito incompletos, afirma que embora Ramanujan "tenha um gosto pela matemática e habilidade real" , ele carece dos fundamentos necessários para ser aceito por seus colegas matemáticos. Embora Hill não se ofereça para levar Ramanujan como estudante, ele oferece conselhos profissionais detalhados sobre seu trabalho. Ajudado por seus amigos, Ramanujan então escreveu cartas aos mais prestigiosos matemáticos da Universidade de Cambridge .

Os dois primeiros, Henry Frederick Baker e Ernest William Hobson , retornam os artigos de Ramanujan sem comentários. O16 de janeiro de 1913, Ramanujan então envia a Godfrey Harold Hardy uma carta de nove páginas, que este a princípio toma como uma farsa: Hardy reconhece algumas das fórmulas que aparecem lá, mas outras "parecem quase inacreditáveis" para ele . Em particular, a maioria das estranhas frações contínuas na última página do manuscrito deixa Hardy perplexo; confessando que "nunca tinha visto nada antes que se parecesse vagamente com eles" , ele faz esta observação sobre eles, que agora se tornou famosa: "Esses teoremas devem ser verdadeiros, porque se não fossem verdade, ninguém teria imaginação suficiente para inventá-los ” .

Hardy então pede a seu colega J. Littlewood para ler este manuscrito. Estupefato, este último afirma que só pode vir de um "homem de gênio" (qualificador muito usado hoje em dia). Hardy declarará na morte de Ramanujan que esta carta é "certamente a mais notável que ele já recebeu" e mostra que seu autor é "um matemático da mais alta qualidade, um homem de excepcional poder e originalidade" .

O 8 de fevereiro de 1913, Hardy responde a Ramanujan, expressando seu interesse em seu trabalho, e sinalizando que é “essencial que ele examine a demonstração de certos resultados” . Mesmo antes de sua carta chegar a Madras, Hardy contatou o escritório da Índia com o objetivo de arranjar uma estadia para Ramanujan em Cambridge. Arthur Davies, secretário do comitê de ajuda ao estudante indiano, encontrou-se com Ramanujan no início de 1914 para discutir os detalhes dessa estada, mas para não violar sua educação brâmane e não ofender sua família, Ramanujan recusou-se a deixar seu país. "uma terra estrangeira" . Entretanto, ele enviou a Hardy uma segunda carta cheia de teoremas, na qual ele escreve: "Encontrei em você um amigo que examina meu trabalho com gentileza" ; Gilbert Walker , que então trabalhava com Hardy no Trinity College , estudou o trabalho de Ramanujan e também expressou seu espanto, insistindo que o jovem fosse trabalhar em Cambridge.

Após sua decisão de ficar na Índia, Narayana e Ramachandra reúnem o escritório de estudos matemáticos da Universidade de Madras para discutir "o que pode ser feito por Ramanujan" . O conselho decide conceder a ele uma bolsa de pesquisa de 75 rúpias por mês durante dois anos (mais do que o dobro de seu salário como contador). Durante este período, Ramanujan continuou a contribuir com artigos para o Journal of the Indian Mathematical Society . Assim, Narayana publica certos teoremas sobre a soma de séries divergentes , atribuindo-as a ele; outra série de teoremas publicada nesta revista diz respeito ao cálculo de integrais definidos, Ramanujan tendo generalizado um método devido a Giuliano Frullani .

Depois que Ramanujan recusou o convite de Hardy, a correspondência com ele se deteriorou um pouco; Hardy então oferece a EH Neville, um colega que dá palestras em Madras, para supervisionar o trabalho de Ramanujan e tentar convencê-lo a vir. Isso acaba sendo inútil, porque nesse ínterim a mãe de Ramanujan tem um sonho no qual a deusa da família Namagiri Thayar a recomendou para "não mais se intrometer entre seu filho e o cumprimento de seu destino". Ramanujan então embarcou para a Inglaterra, deixando sua esposa, então com quinze anos, aos cuidados dos pais dela.

Ficar na inglaterra

Ramanujan chega a Londres em 14 de abril de 1914após um mês de travessia; ele é saudado por Neville, que o hospeda em sua casa em Cambridge, e ele imediatamente começa a trabalhar com Hardy e Littlewood. Depois de seis semanas, Ramanujan muda-se para Wheewell's Court, a cinco minutos a pé da casa de Hardy, e Hardy e Littlewood podem estudar seus cadernos. Hardy já recebeu 120 fórmulas e teoremas nas duas primeiras cartas, mas os cadernos contêm muitos mais. Alguns são falsos e outros já são conhecidos, mas a maioria são descobertas significativas, causando forte impressão em ambos. Littlewood comenta "que acredita que ele é pelo menos do calibre de um Jacobi ", enquanto Hardy "só pode compará-lo a Euler ou a Jacobi" . Hardy, que gostava de classificar matemáticos em uma escala de 1 a 100, mais tarde daria a si mesmo 25, dando a Littlewood 30, David Hilbert 80 e Ramanujan 100.

Hardy e Ramanujan têm personalidades contrastantes, e sua colaboração vê culturas, crenças e até estilos de trabalho opostos se chocarem. As décadas anteriores viram no Ocidente uma crise nos fundamentos da matemática, exigindo uma abordagem rigorosa das provas, das quais Hardy é um defensor fervoroso, enquanto Ramanujan confia em seu instinto e em suas intuições deslumbrantes. Hardy fará o possível para preencher as lacunas na educação de Ramanujan e convencê-lo a basear seus resultados em evidências rigorosas, sem limitar sua inspiração; o conflito entre as duas abordagens é angustiante para todos, e Hardy mais tarde lamentou em várias ocasiões que Ramanujan não tivesse recebido uma educação mais tradicional, o que talvez o teria "capacitado a se tornar o maior matemático de seu tempo" ; ele ressalta, porém, que não se deu ao trabalho de perguntar de onde exatamente veio o seu conhecimento, porque, diz ele, "por que eu perguntaria se ele sabia tal e tal resultado, quando ele me disse ? praticamente todo dia mostrou meia dúzia de novos teoremas? "

Ramanujan recebeu um Bacharelado em Ciências de “pesquisa” (não correspondendo mais ao atual PhD ) em março de 1916 por seu trabalho sobre números altamente compostos , a primeira parte dos quais foi publicada nos Proceedings of the London Mathematical Society . Este artigo de mais de 60 páginas demonstra muitas propriedades desses números; Hardy observará "que esta foi uma pesquisa muito incomum, e que Ramanujan demonstrou extraordinária engenhosidade nela" .

O 6 de dezembro de 1917, ele foi admitido na London Mathematical Society ; em 1918, foi eleito Fellow da Royal Society "por suas pesquisas sobre funções elípticas e teoria dos números" , tornando-se o segundo índio a ser admitido, depois de Ardaseer Cursetjee em 1841. No mesmo ano, o13 de outubro, ele é o primeiro indiano a se tornar um membro do Trinity College .

