Forma básica

Na geometria diferencial , uma forma básica é uma forma diferencial de um - principal feixe que satisfaz certas axioma. As formas básicas descem para formas diferenciais com valores em um pacote vetorial associado ao pacote principal. A curvatura de 2 formas de uma forma de conexão é um exemplo da forma básica. $G$

Os formulários básicos generalizam as seções de um pacote associado . Isso torna possível generalizar a noção de derivada covariante para uma derivada covariante externa .

Definição

Estão:

$G$ , um grupo de Lie ;
$B$ , uma variedade diferencial ;
${\ displaystyle \ pi: P \ to B}$ , uma -fibra principal ligada . $G$ $B$

Denotar a ação do grupo à direita na por: $G$ $P$

{\ displaystyle \ Phi: G \ to \ mathrm {Diff} (P)}

de modo que para tudo e para tudo . Deixe ser a distribuição vertical ativada . ${\ displaystyle a \ cdot \ lambda = \ Phi _ {\ lambda} (a)}$ ${\ displaystyle a \ in P}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in G}$ ${\ displaystyle V \ subset TP}$ $P$

Definição: A -forma básica reais em uma -forma diferencial que satisfaz os dois axiomas seguintes: $k$ $P$ $k$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ Omega ^ {k} (P; \ mathbb {R})}$

1. é -invariante, ou seja: $\alfa$ $G$

{\ displaystyle (\ Phi _ {\ lambda}) ^ {*} \ alpha = \ alpha, \ qquad \ forall \ lambda \ in G}

2. é horizontal , ou seja, para qualquer vector tangente vertical em , temos: $\alfa$ $v \ in V$ $P$

{\ displaystyle \ iota _ {v} \ alpha = 0}

Denotamos pelo conjunto de formas básicas reais em . ${\ displaystyle \ Omega _ {\ mathrm {id}, \ mathrm {hor}} ^ {k} (P; \ mathbb {R})}$ $P$

Nota: As formas básicas reais ativadas estão em bijeção com as formas diferenciais reais ativadas . Temos então dois isomorfismos de espaços vetoriais: $k$ $P$ $k$ $B$

{\ displaystyle \ cdot ^ {\ sharp}: \ Omega ^ {k} (B; \ mathbb {R}) \ to \ Omega _ {\ mathrm {id}, \ mathrm {hor}} ^ {k} (P ; \ mathbb {R})}

{\ displaystyle \ cdot _ {\ sharp}: \ Omega _ {\ mathrm {id}, \ mathrm {hor}} ^ {k} (P; \ mathbb {R}) \ to \ Omega ^ {k} (B ; \ mathbb {R})}

como e . Explicitamente, uma forma básica real em é o recuo da forma inferior em : ${\ displaystyle (\ alpha _ {\ sharp}) ^ {\ sharp} = \ alpha}$ ${\ displaystyle (\ alpha ^ {\ sharp}) _ {\ sharp} = \ alpha}$ $P$ $B$

{\ displaystyle \ alpha ^ {\ sharp} = \ pi ^ {*} \ alpha}

Nota: A noção de forma básica real é generalizada para a noção de forma básica com valores vetoriais. Estão:

$V$ , um espaço vetorial ;
${\ displaystyle \ rho: G \ to \ mathrm {Aut} (V)}$ , uma representação linear de on ; $G$ $V$
${\ displaystyle E: = P \ times _ {\ rho} V}$ , uma fibra vetorial associada. $V$

Definição: Uma forma básica com valores em sur é uma forma diferencial que satisfaz os dois axiomas a seguir: $k$ $V$ $P$ $k$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ Omega ^ {k} (P; V)}$

1. é -equivariante, ou seja: $\alfa$ $\ rho$

{\ displaystyle (\ Phi _ {\ lambda}) ^ {*} \ alpha = \ rho (\ lambda) ^ {- 1} \ circ \ alpha, \ qquad \ forall \ lambda \ in G}

2. é horizontal , ou seja, para qualquer vector tangente vertical em , temos: $\alfa$ $v \ in V$ $P$

{\ displaystyle \ iota _ {v} \ alpha = 0}

Denotamos pelo conjunto de formas básicas com valores em on . ${\ displaystyle \ Omega _ {\ rho, \ mathrm {hor}} ^ {k} (P; V)}$ $V$ $P$

Nota: Os -forms básicos com sur- valores estão em bijeç~ao com os -forms diferenciais com sur- valores . Temos então dois isomorfismos de espaços vetoriais: $k$ $V$ $P$ $k$ $E$ $B$

{\ displaystyle \ cdot ^ {\ sharp}: \ Omega ^ {k} (B; E) \ to \ Omega _ {\ rho, \ mathrm {hor}} ^ {k} (P; V)}

{\ displaystyle \ cdot _ {\ sharp}: \ Omega _ {\ rho, \ mathrm {hor}} ^ {k} (P; V) \ to \ Omega ^ {k} (B; E)}

como e . ${\ displaystyle (\ alpha _ {\ sharp}) ^ {\ sharp} = \ alpha}$ ${\ displaystyle (\ alpha ^ {\ sharp}) _ {\ sharp} = \ alpha}$

Exemplo

A forma de curvatura 2 de uma forma de conexão 1 em é uma forma básica para a álgebra de Lie de e , a representação adjunta de em . A forma de 2 de curvatura em desce para uma forma de 2 de curvatura em : $NO$ $P$ ${\ displaystyle F_ {A} ^ {\ sharp} = dA + {\ frac {1} {2}} [A \ wedge A] \ in \ Omega _ {\ mathrm {Ad}, \ mathrm {hor}} ^ {2} (P; {\ mathfrak {g}})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}: = \ mathrm {Lie} (G): = T_ {e} G}$ $G$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ad}: G \ to \ mathrm {Aut} ({\ mathfrak {g}})}$ $G$ ${\ mathfrak {g}}$ $P$ $B$

{\ displaystyle F_ {A} \ in \ Omega ^ {2} (B; \ mathrm {Ad} P)}

onde está o pacote adjacente de . ${\ displaystyle \ mathrm {Ad} P = P \ times _ {\ mathrm {Ad}} {\ mathfrak {g}}}$ $P$

Referências

1963, S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry.
1986, SK Donaldson & PB Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds.
2006, José Figueroa-O'Farrill. Leituras sobre a teoria de calibre.

Notas e referências