Aplicação (matemática)

Em matemática , uma aplicação é uma relação entre dois conjuntos para os quais cada elemento do primeiro (denominado conjunto inicial ou fonte ) está vinculado a um único elemento do segundo ( conjunto final ou objetivo ). O termo está em competição com o de função , embora este último às vezes designe mais especificamente aplicações cujo objetivo é um conjunto de números e às vezes, ao contrário, abrange de forma mais ampla as relações às quais cada elemento do conjunto inicial está conectado no máximo um elemento do conjunto de chegada.

Um aplicativo pode ter valores não numéricos, como o que associa cada aluno de uma classe ao dia de nascimento ou o aplicativo que associa cada cartão de um conjunto de 32 cartões à sua cor .

Uma aplicação é, portanto, um objeto resultante da teoria dos conjuntos , definido por seu gráfico e associado às noções de imagem e antecedente . Pode ser injetivo ou sobrejetivo dependendo da unicidade ou da existência de um antecedente para cada elemento do conjunto de chegada. Um mapa com essas duas propriedades é uma bijeção , que então admite um mapa recíproco . Os aplicativos também podem ser compostos ou restritos a um subconjunto de seu conjunto inicial.

Fora do contexto de análise, o termo é especificado, entre outros, em geometria afim , álgebra linear , topologia e teoria dos sistemas dinâmicos . Às vezes, é substituído por operador ou morfismo , ou mesmo seta, principalmente na teoria das categorias .

Função e aplicação

A noção de função como correspondência entre dois tipos de objeto é relativamente antiga. Mas que seja exibido duração no final da XVII th século em escritos de Leibniz em 1694, isto é, em seguida, a função associada com uma curva geométrica, Leibniz diz, e o eixo-x, o y ou raio de curvatura de uma curva em um ponto H é uma função do ponto M . Ao mesmo tempo, Newton fala de fluente para quantidades dependendo de uma variável que ele chama de tempo (enquanto especifica que o papel desempenhado pelo tempo pode ser desempenhado por outra quantidade). A notação na forma f não se encaixou imediatamente. Jean Bernoulli propõe em 1698 chamar X de uma função de x , então fx em 1718. Leibniz inventa uma notação que permite trabalhar em várias funções diferentes: e são, portanto, duas funções dependentes de x . Euler usa a notação fx em 1734. As funções são então sempre com valores numéricos (reais ou complexos) e também possuem propriedades restritivas (ligadas a uma equação algébrica, continuidade Euleriana, expansível em toda a série ...). $\ overline x | \ underline 1$ $\ overline x | \ underline 2$

Ao mesmo tempo, na geometria, desenvolve-se a noção de aplicação de correspondências pontuais.

A noção de função (ou aplicação) é generalizada primeiro para várias variáveis numéricas, para uma variável que é uma curva ( Vito Volterra ), então Maurice Fréchet em 1904 e Eliakim Hastings Moore tomam o argumento em um conjunto arbitrário, e Fréchet em 1909 valor da função também.

Ao longo do XX ° século em muitos trabalhos acadêmicos, os termos de função e aplicação são sinônimos. Às vezes, certas nuances são introduzidas: o termo função é mais usado no caso em que o conjunto de chegada é digital e, às vezes, quando o conjunto de definição não é igual ao conjunto inicial.

Na década de 1950, a escola Bourbaki tentou definir com precisão as duas noções. Assim, podemos ler em uma redação do Livro I, Capítulo II dos Elementos de 1954, as seguintes definições:

A relação R ( x , y ) é chamada de relação funcional do tipo (T × U) se satisfizer a seguinte condição: qualquer que seja x , existe no máximo um y tal R ( x , y ). A qualquer relação funcional, anexamos um novo objeto que chamamos de função;
Chamamos o campo de definição da função f o conjunto de elementos x de E para os quais existe y tal que R (x, y). Isso é parte I de E . Dizemos que f é definido em E e em E .
Em vez de falar de uma função definida em E e tomando valores em F , falamos de uma aplicação de E em F .