Ao todo, Ramanujan passou quase cinco anos em Cambridge, publicando muitas de suas descobertas lá, em cerca de vinte artigos coletados após sua morte em um livro de Hardy e seus colaboradores; a Primeira Guerra Mundial não impediu que esses artigos atraíssem muita atenção, pois abriram novos caminhos de pesquisa.

Doença e morte

Ao longo de sua vida, Ramanujan foi atormentado por problemas de saúde. Sua condição piorou na Inglaterra, talvez devido ao clima, e às dificuldades em manter a dieta vegetariana rígida exigida por seu bramanismo ortodoxo, em meio às restrições devido à guerra entre 1914 e 1918. Diagnosticado com tuberculose , e sofrendo de 'uma grave deficiência de vitaminas , frequentou vários hospitais a partir de 1917, antes de ser internado em um sanatório em Putney , onde Hardy o visitava com frequência. Em fevereiro de 1918, muito deprimido, enfraquecido e desmoralizado, ao que parece, pela comida oferecida nesses estabelecimentos, o jovem matemático tentou suicídio atirando-se sob as rodas de um trem subterrâneo de Londres . No entanto, a partir da primavera de 1918, uma sucessão de boas novas, incluindo sua admissão na Royal Society, deu-lhe ânimo, enquanto o fim da guerra em novembro permitiu-lhe considerar um retorno à Índia.

Em março de 1919, aparentemente com melhor saúde, mas ainda frágil, ele voltou a Kumbakonam para se juntar à esposa e aos pais; sua reputação (devido às honras recebidas na Inglaterra) o precedeu, e foi-lhe oferecido, em particular, um posto de professor universitário em Madras, que ele declarou aceitar assim que estivesse completamente curado; no entanto, talvez por causa do calor excessivo, começa a enfraquecer novamente durante o verão, o que não o impede de continuar a produzir novos resultados matemáticos, mas seus últimos meses são bastante dolorosos; ele morre em26 de abril de 1920, aos 32 anos .

Em 1994, uma análise dos registros médicos e sintomas de Ramanujan pelo Dr. DAB Young o levou a concluir que sua doença se parecia muito mais com amebose hepática (uma doença então endêmica em Madras) do que com tuberculose. Na verdade, Ramanujan havia experimentado dois episódios de disenteria antes de deixar a Índia. No entanto, quando não é tratada adequadamente, a disenteria pode de fato se tornar crônica e levar à amebose, enquanto diagnosticada corretamente (mas os erros não eram raros na época), a doença poderia ter sido tratada e até mesmo curada o mais rápido possível.

Personalidade e vida religiosa

Ramanujan é descrito por seus amigos indianos como amigável e quieto, capaz de brincar em tâmil e inglês; sua paixão pela matemática lhe dá um charme e uma inocência que todos o reconhecem e atrai amigos ansiosos para ajudá-lo. Em Cambridge , sua comitiva falava dele como um companheiro de caráter tímido e calmo, mas animado por um entusiasmo comunicativo quando apresentava suas idéias matemáticas ou filosóficas em pequenos grupos; ele é um personagem digno com maneiras agradáveis e uma existência espartana.

Os primeiros biógrafos indianos de Ramanujan insistem em seu hinduísmo estritamente ortodoxo e afirmam que ele atribui suas habilidades de pensamento à deusa da família , Namagiri Thayar , com quem ele confia para inspirá-lo em seu trabalho e com quem ele afirma ter sonhado com gotas de sangue que a simbolizavam marido, Narasimha , avatar de Vishnu , após receber as visões de pergaminhos de fórmulas matemáticas complexas se desenrolando diante de seus olhos. De acordo com esses biógrafos, Ramanujan costuma dizer: “Uma equação para mim não tem significado a menos que represente um pensamento de Deus. "

No entanto, Hardy insistiu em não considerar Ramanujan como um místico cujas inspirações matemáticas viriam "de uma sabedoria oriental misteriosa e imemorial" , descrevendo-o como "um ser humano racional que por acaso foi um grande matemático" ; ele cita (insistindo no espanto que lhe causaram) as observações de Ramanujan que mostram que todas as religiões "pareciam-lhe mais ou menos igualmente verdadeiras" . Hardy deduziu que a devoção de Ramanujan fora idealizada pelos ocidentais e exagerada por seus biógrafos indianos; No entanto, ele apenas mencionou suas crenças e não suas práticas religiosas, reclamando ao contrário das lamentáveis conseqüências de sua estrita observância do vegetarianismo sobre sua saúde e talvez sobre seu trabalho.

Trabalho matemático

Contribuições teóricas

O trabalho de Ramanujan enfoca vários aspectos da teoria dos números (por exemplo , números primos de Ramanujan , números altamente compostos , identidades de Rogers-Ramanujan ou o estudo detalhado, realizado em colaboração com Hardy, da função que dá o número de partições de um inteiro e em particular sobre este assunto as congruências que levam seu nome ), e mais particularmente sobre o uso nesta teoria de métodos analíticos como o método do círculo (que ele ajudou a desenvolver), bem como sobre o uso de funções elípticas e modulares , e funções theta ; Paul Erdős também considerou que ele foi o iniciador, em combinatória , de métodos probabilísticos . Ele também fez descobertas em vários outros campos da matemática, como na análise com o somatório de Ramanujan ou o " teorema mestre ", bem como conjecturas frutíferas , como as relativas à função tau .

Fórmulas

Ramanujan é famoso por sua extraordinária produtividade quando se trata de fórmulas. Hardy disse, referindo-se a Leonhard Euler , também um grande criador de fórmulas notáveis , que ele "nasceu 150 anos tarde demais" e, a respeito da carta que lhe havia enviado em 1913, que as fórmulas que continham não podiam deixar de ser corretas, porque "ninguém teria imaginação suficiente para inventá-los e que são falsos" .

Distribuído em três cadernos , bem como em um conjunto de folhas dispersas redescobertas em 1976, e chamado de "caderno perdido", em um total de cerca de 700 páginas , vários milhares de seus resultados foram analisados e agora todos demonstrados (às vezes em l usando ferramentas de computador): muito poucos são falsos (na maioria das vezes como resultado de erros de cópia) e dois terços são originais. Ramanujan não tinha algumas teorias, desconhecido ou sendo desenvolvido no início do XX ° século, como a teoria analítica dos números , e ignorando até mesmo os fundamentos da Resultados análise complexa como o teorema de resíduos , os métodos que tornaram possível para descobrir tais uma quantidade de fórmulas e teoremas permanece obscura. As seções a seguir dão uma ideia da variedade dessas fórmulas.

