Uma partição de um conjunto X é um conjunto de partes não esvaziar de X de pares de disjunção e cuja união é X .
Seja X um conjunto . Um conjunto de partes de X é uma partição de X se:
O conjunto {1, 2, 3} tem as seguintes partições:
Observe que:
No caso em que todos os elementos da partitura têm a mesma cardinalidade, encontramos o lema dos pastores .
A partição vazia é uma partição do conjunto vazio (além disso é a única) uma vez que todos os seus elementos (não há nenhum) têm todas as propriedades desejáveis (aqui: ser não vazio e disjunto) e sua união é vazia ( por definição )
Se uma relação de equivalência é dado em conjunto X , então o conjunto de todas as classes de equivalência forma uma partição de X . Por outro lado, se uma partição P de X é dada, então podemos definir uma relação de equivalência em X denotada por ~, por x ~ y se e somente se existe, entre os elementos de P , uma parte de X que contém em ambos x e y . As noções de relação de equivalência e partição são, portanto, fundamentalmente equivalentes.
O conjunto de todas as partições de um conjunto não vazio X é parcialmente ordenado : por definição, uma partição é mais fina do que outra se divide os elementos da outra em partes menores. Essa ordem parcial forma uma rede completa da qual o menor elemento (a partição menos fina) é a partição grossa em uma parte ( X ) e a maior (a partição mais fina) é a partição em singletons .
O número de Bell , B n , é o número de partições de um conjunto de n elementos.
O número de partições diferentes de um conjunto com n elementos indistinguíveis é o número de partições de um inteiro .
O número de suas partições em exatamente k subconjuntos é o número de Stirling do segundo tipo S ( n , k ).