Ainda que, na redação final dos Elementos de 1970, a função seja sempre definida no seu ponto de partida, essa distinção se repete no ensino médio francês, primeiro e segundo ciclo, quando, na sequência da Comissão de Lichnerowicz , implementam novos programas a partir de 1968. Assim, vemos a partir do 6º , ilustrado por diagramas de setas, as seguintes definições:

as relações tais que, de cada elemento do conjunto inicial, haja no máximo uma seta, são chamadas de funções;
as relações tais que, de cada elemento do conjunto inicial, deixa exatamente uma seta, são chamadas de mapeamentos.

Na prática, o fato de ser suficiente reduzir o conjunto inicial de uma função ao seu conjunto de definições para transformá-lo em um aplicativo torna essa distinção de pouca utilidade.

Essa distinção não começa a desaparecer dos livros escolares até 1985, com a adoção de novos programas, mas ainda existem livros recentes em que essa distinção está presente.

Definição

A definição usual em matemática de uma função é, portanto, estabelecida e pressupõe essencialmente a de casal e produto cartesiano . Uma aplicação ou função é um tripleto f = ( E , F , G ) com uma relação binária L ⊂ E x F , e que verifica que para todos os x de E não existe um único y de F de tal modo que o par ( x , y ) pertence L . Exatamente neste caso, um mapa f G dado como uma relação binária G ⊂ E × F é dito bem definido . A ordem dos conjuntos do trigêmeo é arbitrária e, além disso, encontramos variações de acordo com as obras. A propriedade característica pode ser dividida em duas cláusulas:

Existência . ∀ x ∈ E ∃ y ∈ F ( x , y ) ∈ G ; Singularidade . ∀ x ∈ E ∀ y ∈ F ∀ y ' ∈ F ([( x , y ) ∈ G e ( x , y' ) ∈ G ] ⇒ y = y ' ).

Em outras palavras, isso significa que G intercepta cada subconjunto { x } × F , em um ponto único, cuja existência é dada pela primeira cláusula, e unicidade pela segunda. Este ponto, elemento de F , é denominado imagem de x pelo mapa fe denotado por f ( x ). Para distinguir claramente a imagem de um elemento de E , que é um elemento de F , da imagem de f , que é um subconjunto de F , às vezes falamos no último caso de um conjunto de imagens de f .

Também se diz que f associa x elemento f ( x ), ou que f envia x de f ( x ). As formas passivas " x é enviado por f sobre f ( x )", " f ( x ) é associado com x por f " também são usadas.

Se x , elemento de E , satisfaz f ( x ) = y , dizemos que x é um antecedente de y . Um elemento y de F pode muito bem ter mais de um antecedente ou nenhum.

Para uma função de E em F que a x associa f ( x ), notamos:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & E & \ longrightarrow & F \\ & x & \ longmapsto & f (x) \ end {matrix}}}

por exemplo, para a função da variável real que associa seu quadrado a um número:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & \ mathbb {R} & \ longrightarrow & \ mathbb {R} \\ & x & \ longmapsto & x ^ {2} \ end {matrix}}}

No exemplo anterior, usamos a estrutura de números reais para definir a função. Para qualquer conjunto E , podemos sempre definir a identidade ou mapeamento idêntico , que associa a qualquer elemento x de E o próprio elemento x . Seu gráfico é a diagonal do produto cartesiano E × E , o subconjunto definido pela relação x = y .

Se F não estiver vazio, então podemos associar a qualquer elemento b de F , um chamado mapa constante de E em F , que associa a qualquer elemento de E o elemento b . Seu gráfico é, portanto, E × { b }.

Às vezes, outras terminologias e notações são usadas. As funções definidas no conjunto N de inteiros naturais (ou uma parte dele) são freqüentemente chamadas de sequências , por exemplo, as sequências reais são as funções de N no conjunto R dos reais. Usamos então a notação de índice: ( u n ) n ∈ N designa a seqüência, escrita que pode ser abreviada como ( u n ), e u n designa a imagem por esta seqüência do inteiro n .

Esta notação é estendido para as famílias , indexados por Eu elementos de um conjunto F dadas, que são, com outra notação e outra terminologia, funções I em F .

Conjunto de aplicativos entre dois conjuntos

Todos os aplicativos E em F é frequentemente observado F E . O seu cardeal depende apenas dos respectivos cardeais de E e F : | F E | = | F | | E | .