Formulários de carta para Hardy

A primeira carta de Ramanujan para Hardy, datada de 16 de janeiro de 1913, consiste essencialmente em fórmulas e teoremas sem prova. Hardy reconheceu alguns deles, mas outros "dificilmente pareciam críveis" . Assim, no final da página 3, aparece a seguinte identidade:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {(b + 1) ^ {2}}}} { 1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} \ times {\ frac {1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {(b + 2) ^ {2} }}} {1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {(a + 1) ^ {2}}}}} \ times \ cdots \, \ mathrm {d} x \ quad = \ quad & {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} \ times {\ frac {\ Gamma \ left (a + {\ frac {1} {2}} \ right) \ Gamma (b + 1) \ Gamma (b - a + 1)} {\ Gamma (a) \ Gamma \ left (b + {\ frac {1} {2}} \ right) \ Gamma \ left (ba + {\ frac {1} {2}} \ direita)}}, \ end {alinhado}}}

válido para $0 < a < b + 1 / 2$ , e onde a função gama $Γ$ , devido a Euler , generaliza o fatorial para os reais (verifica e para inteiros). Esse resultado já havia sido alcançado por Gustav Conrad Bauer em 1859, mas Hardy não sabia disso na época. ${\ displaystyle \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (n) = (n-1)!}$

Hardy também ficou muito impressionado com algumas das séries infinitas manipuladas por Ramanujan, por exemplo, as duas seguintes:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} 1 \; \; & - \; 5 \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {3} \; + \; \; 9 \; \ esquerda ({\ frac {1 \ vezes 3} {2 \ vezes 4}} \ direita) ^ {3} \; - \; 13 \ esquerda ({\ frac {1 \ vezes 3 \ vezes 5} {2 \ vezes 4 \ times 6}} \ right) ^ {3} \; \; + \ cdots = \; {\ frac {2} {\ pi}}, \\ 1 \; \; & + \; 9 \ left ( {\ frac {1} {4}} \ right) ^ {4} \; + \; 17 \ left ({\ frac {1 \ times 5} {4 \ times 8}} \ right) ^ {4} \ ; + \; 25 \ left ({\ frac {1 \ times 5 \ times 9} {4 \ times 8 \ times 12}} \ right) ^ {4} \; + \ cdots = \; {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {{\ sqrt {\ pi}} \, \ left (\ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) \ right) ^ {2}}}, \\\ fim {alinhado}}}

em que os coeficientes estão em progressão aritmética (1, 5, 9, 13, ... e 1, 9, 17, 25, ...). Hardy foi capaz de demonstrar esses resultados novamente usando propriedades de séries hipergeométricas estendendo o trabalho de Euler e Gauss , mas ele descobriu que eles eram "muito mais surpreendentes" do que os de Gauss.

Os teoremas sobre frações contínuas na última página do manuscrito, como esta (já demonstrada por Jacobi , e próxima aos resultados conhecidos por Gauss ):

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a} e ^ {- x ^ {2}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} \ operatorname { erf} (a) = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} - {\ cfrac {{\ rm {e}} ^ {- a ^ {2}}} {2a + {\ cfrac { 1} {a + {\ cfrac {2} {2a + {\ cfrac {3} {a + {\ cfrac {4} {2a + \, \ cdots}}}}}}}}}}}}

, onde erf é a função de erro

a maioria deles deixou Hardy perplexo: ele "nunca tinha visto nada, mesmo vagamente como eles antes" .

Frações continuadas generalizadas

Dois exemplos espetaculares da criatividade de Ramanujan são as seguintes fórmulas:

{\ displaystyle {\ sqrt {\ varphi +2}} - \ varphi = {\ cfrac {{\ rm {e}} ^ {- 2 \ pi / 5}} {1 + {\ cfrac {{\ rm {e }} ^ {- 2 \ pi}} {1 + {\ cfrac {{\ rm {e}} ^ {- 4 \ pi}} {1 + {\ cfrac {{\ rm {e}} ^ {- 6 \ pi}} {1 + \, \ cdots}}}}}}}}}

conectando $e$ , $π$ e a proporção áurea , (esta fórmula apareceu em sua primeira carta para Hardy, e era uma daquelas que "parecia com nada que ele conhecia" ), e outra envolvendo $e$ e $π$ : $\ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt 5}} 2}$

{\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 9}} + \ cdots + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1+ {\ cfrac {2} {1 + {\ cfrac {3} {1 + {\ cfrac {4} {1+ \ cdots}}}}}}}}}} = {\ sqrt {\ frac {{\ rm {e}} \ pi} {2}}}.}

Esta segunda fórmula combina uma série infinita e uma fração contínua generalizada para fornecer uma relação entre as duas constantes mais famosas da matemática .

Série para

π

Os irmãos Jonathan e Peter Borwein demonstraram em 1987 um conjunto de fórmulas que Ramanujan havia descoberto em 1910 e que apareceu em seu primeiro artigo publicado na Inglaterra (sem qualquer demonstração, e apenas com algumas vagas indicações de sua origem), das quais a maioria surpreendente (e além disso o mais eficaz) é:

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(4n)!} {(N!) ^ {4}}} \ times {\ frac {1103 + 26390n} {(4 \ vezes 99) ^ {4n}}}}

Esta fórmula fornece oito casas decimais adicionais de 1 / $π$ para cada novo termo na série (e produz a partir do primeiro termo a aproximação excelente , verdadeira para dentro ). ${\ displaystyle \ pi \ simeq {\ frac {9801 {\ sqrt {2}}} {4412}}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {- 7}}$

Hardy apontou que as descobertas de Ramanujan freqüentemente escondem teorias mais profundas do que parecem; assim, o resultado anterior viria do estudo do "discriminante fundamental" $d$ = −4 × 58 = −232 do número de classes h ( d ) = 2 e estaria relacionado com a " coincidência numérica " (temos de fato 26390 = 5 × 7 × 13 × 58, 16 × 9801 = 396 2 e 1103 = 19 × 58 + 1). ${\ textstyle e ^ {\ pi {\ sqrt {58}}} = 396 ^ {4} -104,000000177 \ pontos.}$

Radicais aninhados

Em uma de suas primeiras publicações no Journal of the Indian Mathematical Society , Ramanujan pediu para determinar o valor de infinitos radicais aninhados , como

{\ displaystyle r = {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {1 + 3 {\ sqrt {1+ \ cdots}}}}}}}

; na página 105 de seu primeiro caderno , encontramos uma fórmula mais geral:

{\ displaystyle x + n + a = {\ sqrt {ax + (n + a) ^ {2} + x {\ sqrt {a (x + n) + (n + a) ^ {2} + (x + n) {\ sqrt {\ cdots}}}}}}}

, a partir do qual deduzimos que a solução da questão do Journal é simplesmente r = 3 .

No "caderno perdido", encontramos outras fórmulas ainda mais espetaculares, por exemplo

{\ displaystyle {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5 - {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5- \ cdots}}} }}}}}}}}}}}} = {\ frac {2 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {15-6 {\ sqrt {5}}}}} {2}}}

(onde a sequência de sinais se repete periodicamente).

