Paralelogramo

Em geometria , um paralelogramo é um quadrilátero cujos segmentos diagonais se cruzam em seus pontos médios .

Definições equivalentes

Na geometria puramente afim , um quadrilátero (ABCD) é um paralelogramo (no sentido definido na introdução) se e somente se satisfizer uma das seguintes propriedades equivalentes:

os vetores e são iguais; $\ overrightarrow {AB}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {DC}}}$
os vetores e são iguais. ${\ displaystyle {\ overrightarrow {AD}}}$ $\ overrightarrow {BC}$

Se além disso os quatro vértices são três a três desalinhados , essas propriedades também são equivalentes ao seguinte: os lados opostos são paralelos dois a dois, ou seja: (AB) // (CD) e (AD) // ( BC).

Na geometria euclidiana , sob esta mesma suposição, essas propriedades também são equivalentes a:

o quadrilátero não é cruzado e seus lados opostos têm o mesmo comprimento dois a dois;
é convexo e seus ângulos opostos têm a mesma medida dois a dois;
seus ângulos consecutivos são adicionais dois por dois;
é um trapézio (não cruzado) cujas bases têm o mesmo comprimento.

Propriedades

Todo paralelogramo tem um centro de simetria : o ponto de intersecção de suas diagonais.
Em qualquer paralelogramo ABCD, temos a identidade do paralelogramo : AC 2 + BD 2 = 2 (AB 2 + BC 2 ).

Casos especiais

Um losango é um paralelogramo com pelo menos dois lados consecutivos do mesmo comprimento . É até equilátero .
Um retângulo é um paralelogramo com pelo menos um ângulo reto . É até equânime .
Um quadrado é um losango retângulo.

Área

Let Ser o comprimento de um lado do paralelogramo e o comprimento da altura associada. A área do paralelogramo é: $b$ $h$ $NO$

A = b \ vezes h.

A área de um paralelogramo também é dada por um determinante .

Antiparalelogramo

Um antiparalelograma é um quadrilátero cruzado cujos lados opostos têm o mesmo comprimento dois a dois.

Em um antiparalelogramo, os ângulos opostos têm a mesma medida em valor absoluto.

Equipolência e vetores

Agora é clássico definir a noção de paralelogramo a partir da de vetor ( ver acima ), mas podemos, inversamente, a partir da noção de meio, definir (como na introdução) a de paralelogramo, depois a de equipolência de dois bipontos e, finalmente, o do vetor:

chamamos de biponto qualquer par de pontos (a ordem dos pontos é importante);
dois bipontos ( A , B ) e ( C , D ) são considerados equipolentes se ABDC for um paralelogramo;

A relação de equipolência é uma relação de equivalência .

chamamos de vetor a classe de equivalência do biponto ( A , B ), ou seja, o conjunto de bipontos equipolentes a ( A , B ). $\ overrightarrow {AB}$

Então descobrimos que um quadrilátero ( ABCD ) é um paralelogramo se e somente se . ${\ textstyle \ overrightarrow {AB} = \ overrightarrow {DC}}$

Veja também

Notas e referências

M. Troyanov, curso de geometria , pPUR , 2002, p. 13 .
Jean Dieudonné , álgebra linear e geometria elementar , Hermann ,1964, exercício 1, p. 50.