Operações de aplicativo

Restrição qualquer $f$ um pedido para $E$ em $E$ , e deixar $um$ um subconjunto de $E$ . A restrição de $f$ a $Um$ , denotado, é a aplicação de $um$ a $F$ que todo o artigo $é$ de $uma$ combina o elemento $f$ $($ $um$ $)$ de $F$ . Em outras palavras, se denotarmos por $G$ o gráfico de $f$ ,é o mapa de $A$ em $F$ do gráfico $G$ $\cap ($ $A$ $\times$ $F$ $)$ . ${\ displaystyle f_ {| A}}$ ${\ displaystyle f_ {| A}}$
Corestriction : corestriction é a operação análoga em um subconjunto do conjunto de chegada, mas se quisermos que ele permaneça um aplicativo, não podemos restringir o conjunto de chegada F por f qu 'a um subconjunto F' de F contendo o conjunto de imagem de f . Obtemos então uma aplicação que tem o mesmo conjunto inicial e o mesmo gráfico, mas não o mesmo conjunto final.
Extensão : sejam f dois mapas de E a F do gráfico G , ef ' de E' a F ' do gráfico G' . Dizemos que f ' é uma extensão de f quando:E ⊂ E ' e F ⊂ F' e G ⊂ G ' .(Para um caso especial em matemática elementar , consulte Conjunto de definições # Extensão .)
Composição : a composição de duas aplicações f doseme g deemestá escrito. É uma aplicação de emdefinido, para qualquer elemento x de, por: $E_2$ $E_ {3}$ $E_1$ $E_2$ $f \ circ g$ $E_1$ $E_ {3}$ $E_1$ $f \ circ g (x) = f (g (x)).$ Se o gráfico de f é e o gráfico de g é , o gráfico de é: $G_f$ $G_ {g}$ $f \ circ g$ $G_ {f \ circ g} = \ {(x, z) \ em E_1 \ vezes E_3 \ mid \ existe y \ em E_2, (x, y) \ em G_g \ wedge (y, z) \ em G_f \} .$

Injetividade e sobrejetividade

Um mapa f de E a F é dito injetivo , ou ainda é uma injeção , quando qualquer elemento do conjunto de chegada de f tem no máximo um antecedente no conjunto inicial de f , que pode ser escrito:

\ forall x_ {1}, x_ {2} \ in E \ left [f (x_ {1}) = f (x_ {2}) \ Rightarrow x_ {1} = x_ {2} \ right]

. ou por contraposição :

\ forall x_ {1}, x_ {2} \ in E \ left [x_ {1} \ neq x_ {2} \ Rightarrow f (x_ {1}) \ neq f (x_ {2}) \ right]

. O composto de duas injeções é uma injeção e, inversamente, se para uma determinada função , o for uma injeção, então será uma injeção.

g

g

f

f

Um mapeamento de in é considerado sobrejetivo , ou novamente é uma sobrejeção , quando qualquer elemento do conjunto de chegada é imagem por f de pelo menos um elemento do conjunto inicial, que está escrito: $f$ $E$ $F$ $\ forall y \ in F, \ existe x \ in E, \ f (x) = y.$ Em outras palavras, é sobrejetivo se seu conjunto de imagens for todo o conjunto de destino. O composto de duas sobreposições é uma sobreposição e, inversamente, se é uma sobreposição, é uma sobreposição. $f$
$g \ circ f$ $g$
Um mapa f é considerado bijetivo , ou ainda é uma bijeção , quando este mapa é tanto injetivo quanto sobrejetivo, ou seja, cada elemento de seu conjunto de chegada tem um antecedente e apenas um por f no conjunto inicial, que está escrito: ${\ displaystyle \ forall y \ in F, \ exists! x \ in E, \ f (x) = y.}$ O composto de duas bijeções é uma bijeção, mas, inversamente, se o composto de dois mapas é uma bijeção, podemos apenas deduzir que um é uma injeção e o outro, uma sobreposição.