{\ displaystyle (+, +, -, +)}

Outras identidades algébricas

Seu virtuosismo na manipulação de números algébricos o levou a produzir igualdades surpreendentes como:

{\ displaystyle \ left (\ cos {\ frac {2 \ pi} {9}} \ right) ^ {1/3} + \ left (\ cos {\ frac {4 \ pi} {9}} \ right) ^ {1/3} - \ left (\ cos {\ frac {\ pi} {9}} \ right) ^ {1/3} = \ left ({\ frac {3 (9 ^ {1/3} - 2)} {2}} \ direita) ^ {1/3}}

que ele também propôs como um problema no Journal of the Indian Mathematical Society .

Num gênero ligeiramente diferente, ele também descobriu várias identidades que permitem construir exemplos de somas de três cubos iguais a um cubo, como este:

(3x ^ {2} + 5xy-5y ^ {2}) ^ {3} + (4x ^ {2} -4xy + 6y ^ {2}) ^ {3} + (5x ^ {2} -5xy-3y ^ {2}) ^ {3} = (6x ^ {2} -4xy + 4y ^ {2}) ^ {3}

que generaliza a curiosa coincidência numérica 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3 = 216 para x = 1 ey = 0; eles são fáceis de verificar por um desenvolvimento algébrico simples, mas parecem difíceis de obter sem uma teoria geral; novamente, não se sabe se Ramanujan tinha um (a questão pode ter algo a ver com a teoria do número do táxi ).

Aproximações numéricas

Em seu primeiro artigo escrito em Cambridge, Ramanujan fornece aproximações numéricas surpreendentes (especificando o erro cometido, mas com muito pouca justificativa), como

{\ displaystyle \ pi \ simeq {\ frac {12} {\ sqrt {190}}} \ ln ((3 + {\ sqrt {10}}) ({\ sqrt {8}} + {\ sqrt {10} }))}

( aproximadamente, isto é, com 18 casas decimais exatas).

{\ displaystyle 10 ^ {- 18}}

Ele também dá no mesmo artigo três exemplos de números "quase inteiros" :

{\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {22}}} = 2508951,9982 \ pontos}

{\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {37}}} = 199148647,999978 \ pontos}

, e

{\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {58}}} = 24591257751,99999982 \ dots}

Um fenômeno semelhante ocorre para os números de Heegner ; isto é o que deu Martin Gardner a idéia de abril Dia da Mentira atribuindo a Ramanujan a previsão de que seria todo; por esse motivo, esse último número é às vezes conhecido como constante de Ramanujan . $e ^ {{\ pi {\ sqrt {163}}}}$

Anedota de táxi

Ramanujan exibia uma memória extraordinária de números e suas propriedades. Hardy relata a seguinte anedota, que se tornou famosa neste assunto:

“Lembro-me de ter ido vê-lo uma vez quando ele estava doente em Putney . Eu havia pegado um táxi com o número 1729 e percebi que esse número não me parecia atraente, acrescentando que esperava que não fosse um mau sinal.
- Não, respondeu ele, é um número muito interessante: é o menor número que pode ser dividido em dois cubos de duas maneiras diferentes. "

Na verdade ,. E Hardy, citando Littlewood , concluiu (após notar que Ramanujan ignorou a resposta à mesma pergunta para os quartos poderes) que ele fez soar como "todo número natural era um amigo pessoal dele" . $9 ^ {3} + 10 ^ {3} = 1 ^ {3} + 12 ^ {3} = 1729$

Reconhecimento póstumo

Posteridade matemática

Artigos e manuscritos de Ramanujan

Por falta de papel, Ramanujan na Índia adquiriu o hábito de fazer seus cálculos e raciocinar em sua cabeça ou em uma lousa, anotando apenas os resultados finais; ele manteve esse método de trabalho por toda a vida, preenchendo assim todos os três cadernos (contendo quase quatro mil fórmulas em mais de setecentas páginas) que carregava consigo para todos os lugares.

Após sua morte, Thirunarayanan, seu irmão mais novo, reuniu algumas de suas anotações manuscritas, e sua esposa, Janaki Ammal, doou todos os seus cadernos e anotações para a Universidade de Madras , onde os três cadernos estão atualmente guardados; dentroAgosto de 1923, o secretário geral da universidade, Francis Drewsbury, envia a maioria desses documentos para Hardy .

Hardy escreveu um obituário na Nature em junho de 1920 e , no ano seguinte, um obituário mais detalhado para a London Mathematical Society ; Ele afirma, o que se provará profético, que levaremos pelo menos vinte anos para medirmos tudo o que Ramanujan trouxe. Ele então começou, em colaboração com S. Aiyar e Bertram Martin Wilson , a coletar e editar seus textos publicados em vários jornais indianos e ingleses; o todo ( 37 artigos ao todo) foi publicado em 1927. Em 1937, Hardy escreveu para o The American Mathematical Monthly um artigo, The Indian Mathematician Ramanujan , relatando as circunstâncias de seu encontro e focando principalmente em seu trabalho, em seguida, deu uma série de conferências na Inglaterra e nos Estados Unidos, que reuniu em um livro publicado em 1940.

Em uma data não especificada (provavelmente após 1935), Hardy passou os cadernos (e manuscritos dispersos) para George Neville Watson , que, junto com Wilson, havia começado a trabalhar em um projeto de publicação, mas que parecia ter perdido o interesse. Por este projeto depois A morte de Wilson em 1935.

Após a morte de Watson em 1965, John Macnaghten Whittaker (filho de seu amigo Edmund Whittaker ) inspeciona seus arquivos (antes de sua cremação, alguns dias depois) e descobre um conjunto de 138 folhas das mãos de Ramanujan, que ele e Rankin lhe enviaram . na biblioteca do Trinity College , em dezembro de 1968. George Andrews ouve falar por Lucy Joan Slater , e descobre por sua vez, na primavera de 1976, conforme ele conta a história em 2012, para comemorar o 150 º aniversário. É a partir deste momento que este conjunto passa a ser conhecido com o nome de "caderno perdido" ( caderno perdido ).

A partir de 1977 e por mais de vinte anos, Bruce Carl Berndt se dedicou à edição comentada dos três cadernos (agora chamados cadernos Ramanujan ), em cinco volumes totalizando mais de 1.800 páginas. Ao todo, os notebooks contêm quase 3.900 "afirmações", na maioria das vezes sem qualquer demonstração. Berndt e seus colaboradores, notadamente os matemáticos George Andrews , Richard Askey e Robert Rankin , decidiram demonstrá-los ou buscar referências na literatura existente; Berndt também pode se basear nas notas que Watson e Wilson fizeram na década de 1930 para seu projeto de publicação abandonado. Entre 2005 e 2018, publicou uma edição anotada, em cinco outros volumes, dos resultados do “caderno perdido”, desta vez também com a ajuda de Ken Ono , que, como Andrews, é especialista nas formas modulares em que estes os resultados se relacionam, essencialmente.

