A multiplicação é uma das quatro operações da aritmética elementar com a adição , a subtração e a divisão . Esta operação é freqüentemente observada com a cruz de multiplicação "×", mas também pode ser observada por outros símbolos (por exemplo, o ponto médio "·") ou pela ausência de um símbolo.
Seu resultado é chamado de produto , os números que multiplicamos são os fatores .
A multiplicação de dois números aeb é dita indiferentemente em francês "a multiplicado por b" ou "b vezes a".
A multiplicação de dois inteiros pode ser vista como uma adição repetida várias vezes. Por exemplo, "3 vezes 4" pode ser visto como a soma de três números 4; "4 vezes 3" pode ser visto como a soma de quatro números 3:
3 vezes 4 = 4 multiplicado por 3 = 4 × 3 = 4 + 4 + 4; 4 vezes 3 = 3 multiplicado por 4 = 3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3;com: A multiplicação pode ser usada para contar elementos organizados em um retângulo ou para calcular a área de um retângulo cujo comprimento e largura são conhecidos. Também permite determinar um preço de compra conhecendo o preço unitário e a quantidade comprada.
A multiplicação é generalizada para outros conjuntos que não os números clássicos (inteiro, relativo, real). Por exemplo, ele pode multiplicar o complexo entre eles, as funções , das matrizes e até mesmo vetores por números.
Na aritmética , a multiplicação é freqüentemente escrita usando o sinal "×" entre os termos, ou seja, em notação infixada . Por exemplo,
(oralmente, "três vezes (o número) dois é igual a seis")Este símbolo é codificado em Unicode U + 00D7 × sinal de multiplicação ( HTML : × ×) . No modo matemático em LaTeX , está escrito \times.
Existem outras notações matemáticas para multiplicação:
Multiplicar um inteiro por outro é somar esse inteiro várias vezes. Portanto, multiplicar 6 por 4 é calcular 6 + 6 + 6 + 6, o resultado de 6 × 4 é dito 4 vezes 6 (como em 4 vezes o número 6 ) ou 6 multiplicado por 4 . Chamamos o produto de 6 por 4 o resultado dessa operação. Nessa multiplicação, 6 é chamado de multiplicando porque é ele que se repete e 4 é chamado de multiplicador porque indica quantas vezes 6 deve ser repetido.
No entanto, o fato de que 4 vezes 6 é igual a 6 vezes 4 torna essa distinção desnecessária, e os dois números são chamados de fatores do produto. Este é notado 6 × 4 - que lê indiferentemente "quatro vezes seis" ou "seis multiplicado por quatro" - ou 4 × 6. Nos livros escolares de aritmética dos últimos dois séculos, lemos originalmente da segunda maneira. "Times" foi considerado menos preciso (como "e" para adição).
Não é eficiente, a longo prazo, ver a multiplicação como uma adição repetida. Portanto, é necessário aprender o resultado da multiplicação de todos os inteiros de 1 a 9. Este é o propósito da tabuada .
A multiplicação em inteiros satisfaz as seguintes propriedades:
Os parênteses indicam a ordem em que as operações devem ser realizadas. Na prática, para evitar arrastar muitos parênteses, usamos, por convenção, a seguinte regra de prioridade: as multiplicações são feitas sempre antes das adições. Assim, na escrita 4 + 5 × 2, devemos ler 4 + (5 × 2), ou seja, 4 + 10 = 14 e não (4 + 5) × 2 que valeria 18.
Essa regra é chamada de prioridade operacional .
A última propriedade refere-se a comparações. Se dois números forem organizados em uma determinada ordem e multiplicados pelo mesmo número estritamente positivo, os resultados serão ordenados na mesma ordem. Se a <b, então a × c <b × c. Dizemos que a multiplicação por inteiros positivos é compatível com a ordem.
O símbolo usado para a multiplicação é a cruz × (a × b) mas também encontramos, nos cálculos com letras, o ponto (a b) ou mesmo nada (ab) se não houver ambigüidade possível.
Existem duas operações bastante específicas:
Para multiplicar os decimais entre si, usamos o fato de que os produtos podem ser feitos em qualquer ordem. Se quisermos multiplicar, por exemplo, 43,1 por 1,215, fazemos as seguintes observações
Daí nasce a regra: para multiplicar entre eles dois decimais, conta-se o número de dígitos localizados após a vírgula nos dois números e faz-se a soma. O produto é então realizado, sem levar em conta a vírgula. Por fim, colocamos a vírgula no resultado final, deixando tantos dígitos à direita quanto a soma que obtivemos anteriormente.