Aplicação recíproca

Se um mapa f : E → F é bijetivo, a cada elemento de F está associado um antecedente único por f em E , que existe porque f é sobrejetivo e que é único porque f é injetivo. Isso, portanto, define um mapa, que chamamos de mapa recíproco de f , e que, neste caso, também é uma bijeção, também chamada de bijeção recíproca de f .

Nós notamos isso . Seu gráfico é o simétrico do gráfico de f , ou seja, se G é o gráfico de f , o gráfico de é {( y , x ) | ( x , y ) ∈ G }. No caso em que E = F = R , o conjunto dos números reais, o gráfico de é, no plano R² , o simétrico de f em relação à primeira bissetriz . Assim, a função dos reais positivos em si mesmos que com x associados x² é uma bijeção, seu recíproco é a raiz quadrada e um gráfico de um é deduzido do outro por simetria em relação à linha da equação y = x . $f ^ {- 1}$ $f ^ {- 1}$ $f ^ {- 1}$

No caso por exemplo de uma função numérica, quando podemos falar do inverso de um elemento a de F , este pode ser escrito a -1 . Neste caso, designa o inverso do elemento . Esta é a função 1 / f inversa (se existir). A notação é reservada para a bijeção recíproca de f (se existir). $f (x) ^ {{- 1}}$ $f (x)$ $f ^ {- 1}$

A aplicação f : E → F é injective, se e somente se existe uma surjection g : F → E recíproca esquerda de f , que é dizer que g ∘ f é a identidade de E . Quando f é injetivo, basta tomar para g uma aplicação que a um elemento da imagem de f associa seu antecedente por f , e que é definido arbitrariamente nos outros elementos. Esta função não é única, a menos que f também seja bijetiva. O inverso decorre diretamente do fato de que g é um mapa.
A aplicação f : E → F é sobre se, e somente se houver uma injeção g : F → E direito recíproco de f , isto é f ∘ g é a identidade do F . Suponha que f seja sobrejetora, no caso em que o conjunto de imagens de f é infinito, a existência dessa injeção repousa em toda a generalidade no axioma da escolha (declarado para qualquer sobrejeção, é até equivalente ao axioma da escolha). Aplicando g é de fato uma função de escolha em todos os conjuntos de uma história de um elemento F , ele escolhe uma boa história para cada elemento F . Esta função não é única, exceto se f também for bijetivo (caso em que, sendo o antecedente único, o axioma de escolha não é necessário). A existência de uma função g direito recíproco de f fornece directamente um antecedente por F para cada elemento F .

Decomposição canônica

Chamamos de relação binária canonicamente associada ao mapa f a correspondência ℛ definida em E por:

x está em relação com y se e somente se x e y têm uma imagem comum por f .

Esta relação é sempre simétrica e transitiva , pela singularidade da imagem, e também reflexiva pela sua existência, sendo, portanto, uma relação de equivalência .

Podemos então definir o conjunto quociente E / ℛ e a correspondente sobreposição canônica s , associada ao mapa f . Essa sobreposição associa a qualquer elemento x de E sua classe de equivalência por ℛ, que nada mais é do que f −1 ({ f ( x )}), o conjunto de antecedentes de f ( x ).

Considere então a correspondência i de E / ℛ em F definida por:

A está em relação ay se e somente se A for o conjunto de antecedentes de y por f .

Essa correspondência é uma injeção, a injeção canônica associada ao aplicativo f . Mostramos facilmente que f = i ∘ s .

Conclusão: Qualquer aplicação pode ser dividida exclusivamente em uma injeção excessiva e uma injeção.

Essa decomposição é a decomposição canônica do aplicativo. Nesta decomposição:

a sobreposição s é uma bijeção se e somente se f for uma injeção, isto é, se f −1 ∘ f = id E ;
injecção i é um bijeç~ao se e somente se f é um surjection é para dizer que, se f ∘ f -1 = id F .

Teoria de conjuntos

A noção de função não é primitiva nas teorias dos conjuntos de Zermelo ou Zermelo-Fraenkel, sendo definida graças às noções de casal e produto cartesiano , que também não são primitivas. A noção pode se desenvolver na teoria de Zermelo (sem o axioma do infinito ), com o axioma da extensionalidade , o axioma do par , o axioma da reunião , o axioma do conjunto, partes e o esquema dos axiomas da compreensão . Precisamos, em certa ocasião, mostrar em toda a generalidade a existência de um inverso correto de uma função sobrejetiva, o axioma da escolha .