Herança matemática

Assim que foi anunciada a notícia de sua morte, Hardy declarou: “O que ele conseguiu [apesar de suas deficiências] já é maravilhoso [...] quando a pesquisa que seu trabalho inspirou estiver concluída, parecerá muito mais maravilhoso de novo. “ Muitas das trilhas abertas por Ramanujan serão exploradas nos próximos vinte anos; Hardy descreve alguns desses avanços em suas palestras no final dos anos 1930, que ele coleciona em um livro publicado em Cambridge em 1940.

No entanto, no final da década de 1950, o trabalho de Ramanujan caiu em relativo esquecimento e os cadernos, publicados pelo Instituto Tata em 1957, mas difíceis de decifrar, permaneceram confidenciais. Um avanço importante, entretanto, resulta do trabalho sobre a conjectura de Ramanujan de 1965, culminando na demonstração da conjectura por Pierre Deligne em 1974; As idéias de Ramanujan dão origem a desenvolvimentos frutíferos (usando em particular as novas ferramentas da geometria algébrica ), relacionando essa conjectura aparentemente muito especializada a muitas e importantes questões em aberto, como o programa de Langlands ; talvez de forma mais anedótica, a conjectura permitiu a construção explícita de certos gráficos , aos quais, acertadamente, chamamos de grafos de Ramanujan .

No início da década de 1980, o trabalho de Bruce Carl Berndt nos resultados dos três cadernos, bem como a descoberta do “caderno perdido”, levou à constatação de que, como disse Freeman Dyson , “a maioria das conjecturas de Ramanujan não foram só fórmulas bonitas, mas tinham consistência e profundidade ” . Em particular, a importância das últimas descobertas de Ramanujan só foi percebida gradualmente a partir da década de 1990, principalmente após o trabalho de Ken Ono ; é com base em alguns desses resultados a obtenção, em 2014, de um espetacular conjunto de novas fórmulas algébricas .

Esta herança impressionante explica o qualificativo de “visionário”, pelo menos tão frequentemente anexado ao seu nome quanto o de “gênio”. Algumas das palavras de Ramanujan ajudaram a manter o mistério vivo; se Hardy insistiu que não vemos "nada de místico" nas conjecturas que formulou, Ken Ono menciona sua perplexidade com algumas de suas previsões, precisas e detalhadas, que lhe parecem inacessíveis com as ferramentas à sua disposição.

Outras homenagens

Em 1983, a pedido de Janaki Ammal, sua viúva, Richard Askey, encarregou o escultor Paul Granlund de fazer bustos de bronze de Ramanujan (com base na fotografia em seu passaporte). Uma bolsa permite fazer dez bustos; o que foi prometido a Janaki está agora no Instituto Ramanujan de Estudos Avançados em Matemática (o departamento de matemática da Universidade de Madras , que se chama Ramanujan desde 1950).

O Tamil Nadu celebra o aniversário de Ramanujan em 22 de dezembro como Dia Estadual de TI ( Dia Nacional da Indústria e Tecnologia ); este aniversário também é comemorado pelo Government Arts College em Kumbakonam, onde ele estudou, bem como pelo Instituto Indiano de Tecnologia em Chennai . Em 2011, para o 125 º aniversário de seu nascimento, o governo indiano disse que em 22 de dezembro agora será "Dia Matemática Nacional', e primeiro-ministro indiano Manmohan Singh sobre anúncio de que 2012 será a razão matemática Ano Nacional .

Várias instituições concedem distinções matemáticas com referência a Ramanujan. A Academia Shanmugha concede o Prêmio SASTRA Ramanujan a um jovem matemático (com menos de 32 anos, a idade de sua morte) que fez um trabalho notável nos campos favoritos de Ramanujan: frações contínuas , séries , teoria dos números ; em parceria com a universidade de Kumbakonam , também criou em 2000 um museu e um centro universitário dedicado à sua vida e ao seu trabalho, o Srinivasa Ramanujan Center . O Centro Internacional de Física Teórica em Trieste concede o Prêmio Ramanujan ICTP para jovens matemáticos de países em desenvolvimento, em cooperação com a União Internacional de Matemática . A Indian Mathematical Society organiza uma conferência comemorativa “Srinivasa Ramanujan” todos os anos desde 1990 .

Em 2010, o Deshbandhu College, um colégio universitário afiliado à Universidade de Delhi e localizado no distrito de Kalkaji no sul de Delhi , foi rebatizado de Ramanujan College.

Um selo com a imagem de Ramanujan é emitido pelo Governo da Índia em 1962 (para o 75 º aniversário do seu nascimento) comemorando suas descobertas na teoria dos números; depois de redesenhado, este selo volta a circular em26 de dezembro de 2011por India Post . O22 de dezembro de 2012, selo de cinco rúpias , emitido por ocasião do primeiro “Dia Nacional da Matemática”, traz um retrato do matemático indiano, sobre um fundo de fórmulas e figuras geométricas.

Em ficção

Em seu romance , intitulado The Indian Accountant e publicado em 2009, o escritor norte- americano David Leavitt reconstitui a colaboração, tendo como pano de fundo a Primeira Guerra Mundial, entre Ramanujan e Hardy, por meio de memórias deste último, evocadas ao iniciar uma série de palestras sobre o obras de Ramanujan por ocasião das comemorações do tricentenário da Universidade de Harvard . Embora centrada no caráter do matemático britânico, em particular sua juventude e suas relações sociais dentro da sociedade secreta dos Apóstolos de Cambridge , a obra do romancista descreve a figura do talentoso autodidata indiano pela apresentação dos encontros realizados em Cambridge por ele. ci e vários elementos de sua biografia.
Em 2007, Simon McBurney escreveu e dirigiu A Disappearing Number , peça inspirada na colaboração entre Ramanujan e Hardy; esta peça foi apresentada em particular na França (na sua versão original com legendas) no Théâtre Nanterre-Amandiers em 2008.

No cinema e na televisão

Vários filmes e documentários são dedicados a ele:

Ramanujan , filme biográfico de Gnana Rajasekaran , lançado em 2014.
The Man Who Defied Infinity , filme biográfico de Matt Brown, 2016 (lançado na França em DVD em 2017), baseado no livro de Robert Kanigel , The Man Who Knew Infinity: a Life of the Genius Ramanujan ; o papel de Ramanujan é desempenhado por Dev Patel .
Em 2016, o Ministério das Relações Exteriores da Índia produziu um documentário intitulado Srinivasa Ramanujan - The Mathematician & His Legacy [“Srinivasa Ramanujan: o matemático e seu legado”], contendo em particular entrevistas com matemáticos contemporâneos, bem como reconstruções de cenas de Ramanujan vida.

Ramanujan também é uma fonte de inspiração para vários personagens fictícios:

Em Will Hunting , Will, um gênio matemático autodidata, é comparado a Ramanujan pelo Professor Lambeau, que o descobriu e serve como seu mentor.
Amita Ramanujan , a jovem matemática indiana da série Numb3rs , foi nomeada para homenageá-la.