3,15 × 1,2 =? (existem 3 dígitos após o ponto decimal, 2 no primeiro número e 1 no segundo número) 315 × 12 = 630 × 6 = 3.780 3,15 × 1,2 = 3,780 = 3,78.Essa regra funciona porque o cálculo "sem levar em conta a casa decimal" retorna a múltiplos 3,15 por 100, para obter 315 e multiplicar 1,2 por 10 para obter 12. Essas multiplicações devem ser compensadas no final do cálculo pela multiplicação. inverso, portanto, uma divisão, por 100 e por 10: 3 780, então se torna 378 e depois 3,78, dando o resultado da operação solicitada.
Podemos ver o produto 4 vezes (–6) como a soma de (–6) repetido 4 vezes que é (–6) + (–6) + (–6) + (–6) = –24.
Também podemos ver o produto (-4) vezes (6) como um número 6 que removemos 4 vezes. Assim, fazer o produto de (–4) vezes 6 é subtrair 24, que escrevemos (–4) × 6 = –24.
Finalmente, podemos ver o produto (–4) vezes (–6) como o número (–6) que subtraímos 4 vezes, portanto, temos que subtrair –24. Remover –24 é adicionar 24, portanto (–4) × (–6) = 24.
Esses exemplos explicam a regra para números com um sinal. Para produzir o produto de dois números com sinais, realizamos o produto de seus valores absolutos e atribuímos ao resultado o sinal - se os sinais dos dois fatores forem diferentes, e o sinal de mais (+) se os dois fatores forem iguais assinar.
Essas regras podem ser resumidas da seguinte forma:
menos por menos é igual a mais menos por mais é igual a menos mais por menos é igual a menos mais por mais é igual a maisA multiplicação em inteiros relativos tem as mesmas propriedades que a multiplicação em inteiros naturais (é comutativa, associativa, distributiva para adição) com uma exceção: nem sempre mantém a ordem: se dois números estão dispostos em uma determinada ordem e se os multiplicamos por um número inteiro estritamente positivo, a ordem é preservada
–2 <3 e (–2) × 4 <3 × 4mas se multiplicarmos por um número estritamente negativo, a ordem é invertida
(–2) <3 e (–2) × (–4)> 3 × (–4).Multiplicar duas frações entre eles é multiplicar os numeradores e os denominadores entre eles:
No conjunto ℚ de números racionais , a multiplicação preserva as propriedades já afirmadas com a mesma dificuldade quanto à ordem e a multiplicação por um número negativo.
É uma generalização da multiplicação anterior. Ele retém as mesmas propriedades.
O recíproco de um número para multiplicação é o número pelo qual ele deve ser multiplicado para obter 1.
Por exemplo :
O inverso do número a é denotado por 1 ⁄ a ou mesmo a −1 .
Então :
Dependendo dos conjuntos de números, nem sempre encontramos um inverso no conjunto:
A quarta operação da matemática elementar, a divisão, pode então ser vista como uma multiplicação ao contrário.
Dizemos que um número a é um múltiplo de um número b se for o resultado da multiplicação de b por um inteiro (natural ou relativo)
a é um múltiplo de b se e somente se existe um número inteiro relativo k tal que a = k × bQuando aeb são inteiros, também dizemos que a é divisível por b.
No conjunto de números racionais e no conjunto de números reais , encontramos as seguintes propriedades para multiplicação:
Associatividade | Para todos os a, b, c, a × (b × c) = (a × b) × c |
---|---|
Comutatividade | Para todos os aeb, a × b = b × a |
Elemento neutro | Para todo a, a × 1 = 1 × a = a |
Marcha ré | Para qualquer a diferente de zero, existe a −1 tal que a × a −1 = 1 |
Distributividade | Para todos os a, b e c, (a + b) × c = (a × c) + (b × c) |
Elemento absorvente | para todo a, a × 0 = 0 × a = 0 |
Pedido | Para todo a> 0 e todo b e c, se b <c então ab <ac |
Essas propriedades associadas àquelas possuídas pela adição nesses conjuntos fazem ℝ e ℚ, fornecidos com adição e multiplicação, conjuntos especiais chamados campos ordenados .
Com exceção da multiplicação egípcia e sua variante russa que usa um princípio binário, as técnicas de multiplicação que se desenvolveram ao longo dos séculos usam o sistema decimal e na maioria das vezes requerem o conhecimento da tabuada de números de 1 a 9, bem como o princípio de distributividade. Então, para multiplicar 43 por 25, escrevemos que 43 × 25 = 43 × (2 dezenas + 5 unidades) . Em seguida, distribuímos os diferentes termos
43 × 25 = 43 × 2 dezenas + 43 × 5 unidades. 43 × 25 = (4 × 2 centenas + 3 × 2 dezenas) + (4 × 5 dezenas + 3 × 5 unidades) = 8 centenas + 6 dezenas + 20 dezenas + 15 unidades = 1.075.Os diferentes métodos consistem em apresentar este cálculo de forma prática. Assim, encontramos o método chinês que começa com os pesos fortes, ou seja, a multiplicação dos dígitos mais à esquerda. Este método é o usado na multiplicação com ábaco . Mas outros métodos são possíveis, como o comumente usado nas escolas francesas, que consiste em "fazer a multiplicação" multiplicando 43 primeiro por 5, depois por 2 dezenas e somando.