Freqüentemente, na teoria dos conjuntos , uma função é identificada com o que antes era chamado de gráfico. Ou seja, uma função é definida como um conjunto de pares verificando as propriedades de existência e unicidade da imagem, que facilmente verificamos que não põem realmente em jogo os conjuntos de partida e chegada: com esta definição, G é um função quando se trata de uma relação, no sentido de conjunto de casais, com singularidade da imagem, mais precisamente:

∀ x ∀ y ∀ y ' ([( x , y ) ∈ G e ( x , y' ) ∈ G ] ⇒ y = y ' ).

O conjunto inicial da função é o conjunto das primeiras projeções de G , que é definido na compreensão , assim como a imagem da função que é o conjunto das segundas projeções de G (veja o artigo do produto cartesiano para detalhes dependendo do representação dos casais). Já não existe um conjunto de chegada intrínseca, isto é F é uma função de E em F torna-se uma propriedade de f : E é o conjunto de primeiras projecções de f , e 'l quadro geral, todas as segundas salicias está incluído em F . A injetividade é uma propriedade que depende apenas do gráfico da função. Por outro lado, neste contexto, a sobrejetividade ou bijetividade torna-se uma propriedade de f e do conjunto de chegada escolhido ( f é sobrejetiva de E em F ).

Pode ser necessário estar interessado em classes funcionais, que são pares de classes que satisfazem as duas propriedades listadas no início do parágrafo, mas em uma classe em vez de G inteiro . O esquema do axioma de substituição , que completa a teoria dos conjuntos de Zermelo para dar a de Zermelo-Fraenkel, afirma que a imagem de um conjunto por uma classe funcional é um conjunto e, portanto, a restrição de uma classe funcional a um conjunto é uma função (como um conjunto de pares).

Notas e referências

Lucien Chambadal, dicionário da matemática moderna , "função" artigo, Larousse de 1969.
Jacques Bouveresse , Jean Itard e Émile Sallé, História da matemática [ detalhe das edições ], p. 33 .
“Função (noção de)” , no Dicionário de matemática - álgebra, análise, geometria , Paris, Encyclopædia Universalis e Albin Michel,1997, p. 359-360.
(de) Bartel Eckmann L. Van der Waerden Moderne Algebra, p.6 no Google Books , Volume I, 1930
Para Rudin, ( Real and complex analysis , Rudin, Masson, 1978, p. 7), os termos função, aplicação e transformação são sinônimos
Para Roger Godement ( Mathematical Analysis I , Springer, 1998, p.21), podemos dizer indiferentemente "Seja f uma função definida em X com valores em Y" ou "Seja f uma aplicação de X em Y"
Nomenclature Boubaki redações , nos arquivos da associação, Arquivo 53
Redação do Livro I, Capítulo II do Arquivo dos Elementos 53 , p. 25
Capítulo II , p. 26
Redação do Livro I, Capítulo II do Arquivo dos Elementos 53 , p. 26
Bourbaki, Elements of mathematics: Set theory , Hermann, 1970, reimpressão 2006, EII13- Definição 9
Coleção Cossart e Théron, Matemática , 6º ano , Bordas, 1969, p.28
Sandie Ferrigno, Aurélie Muller-Gueudin, Didier Marx, Frédéric Bertrand, Myriam Maumy-Bertrand, Matemática para as ciências da engenharia, p. 18 no Google Livros , Dunod, 2013
Alain Droguet, Álgebra e análise 1º ano - opção econômica, p. 6 e 12 no Google Books , Bréal, 2003
Catherine Berdonneau, Françoise Cerquetti-Aberkane, Teaching Mathematics in Kindergarten, p. 45 no Google Books Hachette education, 2007
Introdução à teoria dos conjuntos [ detalhe das edições ], p. 40
Jean-Louis Krivine , Teoria dos conjuntos [ detalhe das edições ], p. 13 (relação funcional) e p. 17 (função ou aplicação), ou Paul Halmos , Introdução à teoria dos conjuntos [ detalhe das edições ], p. 40 (ed. 1970).