Trabalho de Ramanujan

Os artigos publicados em jornais indianos e ingleses foram compilados por Godfrey Harold Hardy e seus colaboradores:

Srinivasa Ramanujan, Collected Papers of Srinivasa Ramanujan , Providence , American Mathematical Society ,1962.

Fotocópias dos cadernos de Ramanujan foram publicadas pelo Tata Institute of Fundamental Research (TIFR); os do “caderno perdido” (e outros documentos dispersos) da Editora Narosa .

S. Ramanujan, Notebooks , Bombay, Tata Institute of Fundamental Research,1957, 2 volumesEm 2012, uma segunda edição (de muito melhor qualidade, e respeitando em particular a cor das tintas utilizadas por Ramanujan) foi publicada pelo TIFR.
S. Ramanujan, The Lost Notebook and Other Unpublished Papers , New Delhi, Narosa Publishing House,1988.

Os resultados dos três cadernos, o “caderno perdido” e a correspondência foram analisados por Bruce Carl Berndt (em colaboração com outros matemáticos, em particular George Andrews e Robert Rankin ).

Bruce C. Berndt , Ramanujan's Notebooks , Nova York, Springer.

- volume I,	1985	;
- volume II,	1989	;
- volume III,	1991	;
- volume IV,	1993	;
- volume V,	2005	.

Bruce C. Berndt e George E. Andrews , Caderno Perdido de Ramanujan , Nova York, Springer.

- volume I,	2005	;
- volume II,	2008	;
- volume III,	2012	;
- volume IV,	2013	;
- volume V,	2018	.

Bruce C. Berndt e Robert A. Rankin , Ramanujan: Letters and Commentary , Providence , American Mathematical Society ,1995.

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Srinivasa Ramanujan " ( ver a lista de autores ) .