Outras técnicas que utilizam o mesmo princípio foram desenvolvidos como o deslizamento multiplicação usado para IX th século pela Al-Khwarizmi ou multiplicação por ciúmes usados na Idade Média na Europa . Este último deu origem à fabricação de palitos automatizando o cálculo: os palitos Napier .
A maioria dessas técnicas requer conhecimento de tabelas de multiplicação . Eles foram usados muito cedo. Encontramos vestígios, por exemplo, em Nippur, na Mesopotâmia, 2.000 anos antes de Cristo. AD em tablets reservados para o treinamento de escribas aprendizes.
Memorizar tabelas para números entre 6 e 9 às vezes é difícil. Georges Ifrah indica uma maneira simples de multiplicar com os números dos dedos entre 6 e 9. Em cada mão, desenha-se tantos dedos quanto unidades excedendo 5 para cada um dos números em questão. Então, para multiplicar 8 por 7, colocamos 3 dedos da mão esquerda e dois dedos da mão direita. A soma dos dedos retos fornece o número de dezenas e o produto dos dedos dobrados fornece o número de unidades a serem adicionadas. Assim, no exemplo, existem 5 dedos levantados , portanto , 5 dezenas . Existem 2 dedos dobrados em uma mão e 3 dedos dobrados na outra, o que dá 2 × 3 = 6 unidades ou 7 × 8 = 56 .
A explicação matemática chama mais uma vez a distributividade: se chamarmos xey de número de dedos dobrados, os números de dedos eretos são a = 5 - x e b = 5 - y e realizamos a multiplicação de 10 - x por 10 - y:
(10 - x) (10 - y) = 10 (10 - x) - (10 - x) y = 10 (10 - x) - 10y + xy = 10 (10 - x - y) + xy = 10 (a + b) + xy.Existe uma técnica semelhante para multiplicar números entre 11 e 15. Usamos apenas dedos eretos. O número de dedos eretos dá o número de dezenas a somar a 100, e o produto dos dedos eretos dá o número de unidades a somar.
Nas tabuinhas babilônicas, há um ideograma para representar a multiplicação A - DU.
Nos elementos de Euclides , a multiplicação é vista como o cálculo de uma área. Assim, para representar o produto de dois números, falamos de um retângulo ABCD, no qual os lados AB e AD representam os dois números. O produto dos dois números é então chamado de retângulo BD (implicando a área do retângulo com os lados AB e AD).
Diofanto , por outro lado, não usa um símbolo especial para multiplicação, colocando os números lado a lado. Encontramos essa mesma ausência de sinal na matemática indiana, os números são freqüentemente colocados lado a lado, às vezes separados por um ponto ou às vezes seguidos pela abreviatura bha (para bhavita, o produto).
Na Europa, antes que a linguagem simbólica fosse definitivamente admitida, as operações eram expressas em frases escritas em latim. Portanto, 3 vezes 5 foi escrito 3 em 5.
No XVI th século , vê-se o símbolo M usado por Stifel e Stevin . A cruz de Santo André × é usada para denotar uma multiplicação por Oughtred em 1631 ( Clavis mathematicae ). Mas encontramos neste momento outras notações, por exemplo uma vírgula precedida por um retângulo em Hérigone , "5 × 3" escrevendo "☐ 5, 3:". Johann Rahn usa o símbolo * para ele em 1659. A ponta é usada por Gottfried Wilhelm Leibniz, que acha a cruz muito perto da letra x. No final do XVII ° século , há ainda nenhum sinal estabelecida para a multiplicação, em uma carta a Hermann, Leibniz afirma que o aumento não precisa ser expresso apenas por cruzes, mas também podemos usar vírgulas, pontos ou espaços.
Foi apenas durante o XVIII th século que generaliza o uso de ponto para multiplicação na linguagem simbólica.
Como a multiplicação é associativa, não há necessidade de definir uma prioridade para as multiplicações a serem realizadas. No entanto, resta definir como escrever o produto de um número indeterminado de fatores.
significa que multiplicamos o fator a por ele mesmo n vezes . o resultado é observado um n e lê " um ao poder de n ".
significa que fizemos o produto de todos os inteiros de 1 a n , o resultado é denotado por n ! e lê " fatorial n ".
Se for uma sequência de números, significa que fizemos o produto desses n fatores entre eles. Este produto também é notado
Se a expressão tem um significado, o limite do produto anterior quando n se aproxima do infinito é chamado de produto infinito e é escrito