Notas

Não sabemos as circunstâncias exatas em que esta fotografia foi tirada; pertence à coleção de retratos de matemáticos do Oberwolfach Institute for Mathematical Research , ao qual foi doado em 2005 por Konrad Jacobs .
Seu nome completo, Srinivasa Ramanujan (Aiyangar), é de fato composto com o nome de seu pai Srinivasa, ao qual às vezes é adicionado seu nome de casta brâmane Aiyangar (ou Iyengar); na maioria das vezes ele assinava S. Ramanujan e explicava aos seus amigos ingleses "que ele não tinha sobrenome" .
Três outras crianças nasceram em 1889, 1891 e 1894, mas viveram apenas alguns meses.
Ao contrário do que o título pode sugerir , este livro contém muitas outras fórmulas de análise, por exemplo, sobre logaritmo e funções exponenciais .
Obtém em particular fórmulas semelhantes às fórmulas de Euler , mas, mortificado ao saber que já são conhecidas, esconde sob o teto de sua casa os papéis onde as escreveu.
A edição usada por Ramanujan foi especificamente intitulada (in) George Shoobridge Carr , A Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics: Containing Proposals, Formulas, and Methods of Analysis, with Abridged Demonstrations. Suplementado por um índice dos artigos sobre matemática pura que podem ser encontrados nas principais revistas e transações de sociedades eruditas, tanto inglesas quanto estrangeiras, do século atual ,1886( leia online ).
Este mesmo livro, que ainda estava em exibição nesta biblioteca quando Berndt a visitou, foi roubado, como conta Ken Ono , que esperava encontrar notas marginais de Ramanujan lá.
Hardy , retomado por muitos comentaristas, fala de 6.165 resultados, mas, na realidade, Berndt lista apenas um pouco mais de 4.000 teoremas neste livro.
Iyer (ou Aiyer, Ayyar, etc. ) é o nome da casta Brahmin , o que explica sua presença frequente como um nome próprio em algumas fontes e as confusões resultantes.
Suas convicções religiosas são feridas pelas dissecações de sapos a que é forçado.
Por exemplo, ele usa letras não convencionais para certas variáveis e funções.
Os testemunhos diferem neste casamento. Arranjado há algum tempo, e simbólico até a puberdade da jovem, quase teria sido cancelado, pois Ramanujan só visitou os sogros muito tarde. Uma vez casado, no entanto, ele levou muito a sério suas responsabilidades como chefe da família e, após sua morte, sua viúva teve que empregar energia inabalável para garantir que seu trabalho e sua memória fossem preservados.
Ele sofre de uma hidrocele que finalmente será operada de graça em 1910; a operação o deixa fraco e ansioso.
Carta MJM Hill CLT Griffith (um de seus ex-alunos que escreveu para ele em nome de Ramanujan), 28 de novembro de 1912 (em) PK Srinivasan Ramanujan: Uma inspiração , voos memoriais 1 e 2, Muthialpet High School. Madras, 1968) .
Embora algumas das críticas de Hill sejam sólidas, Ramanujan deveria reclamar em sua segunda carta a Hardy que Hill achou por bem recomendar a ele um livro de análise elementar "para evitar cair na armadilha de séries divergentes" , como se Ramanujan não fosse capaz perceber por si mesmo que escrever aquilo não tinha nenhum sentido na linguagem usual das somas das séries; mais detalhes podem ser encontrados no artigo Soma de Ramanujan . ${\ displaystyle 1 + 2 + 3 + \ cdots = -1 / 12}$
Ramanujan parecia atribuir-lhe teoremas bem conhecidos; além disso, um dos resultados que ele deu para os números primos certamente estava errado. Hardy declararia mais tarde que entendia a reação de seus colegas, que devem ter pensado que era uma " manivela " como vemos tantas vezes.
Segundo Hardy, ele havia recebido a carta pelo correio da manhã, olhou rapidamente para ela, achou que era uma piada e não havia pensado mais nisso. Mas algumas das fórmulas o atormentaram o dia todo; ele finalmente fez contato com Littlewood e eles se isolaram à noite na biblioteca de Cambridge, apenas para sair depois de duas horas e meia, "agora certos de que ele era um homem de gênio" .
Robert Kanigel deu à biografia que escreveu o título " O homem que conheceu o infinito: uma vida do gênio Ramanujan " .
Para um brâmane ortodoxo, cruzar o oceano era um tabu na época conhecido como Kala pani .
Uma análise mais nuances desta decisão é dada por Kanigel: Ramanujan supostamente mais tarde afirmou que sua recusa não veio dele, mas de seu amigo Narayana, no entanto esta declaração poderia ter sido apenas um meio de salvar face.
Ela pediu a Ramanujan que a acompanhasse, mas ele recusou (possivelmente influenciado por Ramachandra), explicando que não conseguia se concentrar em sua matemática, ela era tão jovem e bonita.
Hardy observaria mais tarde que esses erros resultam da falta de domínio de Ramanujan de técnicas analíticas modernas, mas, acrescenta, essas falhas são, em certo sentido, ainda mais espetaculares do que seus sucessos (prefácio à edição de 1927); ele voltará a essa observação em suas palestras de 1937, observando que esses erros aparentes muitas vezes escondem resultados exatos mais profundos, que devem ser descobertos.
Bruce Carl Berndt obteve essa informação de Paul Erdős .
Ele explica em 1927 que os maiores fracassos de Ramanujan ocorreram na teoria analítica dos números , onde "adivinhar o teorema é quase nada, e onde apenas provas rigorosas podem evitar erros [que até mesmo Gauss fez poderiam cometer]" .
Preso por agentes da Scotland Yard , são e salvo - o trem havia parado poucos metros antes do local onde o jovem havia caído -, ele é libertado graças à intervenção de Hardy.
A importância desses resultados (em particular no que diz respeito às “ falsas funções theta ” que ele construiu) não será totalmente reconhecida até depois da redescoberta do “caderno perdido” em 1976.
Ele sofre permanentemente de dores de estômago, e seu caráter, até então calmo e otimista, sofre, mas, acamado, ele continua suas pesquisas até os últimos dias.
Ele descobriu em particular no último ano de sua vida funções análogas, as " falsas funções theta "; gravou nas fórmulas "Lost notebook" e conjecturas sobre eles cuja importância não foi realmente reconhecido até depois da redescoberta deste notebook, em 1976, e que não foram ainda totalmente compreendido no início do livro. XXI th século .
Este trabalho de verificação, abrangendo mais de 25 anos , e amplamente concluído em 1996, deve-se em grande parte a Bruce Carl Berndt , com a colaboração de vários outros matemáticos, incluindo George Andrews e os irmãos Jonathan e Peter Borwein ; Muitas verificações de rotina podem ter sido confiadas ao Mathematica , mas Berndt repetidamente chama a atenção para o extraordinário poder computacional de Ramanujan, permitindo-lhe descobrir e controlar esses resultados sem ajuda.
Embora tenha contribuído, por exemplo, para o desenvolvimento do método do círculo , sua intuição o enganou no estudo da distribuição dos números primos : "sua teoria se assemelha ao que aconteceria se os zeros complexos da função zeta de Riemann não existissem"
Certas declarações de Ramanujan, por exemplo atribuindo essas fórmulas a Namagiri Thayar , sua deusa tutelar , contribuíram para manter o mistério. Se Hardy insistiu que só vemos aqui um "poder extraordinário de manipulações formais, de rapidez na formação e rejeição de hipóteses e de intuição das relações ocultas entre objetos aparentemente não relacionados" , Ken Ono menciona sua perplexidade diante de certas previsões de Ramanujan, recentemente confirmado por dolorosos cálculos de computador, e que lhe parecem inacessíveis com as ferramentas disponíveis para Ramanujan.
Outros exemplos podem ser encontrados com identidades de Rogers-Ramanujan , estimativa assintótica da função de partição ou a conjectura de Ramanujan .
Este é um caso especial da fração continuada de Rogers-Ramanujan , da qual ele obteve muitos valores não triviais, ligados às identidades que havia descoberto . ${\ displaystyle R (p) = {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {p} {1 + {\ cfrac {p ^ {2}} {1 + {\ cfrac {p ^ {3}} { 1 + \, \ cdots}}}}}}}}}$
Uma fórmula mais geral aparece no segundo caderno de Ramanujan (BC Berndt, Cadernos de Ramanujan , vol. II, entrada 43, p.166): (para ). ${\ displaystyle 1 + {\ frac {x} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {x ^ {2}} {1 \ cdot 3 \ cdot 5}} + {\ frac {x ^ {3}} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7}} + {\ frac {x ^ {4}} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 9}} + \ cdots + {\ cfrac {1} {x + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {2} {x + {\ cfrac {3} {1 + {\ cfrac {4} {x + \ cdots}}}}}}}}} }} = {\ sqrt {{\ frac {{\ rm {e ^ {x}}} \ pi} {2}} x}}}$ $x> 0$
Este é o discriminante do campo quadrático real , ou seja, o discriminante da forma quadrática ; um estudo mais aprofundado dessa noção e de suas aplicações pode ser encontrado no livro de Gérald Tenenbaum : Introdução à teoria analítica e probabilística dos números . ${\ displaystyle {\ mathbb {Q}} ({\ sqrt {58}})}$ ${\ displaystyle m ^ {2} -58n ^ {2}}$
Pegue e ; mostrar a convergência desse radical infinito não é muito difícil, mas obter o resultado de Ramanujan requer engenhosas manipulações algébricas (veja uma análise mais precisa no artigo Nested Radical ). ${\ displaystyle x = 2}$ ${\ displaystyle n = a = 1}$
Berndt aponta que não é muito difícil provar essas fórmulas (por exemplo, usando software de álgebra), mas sua forma relativamente simples para esta escolha precisa de coeficientes e sinais mostra, se não a existência de teorias subjacentes profundas, pelo menos o virtuosismo de Ramanujan.
Hardy ressalta, entretanto, que essas fórmulas não produzem todas as soluções para esse problema e parece considerá-las mais anedóticas do que profundas.
Essas aproximações são reproduzidas no segundo caderno de Ramanujan (BC Berndt, Ramanujan's Notebooks , vol. II, p.88).
Na verdade, este número também é quase inteiro : $e π \sqrt 163$ = 262537412640768743, 999999999999 25 ... Porém, sem recursos do computador, e sem usar os resultados teóricos ligados a esses números (resultados que Ramanujan conhecia e que ajudou a estabelecer para números como ), é impossível obter um valor aproximado preciso o suficiente para decidir a questão. O teorema de Gelfond-Schneider mostra de qualquer maneira que esse número, igual a , é necessariamente transcendente . ${\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {58}}}}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {- i {\ sqrt {163}}}}$
As primeiras notas de seus cadernos, escritos quando ele ainda era um estudante, descrevem sua pesquisa sobre quadrados mágicos e mencionam em particular sua construção de um quadrado diabólico surpreendente cuja primeira linha, 22 12 18 87, representa sua data de nascimento.
Uma cópia deste táxi foi feita para o filme The Man Who Defied Infinity .
O menor número que pode ser decomposto de duas maneiras diferentes na soma das duas quartas potências é 635.318.657 ; foi descoberto por Leonhard Euler por volta de 1770, mas foi somente em 1957 que John Leech demonstrou que era o menor. ${\ displaystyle = 158 ^ {4} + 59 ^ {4} = 133 ^ {4} + 134 ^ {4}}$
Seguindo esta anedota, um número de táxi (nome completo dos táxis ingleses na época) foi definido como um número natural que pode ser expresso como a soma de dois cubos de duas maneiras diferentes (d outros números com essa propriedade, como tinham já foram encontrados no XVII th século por Bernard Frénicle de Bessy ). ${\ displaystyle 4104 = 2 ^ {3} + 16 ^ {3} = 9 ^ {3} + 15 ^ {3}}$
Embora isso possa ser apenas uma coincidência, vários matemáticos apontaram que o número 1729 interveio no estudo de Ramanujan das curvas elípticas em relação a uma certa superfície K3 .
Esta fotografia, a melhor das poucas que temos de Ramanujan, tirada de seu passaporte, foi transmitida a Hardy para este livro por sua viúva, Janaki Ammal, como Chandrasekhar (grande admirador de Ramanujan) relata neste livro de memórias .
Em 2003, Bruce Carl Berndt retraçou (com base na correspondência de vários atores) as vicissitudes desses três cadernos. O primeiro permaneceu na Inglaterra em 1919; após a morte de Ramanujan, Hardy o enviou à Universidade de Madras, que lhe forneceu uma cópia manuscrita, seguida do envio dos outros dois cadernos, bem como das notas dispersas que constituíam o "caderno perdido", entre 1923 e 1925. Em uma data indeterminada após 1935, os cadernos (mas não os outros documentos) foram devolvidos a Madras por George Neville Watson , que havia começado a explorá-los, mas havia perdido o interesse por eles.
Whittaker explicaria mais tarde que papéis díspares cobriam o chão de uma grande sala com 30 centímetros de espessura e que ele tivera "uma sorte incrível" de topar com algo de interesse.
Andrews explica então que Whittaker e Rankin, cujos interesses matemáticos não vão na direção dos resultados desses documentos (ao contrário do seu), não perceberam sua importância, acreditando que fossem notas dispersas. De Ramanujan e não de um coerente conjunto cobrindo suas últimas pesquisas.
Este nome, devido a Andrews, foi contestado, Rankin explicando por exemplo que não era um caderno, e que, bem arquivado na biblioteca Wren em Cambridge, não foi perdido; Andrews apontou, no entanto, que documentos que haviam sido ignorados por 55 anos podiam legitimamente receber esse nome.
Berndt considera a descoberta do "caderno perdido" essencial para a renovação da atenção a Ramanujan no início dos anos 1980; Emma Lehmer declarou, portanto, que sua descoberta "era comparável à de um esboço completo da décima sinfonia de Beethoven" .
Às vezes referido como os "cadernos desgastado de Ramanujan" ( cadernos desgastados Ramanujan' ) devido ao seu estado de desgaste.
O número exato não é totalmente claro, por um lado por causa das repetições, por outro lado porque certas "fórmulas" agrupam vários resultados semelhantes.
Essas são, em particular, as identidades de Rogers-Ramanujan , seu trabalho sobre a função tau e as congruências Ramanujan que ele descobriu entre as partições de um inteiro .
A caligrafia de Ramanujan é geralmente legível, mas ele desenvolveu um sistema de notações pessoais, por exemplo, usando letras incomuns para certas constantes e variáveis, que nem sempre permitem perceber a importância dos resultados obtidos.
Essencialmente registrados no "caderno perdido", são resultados referentes às funções teta e funções análogas que ele construiu, as " falsas funções teta "; alguns desses resultados só foram confirmados em 2012 por cálculos computacionais, mas ainda temos justificativas teóricas parciais.
Ele afirmou, por exemplo, que Namagiri Thayar , sua deusa tutelar , havia revelado certas fórmulas para ele em um sonho.
Em uma entrevista em 1978, Janaki disse: “Recebi a promessa de erguer uma estátua em memória de meu marido. Onde ela está ? “ É lendo essa entrevista que Richard Askey decidiu fazer essas buscas.
Tamil Nadu é o estado onde Ramanujan residia.
Este selo (bastante ampliado) ilustra a capa do livro de Berndt e Rankin, Ramanujan: Cartas e Comentários .
Encontramos versões digitais dessas fotocópias neste site dedicado aos escritos de Ramanujan (in) .

Citações originais

" Não tenho apelido adequado. "
" Nós, incluindo professores, raramente o compreendíamos. "
" Fiquei impressionado com os resultados matemáticos extraordinários contidos nele. Eu não tinha intenção de sufocar sua genialidade com uma nomeação nos degraus inferiores do departamento de receita. "
" Os métodos do Sr. Ramanujan eram tão concisos e inovadores e sua apresentação tão carente de clareza e precisão, que o comum [leitor matemático], não acostumado a tal ginástica intelectual, dificilmente poderia acompanhá-lo. "
" gosto pela matemática e alguma habilidade "
" parecia quase impossível de acreditar. "
“ Nunca tinha visto nada parecido com eles antes. "
“ Eles devem ser verdade, porque, se não fosse verdade, ninguém teria imaginação para inventar-los. "
" Um homem de gênio "
" certamente o mais notável que já recebi. "
“ Um matemático da mais alta qualidade, um homem de originalidade e poder excepcionais. "
" É essencial que eu veja as provas de algumas de suas afirmações. "
" uma terra estrangeira "
" Encontrei um amigo em você que vê meu trabalho com simpatia. "
" o que podemos fazer por S. Ramanujan. "
" não mais ficar entre o filho e o cumprimento do propósito de sua vida. "
“ Eu posso acreditar que ele é pelo menos um Jacobi. "
" Posso compará-lo apenas com Euler ou Jacobi. "
“ É comparativamente fácil fazer suposições inteligentes, mas nada menos que o rigor absoluto conta. "
" Ele pode ter se tornado o maior matemático de seu tempo. "
" Parecia ridículo preocupá-lo sobre como ele havia encontrado este ou aquele teorema conhecido, quando ele estava me mostrando meia dúzia de novos quase todos os dias. "
“ Este longo livro de memórias representa o trabalho, talvez, em um retrocesso da matemática, [...] mostra muito claramente o domínio extraordinário de Ramanujan sobre a álgebra das desigualdades. "
" Uma equação para mim não tem significado a menos que represente um pensamento de Deus. "
“ alguma manifestação misteriosa da sabedoria imemorial do Oriente. "
" um ser humano racional que passou a ser um grande matemático. "
" todas as religiões pareciam-lhe mais ou menos igualmente verdadeiras. "
" deveria ter nascido há 150 anos "
" Era (por assim dizer) o que a teoria poderia ser se a função zeta não tivesse zeros complexos. " .
" Lembro-me de ir vê-lo uma vez quando ele estava doente em Putney. Eu havia viajado no táxi número 1729 e observei que o número me parecia um tanto enfadonho e que esperava que não fosse um presságio desfavorável. “Não, respondeu ele, é um número muito interessante; é o menor número que pode ser expresso como a soma de dois cubos de duas maneiras diferentes ”. "
“ todo número inteiro positivo era um de seus amigos pessoais. "
" O que ele fez realmente é maravilhoso o suficiente [...] quando as pesquisas que seu trabalho sugeriu forem concluídas, provavelmente parecerá muito mais maravilhoso do que hoje. "
" Tanto que ele conjeturou não eram apenas fórmulas bonitas, mas tinham substância e profundidade. "
“ Eles disseram que anos atrás uma estátua seria erguida em homenagem ao meu marido. Onde está a estátua? "

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(in) Frontline , " Rediscovering Ramanujan " ["Rediscovering Ramanujan"] : Entrevista com Bruce Carl Berndt sobre as demonstrações dos resultados dos cadernos de Ramanujan
Registros de autoridade :
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